Propriétés électromagnétiques des champs

Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
M. GREBILLE
1
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
SOMMAIRE
PROPRIETES ELECTROMAGNETIQUES DES CHAMPS ............................................ 4
RAPPELS .................................................................................................................................. 4
I. ...................................................................................................... LA NOTION DE CHAMP
.................................................................................................................................................... 4
II. ............................................................................................. EQUATIONS DE MAXWELL
.................................................................................................................................................... 5
III. .................................................. ONDES ELECTROMAGNETIQUES DANS LE VIDE
.................................................................................................................................................... 6
CHARGES DIPOLES ET MULTIPOLES............................................................................ 7
I. ........................................................................................................ DIPOLE ELECTRIQUE
.................................................................................................................................................... 7
A.
B.
C.
DOUBLET ELECTROSTATIQUE .................................................................................................................... 7
DIPOLE ELECTROSTATIQUE ........................................................................................................................ 7
ACTION SUBIE PAR LE DIPOLE DANS UN CHAMP EXTERIEUR....................................................................... 8
1.
Dans un champ uniforme ..................................................................................................................... 8
2.
Dans un champ non uniforme .............................................................................................................. 8
D. ENERGIE POTENTIELLE DU DIPOLE ET DU CHAMP APPLIQUE....................................................................... 8
II. ............................................................................................... LE DIPOLE MAGNETIQUE
.................................................................................................................................................... 8
A.
B.
EXPRESSION DU MOMENT DIPOLAIRE......................................................................................................... 8
ACTION SUBIE PAR UN DIPOLE MAGNETIQUE DANS UN CHAMP .................................................................. 9
1.
Dans un champ uniforme ..................................................................................................................... 9
2.
Dans un champ non uniforme .............................................................................................................. 9
C. ENERGIE POTENTIELLE .............................................................................................................................. 9
III. ..................................................................... LES DISTRIBUTIONS MULTIPOLAIRES
.................................................................................................................................................... 9
MILIEUX DIELECTRIQUES.............................................................................................. 10
I. ............................................................................................ NOTION DE POLARISATION
.................................................................................................................................................. 10
A.
B.
C.
APPROCHE PHENOMENOLOGIQUE ............................................................................................................ 10
DEFINITION DE LA POLARISATION............................................................................................................ 10
DENSITES DE CHARGES EQUIVALENTES ................................................................................................... 11
II. ................................ CHAMP ET POTENTIEL CREES PAR UN MILIEU POLARISE
.................................................................................................................................................. 11
A. CALCUL DIRECT....................................................................................................................................... 11
CALCUL A PARTIR DES CHARGES DE POLARISATION .......................................................................................... 11
C. CAS PARTICULIER IMPORTANT : MILIEUX UNIFORMEMENT POLARISES .................................................... 12
D. EQUATIONS DE MAXWELL ....................................................................................................................... 13
2
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
III. ............................................................................................... POLARISATION INDUITE
.................................................................................................................................................. 14
A.
B.
C.
SUSCEPTIBILITE, PERMITIVITE DIELECTRIQUE.......................................................................................... 14
EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE ................................................................................................................ 15
MECANISMES DE POLARISATION .............................................................................................................. 17
1.
Polarisabilité électronique ................................................................................................................. 17
2.
Polarisabilité atomique ou ionique .................................................................................................... 17
3.
Polarisabilité d’orientation................................................................................................................ 18
Statistique de Maxwell-Boltzmann .............................................................................................................. 18
IV. .................... MATERIAUX A PROPRIETES DIELECTRIQUES PARTICULIERES
.................................................................................................................................................. 19
A.
B.
1.
2.
3.
4.
C.
MATERIAUX FERROELECTRIQUES ............................................................................................................ 19
INTERPRETATION ..................................................................................................................................... 20
Evolution de r en fonction de T ......................................................................................................... 20
modèle linéaire de chaîne de dipôle................................................................................................... 20
approche thermodynamique ............................................................................................................... 21
en présence d’un champ électrique .................................................................................................... 22
MATERIAUX PIEZO-ELECTRIQUES ............................................................................................................ 23
V. ........................................... MILIEUX DIELECTRIQUES EN REGIME DYNAMIQUE
.................................................................................................................................................. 23
A.
B.
GRANDEURS COMPLEXES ........................................................................................................................ 23
PHENOMENES DE RESONANCES ................................................................................................................ 24
1.
Polarisabilité électronique ................................................................................................................. 24
2.
polarisabilité ionique ......................................................................................................................... 27
POLARISABILITE D’ORIENTATION ...................................................................................................................... 27
MILIEUX AIMANTES ......................................................................................................... 28
I. ..................................................................................................................... AIMANTATION
.................................................................................................................................................. 28
A.
1.
2.
3.
4.
B.
APPROCHE PHENOMENOLOGIQUE ............................................................................................................ 28
Aimant permanent .............................................................................................................................. 28

Réaction des solides plongés dans un champ B ................................................................................ 29
influence du milieu magnétique sur l’extérieur .................................................................................. 29
tentatives d’interprétation .................................................................................................................. 29
AIMANTATION ET DENSITES DE COURANT EQUIVALENTS ........................................................................ 30
II. ..................................CHAMP ET POTENTIEL CREES PAR UN MILIEU AIMANTE
.................................................................................................................................................. 32
A.
B.
CALCUL DIRECT....................................................................................................................................... 32
A PARTIR DES DENSITES DE COURANT EQUIVALENTES ............................................................................. 33
3
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
Propriétés électromagnétiques des champs
Rappels
I.
La notion de champ
Un champ est une façon de décrire une interaction à distance. En électromagnétisme, cette


interaction est décrite par les champs E( r ) et B( r ) auxquels on associe la force de Lorentz,

  
d'expression : F  q( E  v  B)

