Electromagnétisme

Electromagnétisme
1. RAPPELS ET COMPLEMENTS D’ELECTROSTATIQUE DU VIDE
1.3. Flux de E , théorème de Gauss :

E  kqint d 


Pour une répartition de charges :
1.1. Loi de Coulomb et champs électrostatique :
F M   k
qP qM
PM
PM 2

PM
PM 2
E  M  dérive du potentiel scalaire :
E  r   V  r 
 V  M    0
1.5. Relation de continuité à la surface de deux milieux : 
La composante tangentielle du champs électrique est continue sur
qP :
E
qP
 K te
r
2
Potentiel d’une répartition discrète de charges :
i
qi
 K te
ri


dV  M  

E
 :
 E1  nˆ12  0
La composante normale du champs électrique est discontinue sur
surfacique  n’est pas nulle.
2
 si la densité

 E1  nˆ12  4 k
Le potentiel électrostatique est continu à la surface de séparation de deux milieux :
Potentiel crée par une répartition continue de charges :
V M  
1.4. Equation de Poisson et équation de Laplace :
Poisson :
Laplace, dans le vide :
rot M  E  M    0
V M   k
divM  E  M    4 k   M 
 V  M    4 k   M 
Première loi de l’électrostatique :
V M   k
d
 
F  M   qM E  M   E  M   k .qP
1.2. Potentiel :
Potentiel d’une charge
    
Forme locale, deuxième loi de l’électrostatique :
Ecriture locale :
Le champs électrique
E  4 k


k
 M 
PM
d  K te

E  M   dM  V  A  V  B   0 si A  B
A B
1
1.6. Travail électrostatique :
Travail fourni à q sur
CONSTANTES ELECTROMAGNETIQUES :
dM :
dWe   F  M   dM  qE  M   dM
Pour un déplacement fini :
We  q VB  VA 
1.7. Energie électrostatique :
Energie électrostatique créé :
- par la charge q au point M dans un champs extérieur dont le potentiel est
V M  :
EP  qV  M   K te
EP  k
où
4
Système international
1

0
4
1
k1
1
10 7 c 2
1
10
, c  3.10 cm/s
2
c
c
4
c
1
10 7
k2 

q1 et q2 :
q1q2
1
 q1V2  M 1   q2V1  M 2    q1V2  M 1   q2V1  M 2  
M 12
2
- par une répartition de charge discrètes :
EP 
4 k
Gaussien
0
AB
- par deux charges
Systèmes d’unité
k1
c2
4 k2 
0
0 

1
1
0 c 2
1
36 .109
1
0  4 .10 7
4 .10 7
qq
1
1
k i j   qiV  M i 

2 i i  j M ij 2 i
V  M i  est le potentiel créé par les autres charges au point M i .
- par une répartition continue de charges :
EP 

 EP 
1
2
répartition
Ou :
EP 
1
2

1
esp
4 k
 
r V  r  d si V     0 .

E 2  M  d
Densité volumique d’énergie :
ue  M  
dEP 1 1

E2 M 
d
2 4 k
2
2. DIPOLES ET AUTRES MULTIPOLES ELECTRIQUES
2.1. Moment dipolaire :
p  q .NP
Exprimé en Debye :
1
1 Debye  .1029 C.m  1018 StatC.cm
3
Moment dipolaire pour une distribution de charge :
p   qi ri
Position de Gauss :
2p

 E  r , 0   E  r ,    k r 3

 E  r ,    E  r , 3   k p
r3
 2 
  2 
Autre expression du champs :
E M   k
i
p     M  rM d
2.4. Action d’un champs électrique uniforme sur un dipôle :

Dans l’approximation dipolaire :
rP
F  M   qd .E  M 
2.2. Potentiel d’un dipôle :
Moment résultant :
1 
 1
V  M   kp 


 MP NP 
p.cos 
p  rˆ
V M   k
k 2
2
r
r
Equipotentielle :
p
V0
2.3. Champs créé par un dipôle :
p sin  ˆ 
 2 p cos 
E M   k 
rˆ 

3
r3
 r

Lignes de champs :
r  K te .sin 2 
F  F  P   F  N   E0  q  q   0
Champs non uniforme :
r
r 2  K te .cos  ; K te  k
1
3  p  r  r  p
r3

