estimation

Echantillonnage-Estimation
1) Position du problème:
Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités
statistiques . On prend alors un échantillon de la population. Le problème
est de savoir le degré de confiance que l’on peut accorder aux résultats
obtenus sur cette population partielle.
2)définitions:
L’échantillonnage consiste connaissant les propriétés sur la population à
déterminer les propriétés sur les échantillons.
Le problème contraire c’est l’estimation.
Remarque :Un tirage non exhaustif c’est un tirage avec remise.
3)Echantillonnage :
a)Distribution d’échantillonnage des moyennes:
Soit une population de moyenne m et d’écart type σ
Soit X
la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.
X est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire
prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet
échantillon.
Pour n assez grand, X
suit une loi Normale
(m ,  /
n)
b)Distribution d’échantillonnage des proportions:.
Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété
donnée.
Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions.
F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire
prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet
échantillon.
Pour n assez grand, F suit une loi Normale  ( p ,
p(1 p) )
n
4)Estimation:
a)Estimation ponctuelle:
Une estimation ponctuelle de m ( moyenne inconnue dans la population )
c’est
x moyenne de l’échantillon
Une estimation ponctuelle de p ( proportion inconnue dans la population )
c’est f proportion dans l’échantillon
Une estimation ponctuelle de σ ( écart type inconnu de la population )
c’est s =
 échantillon
n
n1
avec n la taille de l’échantillon.
b)Estimation par intervalle de confiance:
principe
On cherche un intervalle qui contient la valeur estimée avec une certaine
probabilité α (95% , 99% )
cas d’une moyenne
dans la population : m est inconnue et σ est supposé connu
dans l’échantillon de taille n, la moyenne est
Soit X
x
la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.
X est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire
prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet
échantillon.
X suit une loi Normale (m ,  /
centrée réduite associée
n)
.Soit T la variable aléatoire
à X
Le coefficient de confiance α étant donné (choisi à l’avance )ou le risque
(1-α), on cherche t tel que :
P(-t<T<t)=α
Π(t) – Π(-t) = α
Π(t) – [(1- Π(t)] = α
2 [Π(t)] – 1 = α
Π(t)= (1+α )/2
d’où t
Si α =0,95 alors t = 1,96
On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur x , de la moyenne
inconnue m de la population avec un coefficient de confiance α
[ x  t /
n , x  t / n ]
cas d’une proportion
dans la population : la proportion p est inconnue
dans l’échantillon de taille n, la proportion est f
Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions.
F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire
prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet
échantillon.
F suit une loi Normale  ( p ,
centrée réduite associée
p(1 p) )
n
.Soit T la variable aléatoire
à F
Le coefficient de confiance α étant donné (choisi à l’avance )ou le risque
(1-α), on cherche t tel que :
P(-t<T<t)=α
On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur f, de la proportion
inconnue p de la population avec un coefficient de confiance α
[f t
f(1 f)
n1
, f t
f(1 f) ]
n1