Electromagnétisme

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Electromagnétisme
1. RAPPELS ET COMPLEMENTS D’ELECTROSTATIQUE DU VIDE
1.1. Loi de Coulomb et champs électrostatique :
2
PM
qq
F M k PM
PM
Ecriture locale :
2
.
MP
PM
F M q E M E M k q PM
Le champs électrique
EM
dérive du potentiel scalaire :
E r V r 
Première loi de l’électrostatique :
0
M
rot E M
1.2. Potentiel :
Potentiel d’une charge
P
q
:
te
P
q
V M k K
r
Potentiel d’une répartition discrète de charges :
te
i
ii
q
V M k K
r
Potentiel crée par une répartition continue de charges :
te
M
V M dV M k d K
PM
1.3. Flux de
E
, théorème de Gauss :
int
Ekq d
Pour une répartition de charges :
4
Ekd
Forme locale, deuxième loi de l’électrostatique :
4
M
div E M k M
1.4. Equation de Poisson et équation de Laplace :
Poisson :
4V M k M
Laplace, dans le vide :
0VM
1.5. Relation de continuité à la surface de deux milieux :
La composante tangentielle du champs électrique est continue sur :
2 1 1 2
ˆ0E E n
La composante normale du champs électrique est discontinue sur si la densité
surfacique n’est pas nulle.
2 1 1 2
ˆ4E E n k
Le potentiel électrostatique est continu à la surface de séparation de deux milieux :
0
AB
E M dM V A V B
si
AB

2
1.6. Travail électrostatique :
Travail fourni à
q
sur
dM
:
e
dW F M dM qE M dM     
Pour un déplacement fini :
e B A
AB
W q V V
1.7. Energie électrostatique :
Energie électrostatique créé :
- par la charge
q
au point
M
dans un champs extérieur dont le potentiel est
VM
:
te
P
E qV M K
- par deux charges
1
q
et
2
q
:
12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
12
1
2
Pqq
E k qV M q V M qV M q V M
M
- par une répartition de charge discrètes :
11
22
ij
P i i
i i j i
ij
qq
E k qV M
M
où
i
VM
est le potentiel créé par les autres charges au point
i
M
.
- par une répartition continue de charges :
1
2
PP
répartition
E E r V r d
si
0V
.
Ou :
2
11
24
P
esp
E E M d
k
Densité volumique d’énergie :
2
11
24
P
edE
u M E M
dk
CONSTANTES ELECTROMAGNETIQUES :
Systèmes d’unité
Gaussien
Système international
4k
4
0
1
4
1
0
1
29
0
11
36 .10c
k1
1
c
72
10
k
kc 1
22
c2
1
,
. cm/sc10 3 10
7
10
c
1
k 0
2
4
c
4
. 7
04 10
0
1
.
7
4 10

3
2. DIPOLES ET AUTRES MULTIPOLES ELECTRIQUES
2.1. Moment dipolaire :
.p q NP
Exprimé en Debye :
29 18
1
1 .10 . 10 .
3
Debye C m StatC cm
Moment dipolaire pour une distribution de charge :
ii
i
p q r
M
p M r d
Dans l’approximation dipolaire :
P
rr
2.2. Potentiel d’un dipôle :
11
V M kp MP NP
22
ˆ
.cosp p r
V M k k
rr
Equipotentielle :
2.cos te
rK
;
0
te p
Kk
V
2.3. Champs créé par un dipôle :
33
2 cos sin ˆ
ˆ
pp
E M k r
rr
Lignes de champs :
2
.sin
te
rK
Position de Gauss :
3
3
2
,0 ,
3
,,
22
p
E r E r k rp
E r E r k r
Autre expression du champs :
3
13E M k p r r p
r
2.4. Action d’un champs électrique uniforme sur un dipôle :
00F F P F N E q q    
Champs non uniforme :
.F M qd E M
Moment résultant :
00
.
MMP F P MN F N q NP E p E        
2.5. Energie d’un dipôle :
p
W q V P V N
p
W p M E M  
Si le dipôle est rigide,
P
uniforme et
E
est uniforme, alors on a :
Mp
F M E
2.6. Interaction dipôle-dipôle :
1 2 1 2
3ˆˆ
3
pk
W p p p r p r
r
1 2 1 2 2 1 1 2
4
3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
5F M k p p r p r p p r p p r p r r
r