M
 MP  F  P   MN  F  N   q.NP  E0  p  E0
2.5. Energie d’un dipôle :
Wp  q V  P   V  N  
Wp   p  M   E  M 
Si le dipôle est rigide, P uniforme et E est uniforme, alors on a :
F  M    M  E p 
2.6. Interaction dipôle-dipôle :


 
   
k
p1  p2  3 p1  rˆ p2  rˆ
r3
3
F  M   k 4 p1  p2 rˆ  p1  rˆ p2  p2  rˆ p1  5 p1  rˆ
r
Wp 



 p  rˆ  rˆ
2
3
F  M    W   p.  E 
3. POLARISATION ELECTRIQUE D’UN MILIEU MATERIEL.
Energie potentielle :
3.1 Polarisation induite par un champs électrique local :
W   pM  E M 
pind   .Eloc , où  est le tenseur de polarisabilité de la matière .
Polarisation macroscopique :
Si les deux dipôles sont coplanaires :
p .p
Wp  k 1 3 2  2 cos  cos   sin  sin  
r
Avec p2  p2 cos  .rˆ  p2 sin  .ˆ

et

P   N i pi , où N i est le nombre de dipôle par unité de volume.
Q:
Champs crée par l’ion sur le dipôle : E  M   k

V M   k
Q
rˆ
r2


Si
P  A  rˆ
d
r2
P  A  P uniforme, alors V  M   P.k
électrique créé par une densité de charge
Quadripôle :
2
2qa 2  3cos  
pour r
V  M   k 3
r
2
Pour une distribution discrète de dipôle :
Potentiel créé par un milieu polarisé électriquement :
2.7. Interaction ion-dipôle pour un ion de charge

dp
, où d est un élément de volume de polarisation microscopique dp .
d
i
sont des angles orientés.
Q. p
F  M   k 3 2 cos  .rˆ  sin  .ˆ
r
P
a

 1.

rˆ
d , équivalent au champs
r2
3.2 Distribution de charges équivalent à la polarisation électrique :
V M   k



divA P  A
rM  rA
d
 A  k

P  B   nˆext
dS B 
rM  rB
S
Le potentiel créé au point M par le volume
polarisation macroscopique

du diélectrique ayant une
P  A est équivalent à celui créé par la superposition
des deux distributions de charges suivantes :
- une distribution volumique dans
- une distribution surfacique sur

:
 pol  div A  P  A  
S :  pol  B   P  B   nˆext .
4
3.3. Vecteur D :
D  M    0 E  M    P  M   divM  D  M     .lib  M 
Pour un diélectrique linéaire, on peut avoir :
P  M    0 e .E  M  ,
où
D  M    0 1   e  E  M    0 r E  M    E  M 
 r  1   e
 0,  reste fini
E ext  ,   E0  V ext  ,    E0 r cos 
Sur la sphère :
Continuité du potentiel, continuité de la composante tangentielle du champs, et :
1
surf

0
tot  V  M  

 nˆ12   lib  P2  P1

surf
La composante de D est discontinue si la surface
 nˆ12   pol
S est chargée .
E est associé aux charges totales (libres et de polarisation)
D est associé aux charges libres (réellement apportées)
P est associé aux charges de polarisation (fictives)
tot  lib   pol
  lib
0 r
lib
r
placée dans le vide.
Cas d’un diélectrique LHI non chargé et non polaire :
lib  0  tot  0   pol  0 et div  P  M    0 ,
Loin de la sphère :
2
V  M  
répartition de charge
3.4. Condition aux limites :
Au centre d’une sphère LHI non chargée placée dans le vide :
D  D 
0
1
lib  lib , puisqu’il n’y a pas de charges de polarisation.

r
Ainsi, le problème du diélectrique LHI chargé est donc équivalent à celui d’une
Tenseur de permittivité relative :
V
tot 
Equation de Poisson :
 e est le tenseur de susceptibilité électrique.
int
3.5. Polarisation induite dans un diélectrique linéaire homogène isotrope (LHI)
non polaire.
les
charges
de
polarisation sont uniquement situées sur la surface limitant le diélectrique et à
l’intérieur de ce diélectrique on applique simplement Laplace.
3.6. Milieu dilué :
Champs électrique à l’intérieur d’une sphère ayant une polarisation uniforme P :
E int  

