Exercices sur les statistiques d`ordre

Exercices sur les statistiques d’ordre
Dans ce qui suit, X1, … Xn est un échantillon aléatoire simple et Y1≤ … ≤ Yn sont les
statistiques d’ordre.
1 Soit X1, … , Xn un échantillon aléatoire simple d’une population exponentielle de
paramètre β.
a) Montrer que Y1 est de loi exponentielle de paramètre β/n.
/
11 1
( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ,..., ) 1 n
y
n
Gy PY y PY y PX y X y e
−β
= ≤=− >=− > >=−
/
1ny e−β −
=
, ce qui est bien la fonction de répartition d’une exponentielle de
paramètre β/n.
b) Montrer que la densité de Yn est
//
1
() [1 ]
nn
yy
n
n
n
gy e e
−β −β
−
=−
β
/
1
( ) ( ) ( ,..., ) 1 n
y
nn
Gy PY y PX y X y e
−β
=≤= ≤ ≤=−
. La fonction de densité
est g(y) = G’(y) = //1
() [1 ]
yyn
n
gy e e
−
β−β−
=−
β
c) Montrer que pour un échantillon de taille n = 2m+1 la densité de la médiane
x
est
(1)/ /
(2 1)!
() [1 ]
!!
mx x m
m
hx e e
mm
−+ β −β
+
=−
β
[] [ ]
!
() () ()1 ()
!!
mm
n
hx Fx f x Fx
mm
=−
=
//
!1
11
!!
xx
nee
mm
−β −β
−−
β
 /
(1
mm
x
e
−β
−
)
=
1
//
!1
!!
mm
xx
nee
mm
+
−β −β
−
β
=/(1)
m/
!1
!!
x
mx
ee
n
mm
−
β−+ β
−
β.
2 Soit X1, … , Xn un échantillon aléatoire simple d’une population uniforme sur
(0 ; 1).
a) Déterminer les distributions de Y1 et de Yn.
La fonction de répartition de X est F(x) = x sur (0 ; 1).
=
11 1
() ( ) 1 ( )Gy PY y PY y=≤=−>
[]
1
1 ( ,..., ) 1 1 ( ) n
n
PX y X y Fy−> >=−−
= 1-[1-y]n
.
[]
1
( ) ( ) ( ,..., ) ( ) nn
nn n
Gy PY y PX y X y Fy y=≤= ≤ ≤= =
Pour trouver les fonctions de densité il suffit de dériver.
b) Déterminer la distribution de la médiane
x
Nous supposerons que n = 2m+1. Donc la médiane est la donnée de rang
m+1. La fonction de densité est donc
[] [ ]
!
() () ()1 ()
!!
mm
n
hx Fx f x Fx
mm
=− =
[] [ ]
!1
!!
mm
n
x
x
mm −
c) Déterminer l’espérance et la variance de Y1

La fonction de densité de Y1 est g(y) = n(1-y)n-1 sur (0,1). L’espérance de Y1
est
1
1
0
(1 ) n
x
nx d
−
−
∫x = 1
(1n)
+
.
d) Déterminer la probabilité que dans un échantillon de taille n = 4 d’une
population uniforme sur (0 ; 1) la plus petite valeur soit ≥ 0,2.
4
11
( 0,2) 1 (0,2) (1 0,2)PY G>=− =−
3 Soit X1, … , Xn un échantillon aléatoire simple d’une population de densité f.
a) Montrer que la densité conjointe de (Y1 ; Yn) est donnée par
1
2
11 1
(, ) ( 1)()( ) ()
n
n
y
nn
y
gy y nn f y f y ftdt y y
−
=− −∞<<<
∫n
∞
0
0
La densité conjointe de deux variables (X,Y) est définie par
(,)
lim
x
y
Px X x xy Y y y
xy
∆→
∆→
<<+∆ <<+∆
∆∆
)
Nous commençons par calculer la probabilité
. Nous la diviserons ensuite par
et prendrons la limite lorsque
11 1 1
(;
nn n n
Py Y y y y Y y y< ≤ +∆ < ≤ +∆
10y
1n
yy∆∆
∆
→ et 0
n
y
∆
→
)
)]
n
.
=
11 1 1
(;
nn n n
Py Y y y y Y y y< ≤ +∆ < ≤ +∆
[uneobservation dansl'intervalle( ;
nn
Pyyy
+
∆ ×
11
P[uneobservation dansl'intervalle( ;yy 1 )]y
+
∆ ×
11
P[ -1 observationsdans l'intervalle( ; )]
n
nyyy
+
∆.
= [ ()(
nn ) n
F
yyFy+∆ − ] ×
[ 11 1 ()()
F
yyFy+∆ − ] ×
[ 11 () (
n)
F
yFyy−+∆]n-2 × (1nn )
−
où n(n-1) =
(
)
2
2n
est le nombre de façons de placer les observations dans les intervalles. On
divise par et on prend les limites :
1n
yy∆∆ 11 1 1
1
()()
()
Fy y Fy
f
y
y
+
∆− →
∆;
()
nn
n
y Fy()
(
nn
Fy )
f
y
+∆ →
∆y
−; et 11
() (
n)
F
yFyy
−
+∆ →
1
()
n
y
y
f
tdt
∫. C’est ce
qui donne le résultat voulu.
b) Appliquer ce résultat à un échantillon d’une population exponentielle de
paramètre β.
c) Appliquer ce résultat à un échantillon d’une population uniforme sur (0 ; 1).