4
.F M W p E
Energie potentielle :
W p M E M  
Si les deux dipôles sont coplanaires :
12
3
.2cos cos sin sin
ppp
Wk
r
Avec
2 2 2 ˆ
ˆ
cos . sin .p p r p
et sont des angles orientés.
2.7. Interaction ion-dipôle pour un ion de charge
Q
:
Champs crée par l’ion sur le dipôle :
2ˆ
Q
E M k r
r
3
.ˆ
ˆ
2cos . sin .
Qp
F M k r
r
Quadripôle :
2
2
3
3cos
22 qa
V M k r
pour
ra
3. POLARISATION ELECTRIQUE D’UN MILIEU MATERIEL.
3.1 Polarisation induite par un champs électrique local :
.
ind loc
pE
, où est le tenseur de polarisabilité de la matière .
Polarisation macroscopique :
dp
Pd
, où
d
est un élément de volume de polarisation microscopique
dp
.
Pour une distribution discrète de dipôle :
ii
i
P N p
, où
i
N
est le nombre de dipôle par unité de volume.
Potentiel créé par un milieu polarisé électriquement :
2
ˆ
P A r
V M k d
r
Si
P A P
uniforme, alors
2
ˆ
.r V M P k d
r
, équivalent au champs
électrique créé par une densité de charge
1
.
3.2 Distribution de charges équivalent à la polarisation électrique :
ˆ
Aext
AB
M A M B
S
div P A P B n
V M k d k dS
r r r r
Le potentiel créé au point
M
par le volume du diélectrique ayant une
polarisation macroscopique
PA
est équivalent à celui créé par la superposition
des deux distributions de charges suivantes :
- une distribution volumique dans :
pol A
div P A
- une distribution surfacique sur
S
:
ˆ
pol ext
B P B n
.

5
3.3. Vecteur
D
:
0
D M E M P M
.
M lib
div D M M
Pour un diélectrique linéaire, on peut avoir :
0. e
P M E M
,
où
e
est le tenseur de susceptibilité électrique.
00
1er D M E M E M E M
Tenseur de permittivité relative :
1
re
3.4. Condition aux limites :
Au centre d’une sphère LHI non chargée placée dans le vide :
int 0,V
reste fini
Loin de la sphère :
00
, , cos
ext ext
E E V E r
Sur la sphère :
Continuité du potentiel, continuité de la composante tangentielle du champs, et :
2 1 1 2
ˆlib
surf
D D n
2 1 1 2
ˆpol
surf
P P n
La composante de
D
est discontinue si la surface
S
est chargée .
E
est associé aux charges totales (libres et de polarisation)
D
est associé aux charges libres (réellement apportées)
P
est associé aux charges de polarisation (fictives)
tot lib pol
3.5. Polarisation induite dans un diélectrique linéaire homogène isotrope (LHI)
non polaire.
01
tot lib lib
r
, puisqu’il n’y a pas de charges de polarisation.
Equation de Poisson :
0tot
VM
0
lib
r
VM
Ainsi, le problème du diélectrique LHI chargé est donc équivalent à celui d’une
répartition de charge
lib
r
placée dans le vide.
Cas d’un diélectrique LHI non chargé et non polaire :
0 0 0
lib tot pol
et
0div P M
, les charges de
polarisation sont uniquement situées sur la surface limitant le diélectrique et à
l’intérieur de ce diélectrique on applique simplement Laplace.
3.6. Milieu dilué :
Champs électrique à l’intérieur d’une sphère ayant une polarisation uniforme
P
:
int
0
3
EP
Si on procède par itération successives
int int int int
1 1 2 ....E P E P   
avec
finalement
int int
i
i
PP
et
int int
0i p
i
E E E
, on obtient :
1
int 0
0 0 0
int 0
31
132
32
er
er
r
P E E
EE