P
3 0
Si on procède par itération successives
finalement P
int
Eint  P1int  E1int  P2int  .... avec
  Pi int et E int  E0   E int
pi , on obtient :
i
i
1
3   1
  
P int   0  e 1  e  E0  0 r
E
3 
 r  2 0

3
E int 
E
r  2 0
5
3.7. Relation entre permittivité et polarisabilité :
La permittivité relative  r est une grandeur macroscopique reliant la
polarisabilité macroscopique
 atomique ou moléculaire est une grandeur microscopique
reliant le moment dipolaire
pind et le champs local Eloc existant au niveau de cet
atome ou de cette molécule.
pind
   ind 
P  M  au champs électrique macroscopique
E  M  moyenné sur un nombre important d’atomes ou de molécules.
La polarisabilité
Milieux polaires dilués :
d’où
 r 1 
2
E pot 
Modèle pour un milieu non plaire dilué :
N A  0 M  r  1
N  0  r  1


ou encore
, relation de Clausius3
  r  2
3
 r  2



 E r  D r d  ,
    



 esp


1
et 2 est l’état final
3.8. Polarisation d’orientation :
p0 orienté d’un angle  par rapport à E :
E pot 
1

ue  r  
(répartition complète)

esp
1
E  Dd
2
2
11 2
1 D r  1
 E r  
 E r   D r 
2
 2
2
Energie potentielle en fonction de la polarisation :
E pot 
1 p02
p0  p cos  Eˆ 
E
3 kBT
On décrit la polarisation d’orientation des molécules polaires par un terme
supplémentaire dans la polarisabilité :
lib et D
On définit une densité volumique d’énergie potentielle électrostatique :
W   p0  E   p0 E cos
Le moment dipolaire moyen représentant la distribution d’orientation des dipôles
permanents p0 est donc :
lib  0 et D  0 (pas de répartition)
Cas particulier du diélectrique LHI :
Mossoti.
 orient 
1
où 1 est l’état initial
Modèle pour un fluide non polaire dense :
L’énergie potentielle d’un dipôle
p2 
 
N  ind  0 
0 
3kBT 
3.9. Energie potentielle électrostatique dans les diélectriques :

  Eloc et P  M    0  e E  M   0  r  1 E  M 

 M
N A  0
  1
  r
p02
et P  N E0   0 e E0
3k BT
où
1


esp
ED
1
d 
2


esp
E0  D0
1
d 
2
2

P  Ed
dielectrique
E0 et D0 représentent le champs électrique dans le vide.
p02
3kBT
6
4. INTRODUCTION A LA MAGNETISATION DE LA MATIERE :
4.1. Magnétostatique du vide :
La force élémentaire par le circuit filifomrme C1 parcouru par un courant
d’intensité
I1 sur l’élement dl2 du circuit C 2 est :
dF  M   k2 I 2 dl 2 

dl 1  PM
I1
PM 2
C1
L’interaction magnétique entre deux particules chargées et en mouvement :
F  M   k2 q2 v2  q1v1 
PM
PM 2

Le champs magnétique créé par

I1
dl1  PM 1
 I 2 dl 2  B  M 
PM 2

C1 au point M est :
I1 dl 1  PM
PM 2
C1
Pour une distribution volumique de courant
B  M   k2


v  M  et soumise à la force
1


F  M   q  E  M   v  M   B  M   , au point M où règne une



champs électrique
E  M  et un champs magnétique B  M  .
4.1.3. Propriétés du champ magnétique :
Circulation sur une courbe fermée :

B  M   dl  M   4 k2 .I ,
avec I la somme algébrique des courants permanents traversant la surface
S limité par C .
C1
B  M   k2
Une particule q chargée animée d’une vitesse
C
4.1.1. Champs magnétique :
Force de Laplace
dF  M   k2 I 2 dl 2 
4.1.2. Force de Lorentz :
Forme locale :
Flux à travers une surface fermée :

j  P  dans le volume  :
j  P   PM
d , loi de Biot et Savart.
PM 2

rot M  B  M    4 k2 . j  M   0 j  M 

B  M   dS  0  div  B  M    0 ,
S
le champs magnétique est à flux conservatif.
div  B  M    0  B  M   rot M  A  M  ,
le champs magnétique dérive d’un potentiel vecteur
prés ( rot 
A  M  défini à un gradient
   0 ) dans la jauge de Coulomb.
Pour un circuit électrique :
A  M   k2