Mais la vitesse v est relative et dépend du repère.
 L’observateur est immobile


.
B
v
((é
- - - - - - - - - - + + + + + + + + + + +
lec
tro 
I
n F
 *
v e
la densité de charge du fil est nulle (         0 ), alors E  0

 
la force exercée sur l’électron vaut alors F  qv  B

l’observateur se deplace comme l’électron

. B
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
I
* ela force exercée est nulle, ce qui pose problème
Ce problème est dû au fait que l’on est dans le domaine de la relativité restreinte . Il y a
contraction des longueurs et dilatation du temps
la conservation de la charge sur une longueur plus courte implique     
donc : Les équations de Maxwell sont compatibles avec la relativité
Théorème d’Helmholtz
D'après le théorème d'Helmholtz, tout champ vectoriel peut se mettre sous la forme :
  

 

C( r )  rot A( r )  grad ( r ) avec
  
 
1
rot C( r ' )
A( r ) 
  dv
4 V r  r '
 
div C( r ' )

1
( r ) 
  dv
4 V r  r '
4
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
On distingue deux types de champs vectoriels : les champs rotationnels et les champs
irrotationnels.
 
* Les champs irrotationnels :   C  0


- C   grad 
 
-  C.d l  0
c
- Le champ est à circulation conservative
- Il n'existe pas de lignes de champs fermées
- La circulation entre deux points est indépendante du chemin suivi

 
on pose c(r, t)  c 0 e i(k.r -wt) , on a alors :
 
 
Rot(C)  ik  C

* Les champs rotationnels : .C  0


- CA
 
-  C.dS  0
S
- Le champ est à flux conservatif
- Il n'y a pas convergence ou de divergence des lignes de champs
- Le flux à travers une surface s'appuyant sur une courbe fermée est
indépendant de la surface choisie.

 
on pose c(r, t)  c 0 e i(k.r -wt) , on a alors :
 

div( C)  ik .C
II.
Equations de Maxwell
Equations de Maxwell (équations locales dans le vide) :

- div( B)  0


- div( E) 
0

 
B
- Rot(E)  t




E
- Rot(B)   0 j   0  0
t
Les équations de Maxwell s’appliquent aux grandeurs moyennées. On peut les utiliser en
statique et en dynamique.
Equation de conservation de la charge :
 
div( j ) 
0
t
Relaxation d’un conducteur homogène :


j  E
avec  conductivité
5
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
donc    0 e
III.
-t

avec  
0
 10 19

Ondes électromagnétiques dans le vide
Les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère montrent qu’une onde
électromagnétique existe dans le vide.
On a alors la relation :


 2E
E -  0  0 2  0
t

c’est la même relation pour B .
6
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
Charges dipôles et multipôles
I.
Dipôle électrique
A. Doublet électrostatique
M
P
+q

a
N -q
Champs et potentiel créé par ce dipôle :



E( M ) 
1
PM
NM
q(

)
3
40 PM
NM 3
V( M ) 
1
1
1
q(

)
40 PM NM
B. Dipôle électrostatique
P

a

u
M

r
r >> a
N
On se place dans l'approximation où r >> a. L'expression du potentiel créé en un point M très
loin de O s'obtient en faisant un développement limité de l'expression du paragraphe
précédent ; on aboutit à :



1 p.u
V( M ) 
avec p  q.a qui est le vecteur dipôle électrique.
40 r ²
7
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
C. Action subie par le dipôle dans un champ extérieur
1. Dans un champ uniforme

 
Force exercé sur le dipôle : F  q( E  E)  0
 

   
Couple exercé sur le dipôle :   a  qE  qa  E  p  E
Ce couple a tendance à aligner le dipôle dans le sens du champ.
2. Dans un champ non uniforme





   
La force subie par le dipôle devient : F  q(E(P)  E(N))  q( NP . grad ).E  p. grad (E)
  

Remarque : cette dernière formule est équivalente à : F  grad (p.E) dans le cas unique où le
 
rot E  0
La résultante des forces attire le dipôle vers les champs intenses.
D. Energie potentielle du dipôle et du champ appliqué
Par définition :



W  q( V( P)  V( N))  q. NP . grad V  pE
II.
Le dipôle magnétique
A. Expression du moment dipolaire
M

r
R
Monospire de courant
Le potentiel vecteur créé par cette spire est tel que :

 
I.dl  0
1
A 0 

(    P (
)  dS
S
4 C PM 4
PM

1
u
)
avec  P (
PM
r²
 





 0 .I u

I.S u  0  u
  dS   0
 
m
d'où : A  
où m  I.S est la moment magnétique
S
4 r ²
4 r ² 4
r²
du dipôle.
8
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
B. Action subie par un dipôle magnétique dans un champ
1. Dans un champ uniforme

Force exercée sur le dipôle : F  0
  
Couple exercé sur le dipôle :   m  B
2. Dans un champ non uniforme
  

La force qui s'exerce sur le dipôle devient : F  grad ( m.B)


m s'aligne sur B et se déplace vers les champs intenses.
C. Energie potentielle
L'expression de l'énergie potentiel d'un dipôle magnétique est :
 
W  m.B
III.
Les distributions multipolaires

Cas du diélectrique : qi, ri
1
V( M ) 
40
d'où :

i
qi
 
r  ri
avec

ri2 2 r ri2 12
 
  12
2
2
r  ri  ( r  ri  2 r ri )  r (1  2  2 )
r
r
 2
r ri
ri2
1
V( M ) 
q
(
1


 .....) (après développement limité)
 i
40 r i
r2
r2
* si
1
 q i  0 alors V( M)  4
0
i
1
* si  q i  0 alors V( M) 
40
i
qi
r
 
