Propriétés électromagnétiques des champs

Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
Milieux aimantés
On peut effectuer une comparaison entre les milieux diélectriques et les milieux magnétiques
Milieux diélectriques
Milieux magnétiques
Charges  Courant
Dipôles  Dipôles
Polarisation  Aimantation
E, D, P  B, H
, , r  , , r
I.
Aimantation
A. Approche phénoménologique
1. Aimant permanent
Il existe une polarisation spontanée dans les matériaux ferroélectriques. Cette polarisation est
masquée par les charges.
Les matériaux ferromagnétiques sont des aimants permanents. Dans ces matériaux, on peut

avoir un champ magnétique B intense.
3 matériaux interviennent fréquemment dans les matériaux ferromagnétiques :
- Fe
- Co
- Ni
Un aimant permanent influence les courants :
I
I
N
S

F
F

B
1

F
F
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
On peut se poser les questions suivantes :
- Y-a-t-il des courants équivalents à un système aimanté ?
- Quel est l’origine microscopique de ces courants équivalents ?

2. Réaction des solides plongés dans un champ B
Il existe 3 types de réactions :
- les solides sont fortement atterrés par les champs intenses
ces solides sont appelés milieux ferromagnétiques (Fe,……..)
- les solides sont faiblement atterrés par les champs intenses
ces solides sont appelés milieux paramagnétiques (Al,……..)
- les solides sont faiblement repoussés par les champs intenses
ces solides sont appelés milieux diamagnétiques (Bi,……..)
3. influence du milieu magnétique sur l’extérieur
I
On place
un noyau

B'

B


Dans un milieu ferromagnétique : B'  B
 
Dans un milieu paramagnétique : B'  B
 
Dans un milieu diamagnétique : B'  B
4. tentatives d’interprétation
dans les milieux ferromagnétiques, on doit avoir un ordre de dipôle magnétique élémentaire
dans les milieux paramagnétiques, les dipôles magnétiques permanents s’orientent dans le
champ extérieur
dans les milieux diamagnétiques, il y a création de dipôles magnétiques induits s’opposant à

la variation de B extérieur (loi de Lenz)
2
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
B. Aimantation et densités de courant équivalents
On ne connaît pas la source microscopique de l’aimantation du système
On imagine dans un solide un ensemble de boucles de
courant (ces boucles n’ont pas forcement de réalité
physique, ce sont des constructions artificielles. Mais
on sait que l’on peut assimiler un solide à un ensemble
de boucles de courant).
Ces boucles peuvent rendre compte des propriétés
physiques de la matière

sj
Ij
Moment dipolaire d’un dipôle magnétique élémentaire :


m j  I js j
densité volumique :
n dipoles/unité de volume
Aimantation : densité volumique de dipole magnétique


M   n jm j
j


M   n jI j s j
j
avec pour unité :

m j en Am2

M en A/m
On prend un système matériel :
Cette boucle
admet une
contribution
 : la surface considérée
C: la courbe considérée


dl

sj
Ij
Ces boucles ont une
contribution nulle
On effectue un bilan de densité de courant élémentaire traversant 
 

Si la boucle de courant m j a son centre dans le volume S j .d l , il y a une contribution Ij au
courant traversant 
3
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA


Pour d l , la contribution des boucles de moment m j vaut :
 
I j n j.S j.d l
la contribution de toutes les boucles vaut alors :
 
 I j.n j.Sj.dl  M.d l


j
le courant traversant  vaut alors :

 
  