I
dl  P 
.
PM
C
7
Pour une distribution volumique de courant :
A  M   k2


avec m 
j M 
d
PM
4.1.4. Equation du type Poisson pour
A M  :
4.1.5. Relation de continuité :
La composante de B est continue :
2

 B1  nˆ12  0
2

 B1  nˆ12  4 k2 jS   0

j
 S
Le potentiel vecteur est toujours continu :
A  A   0
2
1
A  M   k2 2
um  M  
20
m  rˆ
r2


Ar  0

A M   
A  0

m sin 
 A  k2 2

r2
Le vecteur surface
forme :
S
4.2. Dipôle magnétique :
4.2.1. Champs magnétique créé par une petite boucle de courant :

2 2m cos 
 Br  k2
1
r3
B  r ,   
 k2 2 3 3  m  r  rˆ  m
r
 B  k  2 m sin 

2
3

r
1
r  dl , et donc le moment dipolaire magnétique d’un circuit
2
C
m
B2  M 

S de la surface limitée par le circuit C peut se mettre sous la
électrique quelconque s’écrit :
4.1.6. Densité volumique d’énergie magnétique :
1
a.
Généralisation de moment dipolaire magnétique :
La composante de B est discontinue sur une surface parcourue par des courants
nappe de courant) :
B
I .S moment dipolaire magnétique pour r

4.2.2. Potentiel vecteur associé :

A  M     div  A  M     4 k2 j  M    0 j  M 



B
1
1
2

1
r  I dl
2
C
Cas d’une distribution volumique de courant
m
1
2


j  P :
1
r  P   j  P  d
2
Cas d’une charge ponctuelle q en mouvement :
m
1
r  P   q.v  P 
2
8
4.2.3. Action subie par un dipôle magnétique dans un champ extérieur B :
Cas d’un champ uniforme
L’aimantation
B0 :
La force de Laplace est nulle et le champ magnétique induit un couple de
moment :


0
1

4.3.3. Distribution de courant équivalent à l’aimantation :
IS  B0  m  B0 .
Une distribution volumique de courants dans le volume
jvol  P    .rot P  M  P  
Une distribution surfacique de courants sur la surface
jsurf  P    M  P   nˆext ,
Le champ extérieur tend à orienter les dipôles magnétiques.
Dans un champs
M  P  du milieu matériel est équivalent à :
B  M  non uniforme, le dipôle magnétique est soumis à une
force F  M     m  B  M   qui tend à déplacer ce dipôle vers les champs
A  M   k2 2
4.3.1. Aimantation macroscopique :
M  P 
1


m , où M  P  est le moment dipolaire magnétique par unité



rot  M  P  

r
d .
courants électriques fictifs (densité jaim )équivalent à l’aimantation de ce milieu.
En posant :
H  P 

M  P   nˆext
dS  k2 2
r
générale ce volume est le siège de courants électriques réels (densité jreels )et de
de volume.
A  M   k2 2
S délimitant  :
4.3.4. Vecteur H , susceptibilité magnétique et perméabilité magnétique.
Soit un volume de matière aimantée (de façon permanente ou induite). D façon

4.3.2. Champs magnétique créé par une milieu matériel aimanté :

S
4.2.4. Energie potentielle d’interaction dans un champ externe :
4.3. Théorie macroscopique de l’aimantation :
:
On a donc :
intenses et à un couple qui tend à l’orienter suivant les lignes de champ.
E pot  m  M   B  M 

1
0
B  P   M  P ,
il vient une nouvelle forme du théorème d’Ampère :
M  P   PM
d , B  M   rot M  A  M 
PN 2
rot P  H  P   

j  P
 reels
En introduisant :
M  P   m H  P 
Si l’aimantation est uniforme :
M  P   M 0 et A  M   k2 2 M 0