 (q i ri ) r 
r2



1 pu
avec p   q i ri
2
40 r
i
L'ensemble des qi serait équivalent à un dipôle électrique.
* si

 q i ri  0
on fait une approximation quadripolaire (hors programme immédiat).
i
9
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
Milieux diélectriques
I.
Notion de polarisation
A. Approche phénomènologique
* Milieu isolant
Dans un isolant, les électrons ne peuvent se déplacer, ils restent attacher à un point.. on peut
citer les liaisons covalentes où les électrons sont piégés dans les liaisons chimiques, et
partagées entre les 2 noyaux.
Il n’y a pas de déplacement dans les matériaux, ni de conduction.
Le milieu est attiré par les champs intenses (donc présence de dipôles)
* Le condensateur plan
++++++++++
---------------++++++++++
------------------
On a apparition de charges surfaciques lorsque l'on introduit un isolant entre les plaques du
condensateur. De ce fait, la capacité du condensateur augmente.
B. Définition de la polarisation

Au niveau microscopique, on a apparition de dipôles électriques q .
Au niveau macroscopique, on considère la densité volumique de dipôles N.
La polarisation correspond à la densité volumique de moment dipolaire électrique :


P  Nq (en C/m²)
Retour sur l'expérience du condensateur :
On note  la densité de charges surfaciques :  = Nq = P
 correspond au déplacement des charges.

 
La polarisation P est une quantité locale P( r ) .
10
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
C. Densités de charges équivalentes
On considère un volume de charge qi, de densité volumique ni,

chaque charge ayant un vecteur déplacement  i .


La polarisation de ce milieu vaut alors : P   n i q i  i

qi
i
V
On défini alors dQs, densité élémentaire surfacique de charges, on a :
   
dQ S   n i q i  i .d  P.d alors

 P  P.n densité surfacique de charges.
i
 
Alors Q S   dQ s   P.d' sur une surface interne au volume.
'
'
La charge restant à l'intérieur de ' est :
 


Q '  Q S   P.d'    div P.dV    P dV' avec  P  div P
'
V
V

Sur le volume V total, initialement neutre, on a : Q    ud 0

Dans le cas d'un régime dynamique : ( < 1015 Hz)

 P ( t )  div P( t )




d i
d i dP


vi 
d'où
j   niqi v i   niqi

dt
dt
dt
i
i

 dP
j
Finalement
courant de polarisation.
dt
En régime dynamique, il faut que la longueur d’onde du système soit grande devant les
longueurs atomiques
II.
Champ et potentiel créés par un milieu polarisé
A. Calcul direct
1
V
40
Pour le potentiel, on a :

P.u
V r 2
dV
B. Calcul a partir des charges de polarisation

gradM
1

OM

u

r²

et grad P
1

OM




div (f .a )  f .div a  (grad f ).a
r

u

r²
alors
O

u
M

 

1
P
1
P. grad P
 div (
)
div P
PM
PM
PM
11
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA


div P
P
1
 div PM dV  40  PM dV

 
div P
1
P.d
1
Soit : V 

dV
40  PM 40  PM
1
alors V 
40
V

P
P
M

u
C. Cas particulier important : milieux uniformément polarisés

P  cte

P



Moment dipolaire total :    P.dV  P.V


 1

1
P.u
u
d'où,
V
dV

P
.
dV
V

P
.E *
40  r ²
40  r ²



1
u
 dV où  = 1, E * est un champ fictif.
avec E* 

40
r²
Exemple d'application : sphère uniformément chargée

E*

P

r
R
A l'extérieur de la sphère :
3
 1 4 3 R 
r > R : V  P.
u
40
r²
 
1 .u
Alors : V 
40 r ²
A l'intérieur de la sphère :
3
 1 4 3 r u
r < R : V  P.
40
r²


1
P. r
Soit : V 
3 0

  

Enfin : E   grad V   grad ( P.E*)


P
d'où E  
, on a affaire à un champ dépolarisant.
3 0
12
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
Généralisation :
Le champ dépolarisant d’un système vaut E pz   N
P
0
N dépend de la géometrie du
système.
1
3
Dans un système anisotrope, Nx+Ny+Nz=1
Dans un système isotrope, N 
Cas limite :

P
- - - - - - - - - - - - - - -
p=P




P
Si P  Pe z , on a E p  
ε0




Si P  P e x , on a E p  0
D. Equations de Maxwell


B
rot E  
t

   l   p l div P
div E 



0
0
0
0


 
Par définition : D   0 E  P

Alors : div D   l
Conséquences : relations de continuité


B
rot E  
t


 E dl   t  B  0


donc si e  0, E T 2  E T1

e
2
1
13
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA

D N2

div D  l

 
div
D
dV

D

 . dl
si e  0, DN2 – DN1 = l
e

D N1
On en déduit alors que : E N 2  E N1 
III.
  l  p
T

car div E 
0
0
0
Polarisation induite
A. Susceptibilité, permitivité diélectrique
Cette notion exprime la notion de nécessité de tenir compte de la spécificité des différents
matériaux ; on fait l'hypothèse d'un régime linéaire et on suppose qu'en l'absence de
sollicitation extérieure, le milieu est non polarisé.
Alors :
 
 
P( r )   0 E( r )
Il s'agit d'une relation locale instantanée.
Px


De manière générale, on a : Py   0   i j

Pz






 Ex 
 
 Ey 
E 
 z
0



Cas particulier du milieux LHI : ( r )   soit ( i j )  