 
R
o
t(
M
)

jm densité volumique de courant
avec
M
.d
l

R
o
t
(
M
).d




C
Z
Y
X

M
dz
Boucle de courant
dx
dy

On choisit arbitrairement M
0 
  
M  0 
M 
 z
le moment magnétique du volume d 3M  dx.dy.dz vaut alors :


m  M.dx.dy.dz


m  dI.dy.dz. ez
donc : dI  Mz .dx
1er cas :
 
si la face dx.dz est à la surface du solide de normal n  e y , la densité surfacique de courant

dI 
ex  M z ex
est :
dz


dI 
ey  M z ey
pour la face dy.dz de normale ex , on a
dz
rq : il y a équivalence entre un barreau aimanté et un solénoïde
la densité surfacique de courant vaut donc :
4
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
s
 
jm  M  n
2ème cas :
dx.dy.dz est à l’intérieur du volume
dy
dy
y
x
dx
M(x, y)
dx
dI1=Mzdz
s  
j Mn
M(x, y+dy)
dI1=Mz(x, y+dy)dz

 
Rot(M)

x
On a :
dI=(Mz(x, y+dy)-Mz(x, y))dz
M z
dydz
=
y
On obtient alors la densité de courant :

 
jm  Rot(M)
cf haut de p14
II.
Champ et potentiel créés par un milieu aimanté
A. Calcul direct
M
V
dV
P
5
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
 
 0 m
r
dA 
4 r 3


on a : m  dV
 
 0
Mr
donc : A 
dV
4 V r 3
B. A partir des densités de courant équivalentes
On rappelle que :
 
 


 Rot(f. a)  f.R ot(a)  gr ad(f)  a

 1
r
  3  gr ad 
r
r



  1 1  
 M
r
M  3  M  gr ad   Rot(M) - Rot 
r
r r
 r 



 

 M
Rot(M)
A  0 
dV - 0  Rot dV
V
V
4
r
4
 r 


 M
 M
V Rot r dV  1 n  r d

 
 0
0
jm
Mn
A
dV 
d
4 V r
4  r
cf poly p14
C. Généralisation des équations de Maxwell
Les équations de Maxwell moyennées sur un domaine macroscopique sont :

 div( B)  0


 
E
)
 Rot(B)  μ 0 ( j  ε 0
t

on développe alors le terme j :

  P
 
j  jl 
 Rot(M) avec
t

 

Densité pour les
charges liées

jl contribution des charges libres

P
courants de polarisation
t
 
Rot(M) courants d’orientation
6
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA

 B

On pose par définition : H 
 M excitation magnétique
μ0
On obtient alors une nouvelle forme de l’équation de Maxwell-Ampère :

 D
 
Rot(H)  jl 
t
les 4 relations de Maxwell sont alors :

 D
 
Rot(H)  jl 
t

div( B)  0


div( E) 
0

 
B
Rot(E)  t
conséquences
1. conservation de la charge :
 
on a div(R ot(H))  0



ρ l
 
div( D)
div(R ot(H))  div( jl ) 
 div( jl ) 
t
t
on obtient alors la formule de conservation de la charge libre :

ρ l
div( jl ) 
0

t


 
P
on a : jliée 
 Rot(M)
t 

ρ
 
div( P)
div( jliée ) 
 div(R
o
t(
M))   liée


t
t
0
on obtient alors la formule de conservation de la charge liée :

ρ liée
div( jliée ) 
0
t
2. relation de continuité

B N2

on a : div( B)  0
donc : BN1=BN2

7

B N1
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA

 D
 
on a : Rot(H)  jl 
t
x

n




donc : H TT2  H T1  jlS  n

y
z
.
D. cas particuliers : milieux uniformément aimantés


Moment magnétique total m T





m T   M.dV  M  dV  M.V avec M aimantation
V

V

Potentiel vecteur A :
 

 0

 0

Mr
r
A
dV M   0  0 
dV 


3
3
V
V
4
 0
r
r
4



E'


 
A  ε 0μ 0 M  E avec E ' champ électrique fictif, calculé à partir d’une pseudodensité de charge volumique constante et égale à 1

Champ B :

 
  
B  Rot(A)  ε 0μ 0 Rot(M  E' )


  
 

  
Rot(M  E' )  (div( E' )).M - (div( M)).E'(E'.grad).M - (M.grad).E'




M est uniforme, donc div( M)  0 et (E'.grad).M  0




  
donc : Rot(M  E' )  (div( E' )). M - (M.grad).E'

on obtient alors :
- à l’extérieur du milieu :



B  -ε 0μ 0 (M.grad).E'
- à l’intérieur du milieu :




B  μ 0 M - ε 0μ 0 (M.grad).E'
Cas particulier : sphère uniformément aimantée


Soit une sphère de volume V et de moment magnétique M T  M.V
Champ à l’extérieur de la sphère :
Le champ à l’extérieur de la sphère est
identique au champ créé par un dipôle

magnétique unique de moment M T , situé
au point O.