PN
d
PN 2
où
 m est un tenseur de susceptibilité magnétique, alors :
B  P   0 1   m  H  P   0 r H  P  , avec  r  1   m .
9
4.3.5. La composante tangentielle du vecteur H est discontinue sur une surface
parcourue par des courants électriques réels :
H
2
 H1

surf

  jS

reels
4.3.6. Energie électromagnétique :
 Em 
1


H  P   B  P  d qui peut s’écrire :
esp

1
 Em   



1 2 
B0 d 
B0   Md

2 0

esp
 volume
aimenté


Variation de l’énergie dans le vide + contribution supplémentaire liée à
l’aimantation du milieu.
5. REGIMES NON STATIONNAIRE. EQUATIONS DE MAXWELL.
5.1. Equations de Maxwell en régime stationnaire :
Electrostatique : charges électriques immobiles :
  r , t 
 0 entraîne les relations suivantes :
t
rot M  E  M    0  E  M    V  M  


0
0
divM  E  M    tot  M   V  M    tot  M 


divM  D  M    lib  M 
Magnétostatique : courants électriques permanents :
divM  j  r , t    0
div  B  M    0  B  M   rot  A  M  
rot  B  M   

0 j tot  M  


A  M     div  A  M      0 j tot  M 



rot  H  M   

j M  .
 lib
Force de Lorentz agissant sur une charge q :

F M   q M  E M   v  B M 

Loi de conservation de la charge respectée :
div  j tot  M   
 tot  M 
0
t
10
5.2. En régime non stationnaires :
Avec
  r , t 
 0 et div  j  r , t    0 ,
t
D  r , t    0 E  r , t    P  r , t    0 r E  r , t 
H  r, t  
mais on a toujours conservation de la charge.
1
0
B  r, t    M  r, t  
1
0  r
B r, t 
Loi de Faraday :
1 B  r , t 
rot M  E  r , t    
,
 t
Le flux induit s’oppose à la variation du flux de
La loi de conservation se divise en deux :
B  r , t  à travers le circuit C .
div  jlib  

lib
 0 et div  jaim   pol  0
t
t
Dans le vide, les équations de Maxwell deviennent :
Loi de Maxwell-Ampère :

1 D  r , t 
rot  H  r , t    jlib  r , t  


t
5.3. Equations macroscopiques de Maxwell avec sources :
 r , r ,  , en présence de charges et courants
électriques réels (libres) de densités volumiques lib  r , t  et jlib  r , t  , les
champs macroscopiques électriques E  r , t  , magnétiques B  r , t  , polarisation
électrique P  r , t  et aimantation magnétique M  r , t  sont reliés par les
Dans un milieu matériel
relations :
div  D  r , t    lib  r , t 
div  B  r , t    0
1 B  r , t 
rot  E  r , t    
 t
rot  H  r , t   

1 D  r , t 
jlib  r , t  


t
div  E  r , t   

  r, t 
0
div  B  r , t    0
rot  E  r , t    
rot  B  r , t   
1 B  r , t 
 t
  E  r , t 

0 j  r , t   0 0


t
5.4. Potentiel vecteur et potentiel scalaire :
Potentiel vecteur
A  r, t  :
B  r , t   rot  A  r , t 
Potentiel scalaire
  r, t 
:
E  r , t      r , t   
1 A  r , t 
 t
Equation aux potentiels :
  r , t  
1  

div  A  r , t        r , t 


 t
0
11
2
 0 0  A  r , t 
    r , t  


A  r , t   2
   div  A  r , t    0 0
  0 j  r , t 
2


t

t 


5.5. Notion de Jauge :
Jauge de Lorentz :
 0 0   r , t 
 0 , entraîne

t
 0 0  2  r , t 

  r , t   2
    r, t 
2

t
0
div  A  r , t   
A  r , t  
 0 0  2 A  r , t 

  0 j  r , t 
2
2

t
0
Jauge de Coulomb :
div  A  r , t    0 , entraine
  r , t   

  r, t 
0
 0 0  2 A  r , t 

A  r , t   2
  0 jt  r , t 
2

t
0
avec
,
 rot  jl  r , t    0


.
j  r, t   jl  r, t   jt  r , t  telles que 
div  jt  r , t    0
12