0
 

Ordres de grandeur :  > 0
- milieux dilués (gaz),   10-3 à 10-4
- milieux denses
| liquides,   2 à 80
| solides,   1 à 104
Définitions supplémentaires :

 



D   0 E  P   0 (1  )E   0  r E   E
r  1  
 r : permittivité relative, constante diélectrique relative.
 : permittivité, constante diélectrique
14
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
B. Equilibre électrostatique
On a le schéma suivant :
Distribution de charges (charges et polarisation )
champ de polarisation induite
Champ électrique extérieur
création d'un champ
On a alors les relations suivantes :

  T  l  div P
div E 

0
0


P   0 E

 
B
rot E  
t

div D   l


D  E

 
B
rot E  
t
Exemple de calcul : Cas de la sphère



On considère un champ extérieur E 0 uniforme, alors : P0   0 E 0






P0
P0
Ceci crée un champ induit : E1  E po  
d'où P1   0 E1   0
3 0
3 0
En continuant ainsi de façon récurrente, on arrive à une expression de la polarisation réelle
totale suivante:
 


 ²
 
or
P  P0 (1   .....)   0
E0
P   0 E

3 9
1
3


E
Donc, dans la sphère : E  0

1
3
Notion de polarisabilité :
- Dipôle microscopique


Relation constitutive microscopique : p   0 E
 représente la polarisabilité du milieu
Lien avec la polarisation



où N est la densité volumique de dipôle et   N .
P  Np  N 0 E
Dans le cas des milieux dilués, on néglige les dipôles voisins.
Pour les milieux denses (sphère), on fait l'hypothèse d'un champ et d'une polarisation
uniforme.

 






P

 E0  E
et E  E 0  E P  E 0 
P   0 E
E0
3 0
3

E

EP

P
15
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
Hypothèse de base


Si E est uniforme, alors P est uniforme
Pour la sphère, on avait trouvé, dans le cas d'une polarisation uniforme :


E0
ce qui confirme l'hypothèse.
E

1
3
Milieux dilués :   N
Milieux denses :
Il existe un lien entre la susceptibilité et la polarisabilité dans un milieu uniformément
polarisé.

P


L




On considère un dipôle microscopique p en M : p   0 E l où E l est le champ


microscopique local résultant de E 0 et de l'ensemble des dipôles sauf le dipôle p .




Ainsi : E l  E 0  E d où E d est le champ créé par tous les autres dipôles;
On suppose : r >> distances inter-atomiques
r << L




Alors : E l  E 0  E d  E q

Cavité sphérique
 P  P cos  densité surfacique de charge opposée à celle de la sphère uniformément
polarisée.


P
E d 
3 0

De plus, dans les liquides ou dans les milieux cristallisés à haute symétrie, E q  0








P
P
)
Donc : E l  E 
avec P  Np  N 0 E l  N 0 ( E 
3 0
3 0




N
N
d'où : P(1  )  N 0 E soit P   0 E avec  
(relation de Clausius Mosotti)
N
3
1
M
3
Moossoottttii :: ccééllèèbbrree
iinnvveenntteeuurr dduu rriissoottttoo
N  r  1

Et :   1   r d'où
3
r  2
N
M r  1 N A
Or : N   A d'où

 r  2
3
M
16
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
C. Mécanismes de polarisation
1. Polarisabilité électronique
Exemple de l'atome de Thomson
Hypothèse simplificatrice : l'atome est assimilé à un nuage électronique indéformable et

uniformément chargé et il forme un dipôle électrique ed et on suppose que le noyau est à

l'équilibre électrostatique sous l'action de E l et du champ créé par le nuage électronique
d
x
x e-
x e-
D'après le théorème de Gauss : 4d ² E e 
e d3
0 a 3


A l'équilibre : E l  E e




p  ed  0 E l  40 a 3 E l d'où   4a 3
 d'où  = 1.86.10-30 m3
Dans l'atome d'hydrogène, a = 0.529 A
En mécanique quantique, th=18a3=8.37*10-30m3
2. Polarisabilité atomique ou ionique
Exemple d’une structure ionique
.Na+
.ClLes ions Na+ et Cl- créent un moment dipolaire électronique à l’échelle de la maille cristalline
17
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
3. Polarisabilité d’orientation
Milieu électrique: ensemble de molécules ou de moments dipolaires électriques permanents

El  0

Les p ont une orientation aléatoire

Donc : P  0

El  0

Les p ont une orientation précise

Donc P  0

 
w   p.E l les dipôles s’alignent sur le champ E l . C’est un phénomène statistique gouverné
par l’agitation thermique.

p
4. Statistique de Maxwell-Boltzmann
 
w  -p.E l  -p.El . cos( )


la probabilité pour que p fasse un angle  avec E l :
-w
P( )  A.e kT  A.e

p.E l . cos( )
k .T



P  N.p parallèle à E l
on a donc : P   p.cos( )
P  N.p.L(
p.E l
)
k.T
avec L(x) 
1
e x  e-x 1

(fonction de Langevin)
e x  e- x x
donc :
p.E l
  , tous les dipôles sont alignés
k.T
p.E l
 0 , les dipôles sont orientés aléatoirement
- pour
k.T
P 2 .E l
p2
pE l 
  . 0 .E l avec  
loi de Curie
3k.T
3 0 .k.T
-
pour
 est appelé polarisabilité d’orientation
18

