Chapitre 7 - Cours-UTBM

Chapitre 7
LES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME ALTERNATIF
SINUSOÏDAL FORCE
I/ Définitions.
a) Grandeur alternative.
Une grandeur physique périodique X(t) de période T est dite alternative si sa valeur moyenne sur une
période est nulle soit:
tT
t
1X(t)dt 0
T
Exemples: * fonction « créneau » de -E à +E :
X(t)
E
t
-E
* fonction « dents de scie » de –E à E :
X(t)
E
t
-E
b) Valeur efficace d’une grandeur périodique (ou valeur RMS = root main square).
D’une manière générale, on appelle grandeur efficace Xeff d’une fonction périodique X(t) de période T
la racine carrée de la moyenne sur une période du carré de la fonction soit:
Xeff =
tT
t
1X²(t)dt
T
Rm: La valeur efficace a même unité que X.
On montrera à titre d’exemple que la valeur efficace du signal créneau précédent est E, celle du signal dent de
scie est
E
3
. Celle d’un signal sinusoÏdal d’amplitude A est
A
2
(voir plus loin).
c) Composante continue d’un signal périodique.
Soit X(t) une fonction périodique et Xm sa valeur moyenne. Construisons la fonction Y(t) = X(t) – Xm et
calculons sa valeur moyenne :

tT
t
1Y(t)dt
T
tT
m
t
1(X(t) X )dt 0
T
Y(t) est donc une fonction alternative.
Toute fonction périodique X(t) quelconque peut donc être décomposée en la somme de sa valeur
moyenne et d’une fonction alternative. La valeur moyenne représente alors la composante continue de la
fonction et Y(t) la composante alternative de la fonction. Cette composante continue peut être éliminée sur un
oscilloscope avec la touche AC pour ne garder que la composante alternative.
II/ Grandeur alternative sinusoïdale.
a) Définitions.
Parmi les grandeurs physiques, on étudie spécialement les grandeurs sinusoïdales car elles sont très
courantes (l’EDF délivre une tension sinusoïdale sur les prises !) et que toutes les fonctions périodiques peuvent
être ramenées à une série de ce type de fonctions par le théorème de Fourier (MT26).
On appelle grandeur physique sinusoïdale X(t) une grandeur qui peut se mettre sous la forme:
X(t) = a cos (wt+)
a est appelée l’amplitude de la grandeur (même unité que X).
w est appelée la pulsation (en rad.s-1).
wt + est appelée la phase à l’instant t de la grandeur (en rad).
est appelée la phase à l’origine des temps de la grandeur (en rad).
Bien entendu la période d’une telle fonction vaut: T =
2
w
(en s) et sa fréquence f =
1
T
=
w
2
(en Hz).
Soit deux grandeurs sinusoïdales: X1(t) = a1 cos ( wt + ) et X2(t) = a2 cos ( wt + ) , on appelle déphasage de
X2(t) par rapport à X1(t) la grandeur 
b) Valeur moyenne et valeur efficace d’un grandeur sinusoïdale.
Théorème 1 : une grandeur sinusoïdale du type X(t) = a cos (wt+) est alternative.
Demo : Xm =
tT tT
t
t
1 a sin(wt )
acos(wt ) dt [ ] 0
T T w
CQFD
Théorème 2 : la valeur efficace d’une grandeur sinusoïdale du type X(t) = a cos (wt+) est
a
2
Xeff =
t T t T t T
t t t
1 1 1 1 a
a²cos²(wt )dt a cos²(wt )dt a (1 cos(2wt ) dt
T T T 2 2
CQFD.
On pourra donc noter X(t) sous la forme: X(t) = a cos (wt +  ) = Xeff
2
cos (wt +)
c) Représentation complexe associée à une grandeur physique sinusoïdale.
A toute grandeur physique (donc réelle) alternative sinusoïdale X (t) = a cos (wt +), on peut associer
un grandeur complexe
X(t)
telle que:
X(t)
= a exp j(wt+)
On a bien sûr la relation évidente:

X(t) = Re (
X(t)
).
On pose souvent pour simplifier A = a exp j . A est appelée amplitude complexe de X(t). Notons que cette
grandeur renseigne sur l’amplitude réelle de la grandeur physique étudiée: a =
A
et sur sa phase car on a Arg
A = .
On a alors:
X(t)
= A exp jwt
Intérêts d’une telle représentation: On est souvent amené à ajouter, soustraire, multiplier, dériver, intégrer des
grandeurs physiques sinusoïdales au cours des calculs. Il s’avère que ces opérations ne sont pas toujours très
simples du point de vue purement calculatoire sur les fonctions sinusoïdales. Par contre ces calculs s’avèrent plus
simples sur les grandeurs complexes associées. L’idée de l’utilisation de ces grandeurs est donc la suivante:
Quand on veut faire des calculs sur des grandeurs physiques sinusoïdales, on prend les grandeurs complexes
associées, on fait les calculs sur les grandeurs complexes associées et on revient au résultat réel physique en
prenant la partie réelle du résultat complexe trouvé.
Attention: cette méthode de raisonnement n’est valable que si on peut commuter l’opération faite avec la prise
de partie réelle.
Exemples:
 Soit à calculer X(t) = X1(t) + X2(t) = a cos (wt+) + b cos (wt + ’).
1
X (t)
= a exp j(wt + 
2
X (t)
= b exp j(wt + ’
Le calcul est possible en complexes puisque partie réelle de la somme est égale à somme des
parties réelles : Re (
X(t)
) = Re (
1
X (t)
) + Re (
2
X (t)
) = Re (
1
X (t)
+
2
X (t)
)
Faisons le calcul avec les grandeurs complexes associées:
1
X (t)
+
2
X (t)
= exp jwt ( a exp j + b exp j’)
= exp jwt ( (a cos  + b cos ’) + j (a sin  + b sin ’))
= C exp jwt
avec C = c exp j où c =
a b ab² ² cos( ')  2 
ettan  =
(a sin + b sin ')
( a cos + b cos ')
Donc si l’on revient à la partie réelle, le résultat est: X(t) = c cos (wt + ). Le lecteur vérifiera que l’on
trouve bien la même chose en utilisant les formules de trigonométrie en réels, mais que les calculs sont plus
longs.
 Soit à calculer la dérivée de a cos (wt+):
Le résultat en réel est évident X’(t) = -aw sin (wt + )
Retrouvons ce résultat en complexe:
X’(t) = Re (
dA jwt
dt jwA jwt wa wt
exp( )) Re( exp ) sin( )    
ce qui est bien la même chose.
Dériver en complexe revient à multiplier par jw, dériver deux fois revient à multiplier
par (jw)² soit -w², dériver trois fois à multiplier par -jw3....