M
.
8
o 
Pint
Pext
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA



 

μ 1
Bext  0 . 3 3 M T .e r  M T
4π r

Champ à l’intérieur de la sphère :




Bint  μ 0 M - ε 0μ 0 (M.grad).E'
on applique le théorème de Gauss à l’intérieur de la sphère pour déterminer le champ fictif
radial E’r :
3
Q ' 43 r
2
4r E ' 

0
0


r
r
E'r 
donc E ' 
3 0
3 0
on a alors :






E'
E'
E' M
(M.g rad).E'  M x
 My
 Mz

x
y
z ε 0
N
NB
B :: iill ppeeuutt êêttrree iinnttéérreessssaanntt ddee rreeggaarrddeerr ccee ccaallccuull eenn ppaassssaanntt ppaarr lleess ccoooorrddoonnnnééeess ppoollaaiirreess,, llee
pprrooff nn’’aayyaanntt ppaass ssuu eexxpplliiqquueerr ccee rrééssuullttaatt
On obtient donc :



1  2 
B int  μ 0 M  ε 0μ 0
M  μ 0 M uniforme (car M uniforme)
3ε 0
3
on en déduit alors :



B 
M
Hm 
M 
μ0
3
1
le coefficient est un facteur géométrique, il dépend de la forme du solide.
3
Comparaison avec les dipôles électriques



P
On peut faire un parallèle entre H et E  
, champ dépolarisant dans un milieu
3ε 0

diélectrique. H est considéré comme un champ démagnétisant.
dans un milieu magnétique :




 Bm
div( H m )  div 
 M   div M  0
μ0

 
dans un milieu diélectrique :

 ρ ρp
div( P)
div( E) 


ε0 ε0
ε0
 
 
Rot(H m )  jl  0

 
B 
Rot(E)  
0
t
9

B m est un champ créé par aimantation
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
Remarque
On aurait pu faire le calcul avec le courant.
Dans le cas des milieux uniformément aimantés, le courant volumique est nul, il existe
uniquement un courant surfacique. On peut considérer que l’on a un ensemble de spires de
rayon variable. Le problème est qu’on ne sait faire facilement le calcul du champ
démagnétisant qu’au centre de la sphère.
III.
Aimantation induite
A. Susceptibilité magnétique et perméabilité magnétique
Ces notions sont plus délicates à traiter que dans les milieux diélectriques.
Pour l’instant, on ne traite que les milieux à réponse faible : ce sont les milieux
diamagnétiques et paramagnétiques.
Relation constitutive
On aurait tendance à écrire que la relation constitutive de la susceptibilité est :
 
 
B( r )
M( r )  χ m
χ m susceptibilité magnétique
μ0
 
B( r ) =champ extérieur + champ créé par aimantation
Cette relation est locale et instantanée.


on peut ici aussi faire un parallèle avec les milieux diélectriques : P  ε 0χ 0 E
on applique certaines hypothèses simplificatrices :
- milieu isotrope : χ m  χ m
- milieu homogène : χ m (r)  χ m
χ m  0 : milieu diamagnétique
10 9  χ m  10 5
ex : Bismuth (Bi) : χ m  10,7.10 5
Cuivre : χ m  9,4.10 6
 m  0 : milieu paramagnétique
 m  10 3
ex : O2 :  m  3.10 3
FeCl3 :  m  3,3.10 3
Par définition :

 B

H
M
μ0
Comme on se trouve dans un milieu à réponse faible :
10
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA

 B
H
μ0


on a donc M  χ m H
la vraie définition de la susceptibilité est :


M χ mH
dans un milieu à réponse faible, on a :

M χ

B
m
μ0

 

B  μ 0 (H  M)  μ 0 H(1  χ m )
on pose alors :
μ r  1  χ m perméabilité relative
μ  μ 0μ r perméabilité absolue
B. Equilibre magnétostatique
1. Equations de Maxwell

div( B)  0

 D
 
Rot(H)  jl 
t


et B  μ H avec  caractéristique du matériau
2. Cas particulier : sphère magnétique plongée bans un champ

uniforme B0
On vérifie l’hypothèse suivante :

L’aimantation M est uniforme dans la sphère
A l’intérieur de la sphère :
Le champ magnétique à l’intérieur de la sphère et égale


au champ extérieur B0 plus le champ créé par aimantation B m .
 

B  B0  B m
 

2
B  B0  μ 0 M
3
11

B0
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
or, on a :



B 
M  χ m H  χ m   M 
μ 0



B
(1  χ m )M  χ m
μ0

  χ
 B
M   m 
χ m  1 μ 0
on obtient donc :


2 χ m 
B  B0 
B
3χ m 1

2 χ m  
  B0
B1 3 χ m  1 

 χ m  3  
  B 0
B
 3(χ m  1) 
 3(1  χ m ) 
donc : B 
B0
3 χ m

B est donc uniforme dans la sphère
Lignes de champ :
Dans les milieux paramagnétiques, les lignes de champ ont tendance à se rapprocher du
système.
Dans les milieux diamagnétiques, les lignes de champ cherchent à éviter le système.
3. Milieux à réponse forte : les milieux ferromagnétiques
Dans les milieux ferromagnétiques :
- m >>0
- m dépend de l’histoire de l’échantillon

- m dépend de H donc M  χ m (H).H
un milieu ferromagnétique est donc un milieu non linéaire
exemple de calcul sur les milieux ferromagnétiques
on soumet à un cylindre long un champ magnétique


uniforme B0 . On suppose que ‘aimantation M est
uniforme dans le cylindre.
On se place à l’intérieur du cylindre et on détermine le

champ B m créé par aimantation :




B m  μ 0 M - ε 0μ 0 (M.grad).E'
12

B0

M
z
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA





E'
E'
E'
(M.grad).E'  M x
 My
 Mz
x
y
z
par hypothèse, Mx = My = 0

E' 
le cylindre étant considéré comme long,
0
z
on obtient alors :


Bm  μ 0 M
le champ total à l’intérieur du cylindre vaut :
 

B  B0  B m

 
 
 χm  B

B  B 0  μ 0 M  B 0  μ 0 
χ

1
 m
μ 0

χm  
  B 0
B1 
 χ m  1



B  (1  χ m )B 0  μ r B 0
Remarque :
Comme le cylindre est considéré comme infiniment long, il n’y a pas d’effets de bords. Mais
dans la réalité, les effets de bords existent et influencent le champ magnétique.
D’un point de vue magnétique, un cylindre de longueur infinie est équivalent à un tore.
Etude du tore
On prend un tore formé de N spires et traversé par un courant I . 
B0

Sans milieu matériel dans le tore :
B0
On détermine le champ magnétique créé
par le tore en appliquant le théorème
d’Ampère à un cercle de rayon r.
2rB 0  μ 0 NI
μ 0 NI
M
2ππ
Avec un milieu matériel ferromagnétique dans le tore :
L’aimantation du tore a la forme :
 0 
 

M   M θ  dans un repère en coordonnées polaires
 0 



on calcule le champ B m créé par aimantation. Pour cela, on compare le div et le



Rot de μ 0 M et B :


M r 1 Mθ M z
div( B m )  0
div( M)  0.