El
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
IV.
Matériaux à propriétés diélectriques particulières
A. Matériaux ferroélectriques
Définition :
Un matériau ferroélectrique est un matériau présentant une polarisation non nulle Ps en
l’absence de champ extérieur
Ps est appelé polarisation spontanée. Cette polarisation est différente de la polarisation induite

qui vaut P   0 E0
 il y a généralisation de la notion de susceptibilité

P   0 E0
 caractérisation simple :

on applique un champ électrique E alternatif et on mesure la polarisation en fonction du
champ
P
Champ coercitif
Ps
Ec
Emax
E
Cycle d’hystérésis
Exemple type : titanate de baryum (BaTiO3)
Un changement de polarisation implique un changement de la structure
cristalline
Cf figures de pages 7, 8, 9 du poly
19
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
B. Interprétation
1. Evolution de r en fonction de T
La relation de Clausius-Mosotti donne :
N

 r 1
N
13
à température critique (T=Tc)  r   
N
1
3
N=3+a(T-Tc)
Si T est croissant:
- il y a dilatation. Donc V augmente et N diminue
- le désordre augmente,  diminue
donc a<0
r 1 
donc
N
3N

N - a(T - T) c
13
r 1 

loi de Curie-Weiss
T - Tc
2. modèle linéaire de chaîne de dipôle
O
a

p

p se crée sous l’action d’un champ local. Il est appelé polarisation spontanée (instantanée)
Ep 
1 2p
car cos()=1
40 a 3

p

Ep
d
on effectue la sommation en O de toutes les contributions dipôlaires
 0.383p
2p  2
2
2
El   E p (0) 

 ..... 
 3
3
3
40  a
 0a 3
2a  3a 

20
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
p  0 ( E p )  p
0.383
a3
donc :
- soit p=0
0.383
- soit
=1
a3
3. approche thermodynamique
on se place dans un milieu isolé (absence de champ
l’énergie libre du système est : F(T, Ps)
T>Tc
T<Tc
Donc il existe 2 solutions
stables : Ps
-Ps
F0(T) Ps
F(T, P)  F0 (T)  a T P  bT P 2  cT P3  d T P 4  ....
la courbe est symétrique par rapport à l’axe des abscisses (F(T, -P)=F(T, P)) , donc a=c=0
 F 
   0 donc il y a un extremum en P=0
 P P  0
 2F
 0 : il y a un maximum
P 2
 2F
- si T<Tc ,
 0 : il y a un minimum
P 2
1
on peut alors poser : b   (T - Tc )
2
-
si T>Tc ,
F(T, P)  F0 (T) 
Si
F
 0 alors :
P
1

 (T - Tc )P 2  P 4
2
4
 (T - Tc )P  P3  0
21
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
 (T - Tc )
pour T<Tc

Donc : P=0 ou P 
Cf figure p8 du poly
4. en présence d’un champ électrique
 
G(T, P, E)  F(T, P) - P.E
G  F0 (T) 


avec P polarisation et E champ électrique
 
P.E est l’énergie d’interaction
1

 (T - Tc )P 2  P 4 - P.E
2
4
G
 0 , on a :  (T - Tc )P  P3 - E  0
P
 (T - Tc )  P 2 P  E
on différencie cette expression
 (T - Tc )  3P 2 P  E
si




comme P   0 E
1 P
on a :  
 0 E
1
1

 0  (T - Tc )  3P 2
au voisinage du point d’équilibre :
-
si T>Tc, Ps=0 et
-
si T<Tc, Ps2 

1
1
 0  (T - Tc )
loi de Curie-Weiss
 (Tc - T)


1
1
 0  (T - Tc )  3 (Tc - T)

1
2 0  (Tc - T)
cf figure p10 du poly
ATTENTION
Le phénomène de polarisation spontanée n’est pas le plus important. C’est l’augmentation de
la constante diélectrique  à la transition de phase qui nous intéresse le plus.
On en déduit des propriétés physiques
Stabilité en fréquence, en température et en r élevé
22
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
C. Matériaux piézo-électriques
Définition
- un matériau piézo-électrique est un matériau dont l’état de polarisation est fonction de la
contrainte mécanique appliquée
- un matériau qui peut se déformer sous l’action d’un champ électrique supérieur
Modélisation
P=0E+D avec D tenseur piézo-électrique
P
l
l
avec S tenseur de souplesse
dS
 = déformation
=S+DE
σ
dP
P
F
S
dF
dS
Une déformation crée une polarisation car il n’y a plus de symétrie.
V.
Milieux diélectriques en régime dynamique
La relation instantanée de la polarisation est :

 
P(r)   0 E(r)
cette relation est approximative.
La relation réelle est :

 
P(r, t)   0 E(r, t, t 0 )
il y a dépendance en fonction du temps sur la base de fonction harmonique (série de Fourier)
on écrit le champ E sous la forme :
E=E0cos(wt)
P s’écrit donc sous la forme :
P=P0cos(wt-)
A. Grandeurs complexes


E  Re( E )


P  Re( P )


P   ~E
0
avec
avec
avec
 
E  E0e-iwt
 
P  P0e-iwt
~ susceptibilité complexe
On pose ~   'i ' ' avec ~ ,  ' et  ' ' dépendent de w



P  Re( P)  Re( 0 ~E)
donc P   0 Re 'i ' 'E0 cos(wt)  i.sin(wt)
P   0  ' E0cos(wt) ' 0  ' ' E0sin(wt)
 ' : terme en phase

23
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA


 ' ' : déphasage entre E et P
si w0 alors ~   avec  susceptibilité statique (nombre réel)
 ' 
donc
 '' 0
si w alors ~  0
 ' 0
donc
 '' 0
constante diélectrique
~   ' ' '


 

D  ~E   0 E  P   0 (1   ' ) E
 '   0 (1   ' )
donc :
 ''  0 ''
 