Bien entendu la méthode marche car la dérivée de la partie réelle est la partie réelle de la dérivée.
 Soit à calculer la primitive de a cos (wt+) qui vaut bien sûr
a
w
sin(wt + ):
Il faut calculer la primitive de A exp jwt =
A
jw jwtexp
dont la partie réelle est bien
a
w
sin (wt + ).
Là encore la méthode marche car la primitive de la partie réelle est bien la partie réelle de la primitive.
Intégrer en complexe revient à diviser par jw, intégrer deux fois revient à diviser par
(jw)² soit -w², intégrer trois fois à diviser par -jw3....
Attention: Le lecteur vérifiera que la méthode ne marche pas lorsque l’on veut
multiplier entre elles deux fonctions sinusoïdales car le produit des parties réelles n’est
pas égal à la partie réelle du produit.
Remarque : pour simplifier la notation nous ne mettrons plus dans la suite du cours de barres au dessus des
grandeurs complexes, c’est au lecteur de bien voir quand il travaille sur des grandeurs complexes !!!
d) Régime sinusoïdal forcé.
Un circuit électrique sera dit en régime sinusoïdal forcé si tous les tensions et courants sont alternatifs
sinusoïdaux de même pulsation imposés par un générateur. Cela suppose que si il existe un éventuel régime
transitoire dans le circuit, ce régime s’est amorti (voir chapitre 6) et est devenu négligeable.
Pour la suite de ce cours, les courants et tensions instantanés (donc dépendant du temps) seront notés
avec des petites lettres (u et i), les amplitudes correspondantes avec des grandes lettres (U et I).
III/ Comportement forcé des dipôles R, L et C lorsqu’ils sont soumis à des courants ou des tensions
sinusoïdales. Notion d’impédance complexe.
a) Résistance.
La tension aux bornes d’une résistance est donnée par la loi d’Ohm u = Ri en convention récepteur. On
voit donc que si une résistance R est soumise à une tension alternative sinusoïdale u = U cos (wt + )
d’amplitude U, le courant qui la traversera sera donc i =
U
R
cos (wt +  ).
On voit que le courant est lui aussi sinusoïdal de même pulsation w, de même phase à l’origine  et d’amplitude
I =
U
R
.
En notation complexe, on pourra donc aussi écrire (R étant un réel!):
u = U exp j(wt + ) ; i =
U
R
exp j(wt +  ) soit
uRi
également.
Réciproquement si une résistance est traversée par un courant i alternatif sinusoïdal i(t) = I cos (wt +), il en
résulte à ses bornes une tension u = Ri cos (wt+) de même pulsation, de même phase à l’origine et d’amplitude
RI.
b) Bobine pure.
La loi reliant la tension et le courant dans un tel composant est : u =
Ldi
dt
.
* Si l’on impose aux bornes d’une bobine pure une tension u sinusoïdale alternative de type

u = U cos(wt + )
il en résultera un courant:
i =
U
Lw wt U Lw wtsin( ) cos( )      2
On notera que l’on introduit pas de constante d’intégration car s’il n’y a pas de tension appliquée, il ne peut pas y
avoir de courant !
On voit donc que le courant qui traverse la bobine est aussi sinusoïdal, de même pulsation,
d’amplitude
U
Lw
et déphasé par rapport à la tension de
2
: on dit que le courant est en quadrature
retard par rapport à la tension.
Etudions le même raisonnement en complexe: u =
Ldi
dt
devient u = jLwi donc :
i =
u
jLw
=
U j wt
jLw U Lw jwt
exp ( ) exp ( )
2
dont la partie réelle est bien
U
Lw wtcos( )   2
* Si l’on impose à une bobine pure un courant du type i = I cos (wt+), il en résultera à ses bornes une
tension u = -LwI sin( wt + ) = LwI cos (wt + +
2)
. Retrouvons ce résultat par la méthode complexe:
u =
Ldi
dt
= Ljwi = Ljw Iexp j(wt+) dont la partie réelle est bien -LwI sin(wt + ) = LwI cos (wt + +
2)
et on
retrouve le résultat précédent.
c) Condensateur pur.
La relation reliant u et i dans un condensateur en convention récepteur est i = C
du
dt
* Si l’on impose une tension alternative sinusoïdale u = U cos (wt + ) aux bornes d’un condensateur,
celui-ci va être le siège d’un courant:
i = C
du
dt
= - C U w sin( wt + ) = C U w cos (wt +  +
2)
Retrouvons ce résultat par les complexes: i = C
du
dt
= Cjw u = CwU expj (wt + +
2)
dont la partie
réelle est bien: C U w cos (wt +  +
2)
On voit donc que le courant qui traverse le condensateur est aussi sinusoïdal, de même pulsation,
d’amplitude CwU et déphasé par rapport à la tension de
2
: on dit que le courant est en quadrature
avance par rapport à la tension.
* Si l’on impose dans un condensateur un courant sinusoïdal de type i (t) = I cos (wt+), il en résultera à
ses bornes une tension u =
I
Cw
sin (wt + ) =
I
Cw
cos (wt + -
2)
. Retrouvons ce résultat par la méthode
complexe: i = Cjwu donc u =
i
jCw
=
I
Cw jwtexp ( )   2
dont la partie réelle est bien
I
Cw
cos (wt + -
2)
.