0
r
r θ
z

donc div( μ 0 M)  0
B0 
13

B0
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA


 
De plus jT  jl  Rot(M)

et jl  0

 
donc : jT  Rot(M)
on a alors :


 
 

Rot(Bm )  μ 0 jT  μ 0 Rot(M)  Rot(μ 0 M)



μ 0 M et B ont donc le même div et le même Rot .


Donc : B m  μ 0 M


On en déduit B  μ r B0 qui a la même valeur que pour un cylindre de longueur infinie.
Remarque
Un milieu ferromagnétique sert de catalyseur, c’est-à-dire qu’il augmente le champ
magnétique.
Dans le cas du tore, les lignes de champ du milieu ferromagnétique sont piégées dans le tore.
Mais ceci est aussi vrai quand il n’y a pas de bobinage.
Ligne de champ
Le champ est plus intense que
dans le reste du tore
Dans l’entrefer, il y a aussi continuité de la
composante normale du champ. C’est le
principe de l’électroaimant
14
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
IV.
milieux ferromagnétiques
A. principales propriétés et exemples
1. propriétés

L’action d’un champ magnétique extérieur sur un milieu ferromagnétique crée une forte
aimantation.
Dans ce cas : χ m  1

Il y a rémanence de l’aimantation

L’aimantation M dépend de l’histoire de l’échantillon

Les champ intenses créés par le milieu ont un fort pouvoir attractif

Lorsque la température T du milieu dépasse une température critique Tc , le milieu
ferromagnétique perd ses propriétés pour devenir un milieu paramagnétique.
2. Exemples
Les milieux ferromagnétiques ont un ordre « cristallin ».
Il existent des éléments ferromagnétiques :
- Fe, Ca, Ni
- Gadolinium Tc=16°
- Dysprosium Tc=180°
Il existe aussi des alliages ferromagnétiques :
- ferronickel, ferrocobalt
- 61.5% Cu + 23.5% Mn + 15% Al
mais tous les alliages ne sont pas ferromagnétiques :
- certains alliages à base de Fe, Ni, Ca
ex : 68% Fe + 32% Ni
N.B. : certaines propriétés de conduction dépendent du champ magnétique exercé.
On étudie actuellement des matériaux dont la résistance varie suivant l’aimantation
B. approche expérimentale
dans un milieu ferromagnétique, le problème est de calculer le champ magnétique à l’intérieur
du milieu lorsqu’on exerce sur le milieu un champ extérieur.
15
Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA
On a la formule

 
Rot(H)  jl
on peut alors obtenir une formule similaire au
théorème d’Ampère


H
.dl


 jl .dΣ

H
Bobine secondaire
Σ
c
on obtient alors:
2rH  NI
NI
H
2r
le fém créé vaut alors:
dΦ
dB
e
  NS
dt
dt
t e
B  
dt
0 NS
donc B dépend de H
r
Bobine
primaire
on peut alors obtenir la courbe suivante:
B
m
0H
Au début de l’aimantation, on a un régime linéaire.
Il y a ensuite une forte croissance de B avec une asymptote de pente 0 car:

 B

H
M

μ0
M



Si H augmente, M tend vers une aimantation
Ms

de saturation M s

H
la perméabilité absolue  n’est pas une constante
du système. Elle dépend de H:
B=f(H)
μ μ0
0H
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Propriétés macroscopique des solides – Cours ISMRA

Il se crée un champ extérieur H m , appelé champ coercitif, qui s’impose dans le matériau pour
annuler l’aimantation.
Suivant les valeurs de H m , on peut représenter B en fonction de H. on obtient alors un cycle
d’hystérésis.
B
Bm
-Hm
H
Hm
-Bm
Le champ rémanant Bm (défini pour H=0) est un champ créé par le matériau sans l’action d’un
champ extérieur.
Ordre de grandeur
- aimantation à saturation: 0.5<Ms<2.106 A/m
- lotrsque Hc10 A/m, le matériau ferromagnétique est dit doux
- lorsque Hc106 A/m, le matériau ferromagnétique est dit dur
- température critique pour quelques éléments:
Fe : 1043K
Co : 1393K
Ni : 631K
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