 
Pw ( r, t)   0 (  'i ' ' ).Ew ( r, t)

1
 '  Re   F(v) e-iw d 

0  0
on en déduit donc :

1
 ' '  Im  F(v) e-iw d 
0

' 
relation de Kremers-Konig
B. Phénomènes de résonances
1. Polarisabilité électronique
I
absorption
Expérience
w
N
W0
diffusion
I
Graphe de
diffusion
W0
w
24
graphe de
l’absorption
w
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
On considère une particule de masse m et de charge e
Forces appliquées sur cette particules :

- force électrique : - eE

- force élastique : -kx ex
On applique la relation fondamentale :
-eE-kx=mx’’
x=0 correspond à la position d’équilibre
moment dipôlaire électrique vaut:
p=-ex
on obtient alors :
k
e2
p' ' p  - E
m
m
en régime harmonique, on a :
p’’=-w2p
e2
p  p 0e-iwt
donc : p(w 02  w 2 )   E
m
2
e2
1
1
~E avec ~   e
E



0
2
2
2
m (w 0  w )
 0 m (w 0  w 2 )
on voit que ~ est réel
p
e2 1
si w<w0, et w0  0, alors ~  
  statique
 0 m w 02
si w>w0, alors <0
si w=w0, alors ~  
On applique une force d’amortissement supplémentaire à la particule.
Cette force est de la forme: -fx’
Le PFD donne:
-eE-fx’-kx=mx’’
moment dipôlaire électrique vaut:
p=-ex
on obtient alors :
f
k
e2
p' ' p' p  - E
m
m
m
w
e2
donc : p(w 02  w 2 - i )   E

m
2
e
1
~ 
 0 m (w 2  w 2  i w )

0


w
i
2 
2
2 2

e
w

w
0

~ 


2
2 
w
w
 0m  2
(w  w 2 ) 2  2 (w 02  w 2 ) 2  2 
 0

 
e2
 'i ' '
~ 
 0m


25
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
cf les courbes de fonction
 w
w
'
 ''
 et
 p12 du poly
 f 
 f 
0
0
 w0 
 w0 
Approche quantique du système
E
Ek
Ej (wj)
h(wj-wi)
Ei (wi)
Si w=wj-wi, alors il y a absorption du photon
Remarque:
r est toujours supérieur à 1 en statique, mais pas autrement
E
Bande de conduction
hw
wg
Pas d’état intermédiaire
Envoi de photon
Bande de valence
Cf poly p10
Ordre de grandeur
EeV
w=1015s-1 (infrarouge)
26
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
2. polarisabilité ionique
On étudie un système ionique sur lequel on applique les forces suivantes :
- force électrique
- force de rappel
- force d’amortissement
masse caractéristique : M=10000m
k 2
w0 
10 wélectronique
M
C. polarisabilité d’orientation
p
E
P0
t
t=0
P  P0e

t

avec  temps de relaxation
1
P'  - P

si E0, P   0 0E (statique)
1

P' P  0  0 E


régime harmonique
1


 - iw  P  0  0 E



1
donc: P   0 0 E
1 - iw 
1
 ~   'i ' '
1 - iw 
on ajoute des phénomènes pour donner la contribution globale à la polarisation
27
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
Milieux aimantés
On peut effectuer une comparaison entre les milieux diélectriques et les milieux magnétiques
Milieux diélectriques
Milieux magnétiques
Charges  Courant
Dipôles  Dipôles
Polarisation  Aimantation
E, D, P  B, H
, , r  , , r
I.
Aimantation
A. Approche phénoménologique
1. Aimant permanent
Il existe une polarisation spontanée dans les matériaux ferroélectriques. Cette polarisation est
masquée par les charges.
Les matériaux ferromagnétiques sont des aimants permanents. Dans ces mmatériaux, on peut

avoir un champ magnétique B intense.
3 matériaux interviennent fréquemment dans les matériaux ferromagnétiques :
- Fe
- Co
- Ni
Un aimant permanent influence les courants :
I
I
N
S

F
F

B
On peut se poser les questions suivantes :
28

F
F
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
-
Y-a-t-il des courants équivalents à un système aimanté ?
Quel est l’origine microscopique de ces courants équivalents ?

2. Réaction des solides plongés dans un champ B
Il existe 3 types de réactions :
- les solides sont fortement atterrés par les champs intenses
ces solides sont appelés milieux ferromagnétiques (Fe,……..)
- les solides sont faiblement atterrés par les champs intenses
ces solides sont appelés milieux paramagnétiques (Al,……..)
- les solides sont faiblement repoussés par les champs intenses
ces solides sont appelés milieux diamagnétiques (Bi,……..)
3. influence du milieu magnétique sur l’extérieur
I
On place
un noyau

B'

B


Dans un milieu ferromagnétique : B'  B
 
Dans un milieu paramagnétique : B'  B
 
Dans un milieu diamagnétique : B'  B
4. tentatives d’interprétation
dans les milieux ferromagnétiques, on doit avoir un ordre de dipôle magnétique élémentaire
dans les milieux paramagnétiques, les dipôles magnétiques permanents s’orientent dans le
champ extérieur
dans les milieux diamagnétiques, il y a création de dipôles magnétiques induits s’opposant à

la variation de B extérieur (loi de Lenz)
29
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
B. Aimantation et densités de courant équivalents
On ne connaît pas la source microscopique de l’aimantation du système
On imagine dans un solide un ensemble de boucles de
courant (ces boucles n’ont pas forcement de réalité
physique, ce sont des constructions artificielles. Mais
on sait que l’on peut assimiler un solide à un ensemble
de boucles de courant).
Ces boucles peuvent rendre compte des propriétés
physiques de la matière

sj
Ij
Moment dipolaire d’un dipôle magnétique élémentaire :


m j  I js j
densité volumique :
nj dipoles/unité de volume
Aimantation : densité volumique de dipole magnétique


M   n jm j
j


M   n jI j s j
j
avec pour unité :

m j en Am2

M en A/m
On prend un système matériel :
Cette boucle
admet une
contribution
 : la surface considérée
C: la courbe considérée


dl

sj
Ij
Ces boucles ont une
contribution nulle
On effectue un bilan de densité de courant élémentaire traversant 
 

Si la boucle de courant m j a son centre dans le volume S j .d l , il y a une contribution Ij au
courant traversant 
30
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA


Pour d l , la contribution des boucles de moment m j vaut :
 
I j n j.S j.d l
la contribution de toutes les boucles vat alors :
 
 I j.n j.Sj.dl  M.d l


j
le courant traversant  vaut alors :

 
  
 
R
o
t(
M
)

jm densité volumique de courant
avec
M
.d
l

R
o
t
(
M
).d




C
Z
Y
X

M
dz
Boucle de courant
dx
dy

On choisit arbitrairement M
0 
  
M  0 
M 
 z
le moment magnétique du volume


m  M.dx.dy.dz


m  dI.dy.dz. ez
donc : dI  Mz .dx
d3M  dx.dy.dz vaut alors :
1er cas :
 
si la face dx.dz est à la surface du solide de normal n  e y , la densité surfacique de courant
est :

dI 
ex  M z ex
dz


dI 
ey  M z ey
pour la face dy.dz de normale ex , on a
dz
rq : il y a équivalence entre un barreau aimanté et un solénoïde
la densité surfacique de courant vaut donc :
31
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
s
 
jm  M  n
2ème cas :
dx.dy.dz est à l’intérieur du volume
dy
dy
y
x
dx
M(x, y)
dx
dI1=Mzdz
s  
j Mn

 
Rot(M)
M(x, y+dy)
dI1=Mz(x, y+dy)dz

x
On a :
dI=(Mz(x, y+dy)-Mz(x, y))dz
M z
dydz
=
y
On obtient alors la densité de courant :

 
jm  Rot(M)
cf haut de p14
II.
Champ et potentiel créés par un milieu aimanté
A. Calcul direct
M
V
dV
P
32
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
 

0 m  r
dA 
4
r

on a : m  dV
 
 0
Mr
donc : A 
dV
4 V r 3
B. A partir des densités de courant équivalentes
On rappelle que :
 
 


 Rot(f. a)  f.R ot(a)  gr ad(f)  a

 1
r
  3  gr ad 
r
r



  1 1  
 M
r
M  3  M  gr ad   Rot(M) - Rot 
r
r r
 r 



 

 M
Rot(M)
A  0 
dV - 0  Rot dV
4 V
r
4 V
 r 


 M
 M
V Rot r dV  1 n  r d

 
 0
0
jm
Mn
A
dV 
d
4 V r
4  r
cf poly p14
C. Généralisation des équations de Maxwell
Les équations de Maxwell moyennées sur un domaine macroscopique sont :

 div( B)  0


 
E
)
 Rot(B)  μ 0 ( j  ε 0
t

on développe alors le terme j :

  P
 
j  jl 
 Rot(M) avec
t

 

Densité pour les
charges liées

jl contribution des charges libres

P
courants de polarisation
t
 
Rot(M) courants d’orientation
33
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA

 B

On pose par définition : H 
 M excitation magnétique
μ0
On obtient alors une nouvelle forme de l’équation de Maxwell-Ampère :

 D
 
Rot(H)  jl 
t
les 4 relations de Maxwell sont alors :

 D
 
Rot(H)  jl 
t

div( B)  0


div( E) 
0

 
B
Rot(E)  t
conséquences
1. conservationde la charge :
 
on a div(R ot(H))  0



ρ l
 
div( D)
div(R ot(H))  div( jl ) 
 div( jl ) 
t
t
on obtient alors la formule de conservation de la charge libre :

ρ l
div( jl ) 
0

t


 
P
on a : jliée 
 Rot(M)
t 

ρ
 
div( P)
div( jliée ) 
 div(R
o
t(
M))   liée


t
t
0
on obtient alors la formule de conservation de la charge liée :

ρ liée
div( jliée ) 
0
t
2. relation de continuité

B N2

on a : div( B)  0
donc : BN1=BN2

34

B N1
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA

 D
 
on a : Rot(H)  jl 
t
x

n




donc : H TT2  H T1  jlS  n

y
z
.
D. cas particuliers : milieux uniformément aimantés


Moment magnétique total M T




M T   M.dV  M  dV  M.V
V

V

Potentiel vecteur A :
 

 0

 0

Mr
r
A
dV M   0  0 
dV 


3
3
V
4
 0 V r
r
4



E'

 

A  ε 0μ 0 M  E avec E ' champ électrique fictif, calculé à paritr d’une pseudodensité de charge volumique constante et égale à 1

Champ B :

 
  
B  Rot(A)  ε 0μ 0 Rot(M  E' )


  
 

  
Rot(M  E' )  (div( E' )).M - (div( M)).E'(E'.grad).M - (M.grad).E'




M est uniforme, donc div( M)  0 et (E'.grad).M  0




  
donc : Rot(M  E' )  (div( E' )). M - (M.grad).E'

on obtient alors :
- à l’extérieur du milieu :



B  -ε 0μ 0 (M.grad).E'
- à l’intérieur du milieu :




B  μ 0 M - ε 0μ 0 (M.grad).E'
Cas particulier : sphère uniformément aimantée


Soit une sphère de volume V et de moment magnétique M T  M.V
Champ à l’extérieur de la sphère :
Le champ à l’extérieur de la sphère est
identique au champ créé par un dipôle

magnétique unique de moment M T , situé
au point O.
35
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA

 

 1
Bext  0 . 3 3 M T .er  M T
4 r



Champ à l’intérieur de la sphère :




Bint  μ 0 M - ε 0μ 0 (M.grad).E'
on applique le théorème de Gauss à l’intérieur de la sphère pour déterminer le champ fictif
radial E’r :
3
Q ' 43 r
2
4r E ' 

0
0


r
r
E'r 
donc E ' 
3 0
3 0
on a alors :






E'
E'
E' M
(M.g rad).E'  M x
 My
 Mz

x
y
z ε 0
N
NB
B :: iill ppeeuutt êêttrree iinnttéérreessssaanntt ddee rreeggaarrddeerr ccee ccaallccuull eenn ppaassssaanntt ppaarr lleess ccoooorrddoonnnnééeess ppoollaaiirreess,, llee
pprrooff nn’’aayyaanntt ppaass ssuu eexxpplliiqquueerr ccee rrééssuullttaatt
On obtient donc :



1  2 
B int  μ 0 M  ε 0μ 0
M  μ 0 M uniforme (car M uniforme)
3ε 0
3
on en déduit alors :



B 
M
Hm 
M
μ0
3
1
le coefficient est un facteur géométrique, il dépend de la forme du solide.
3
Comparaison avec les dipôles électriques



P
On peut faire un parallèle entre H et E  
, champ dépolarisant dans un milieu
3ε 0

diélectrique. H est considéré comme un champ démagnétisant.
dans un milieu magnétique :




 Bm
div( H m )  div 
 M   div M  0
μ0

 
dans un milieu diélectrique :

 ρ ρp
div( P)
div( E) 


ε0 ε0
ε0
 
 
Rot(H m )  jl  0

 
B 
Rot(E)  
0
t
36

B m est un champ créé par aimantation
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
Remarque
On aurait pu faire le calcul avec le courant.
Dans le cas des milieux uniformément aimantés, le courant volumique est nul, il existe
uniquement un courant surfacique. On peut considérer que l’on a un ensemble de spires de
rayon variable. Le problème est qu’on ne sait faire facilement le calcul du champ
démagnétisant qu’au centre de la sphère.
III.
Aimantation induite
A. Susceptibilité magnétique et perméabilité magnétique
Ces notions sont plus délicates à traiter que dans les milieux diélectriques.
Pour l’instant, on ne traite que les milieux à réponse faible : ce sont les milieux
diamagnétiques et paramagnétiques.
Relation constitutive
On aurait tendance à écrire que la relation constitutive de la susceptibilité est :
 
 
B( r )
M( r )  χ m
χ m susceptibilité magnétique
μ0
 
B( r ) =champ extérieur + champ créé par aimantation
Cette relation est locale et instantanée.


on peut ici aussi faire un parallèle avec les milieux diélectriques : P  ε 0χ 0 E
on applique certaines hypothèses simplificatrices :
- milieu isotrope : χ m  χ m
- milieu homogène : χ m (r)  χ m
χ m  0 : milieu diamagnétique
10 9  χ m  10 5
ex : Bismuth (Bi) : χ m  10,7.10 5
Cuivre : χ m  9,4.10 6
 m  0 : milieu paramagnétique
 m  10 3
ex : O2 :  m  3.10 3
FeCl3 :  m  3,3.10 3
Par définition :

 B

H
M
μ0
Comme on se trouve dans un milieu à réponse faible :
37
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA

 B
H
μ0


on a donc M  χ m H
la vraie définition de la susceptibilité est :


M χ mH
dans un milieu à réponse faible, on a :

M χ

B
m
μ0

 

B  μ 0 (H  M)  μ 0 H(1  χ m )
on pose alors :
μ r  1  χ m perméabilité relative
μ  μ 0μ r perméabilité absolue
B. Equilibre magnétostatique
1. Equations de Maxwell

div( B)  0

 D
 
Rot(H)  jl 
t


et B  μ H avec  caractéristique du matériau
2. Cas particulier : sphère magnétique plongée bans un champ

uniforme B0

B0
On vérifie l’hypothèse suivante :

M est uniforme dans la sphère
A l’intérieur de la sphère :
Le champ magnétique à l’intérieur de la sphère et égale


au champ extérieur B0 plus le champ créé par aimantation B m .
 

B  B0  B m
 

2
B  B0  μ 0 M
3
38
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
or, on a :

 
 B

 M 
m
μ 0



B
(1  χ m )M  χ m
μ0


 χm  B

M  
χ m  1 μ 0

M χ

mH χ
on obtient donc :


2 χ m 
B  B0 
B
3χ m 1

2 χ m  
  B 0
B1 3
χ

1
m


 χ m  3  
  B 0
B
 3(χ m  1) 
 3(1  χ m ) 
donc : B 
B0
3 χ m

B est donc uniforme dans la sphère
Lignes de champ :
Dans les milieux paramagnétiques, les lignes de champ ont tendance à se rapprocher du
système.
Dans les milieux diamagnétiques, les lignes de champ cherchent à éviter le système.
3. Milieux à réponse forte : les milieux ferromagnétiques
Dans les milieux ferromagnétiques :
- m >>0
- m dépend de l’histoire de l’échantillon

- m dépend de H donc M  χ m (H).H
un milieu ferromagnétique est donc un milieu non linéaire
exemple de calcul sur les milieux ferromagnétiques
39