Échantillonnage-Estimation 1)Position du problème : • Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques . • 1)Position du problème : • Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques . • On prend alors un échantillon de la population. • 1)Position du problème : • Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques . • On prend alors un échantillon de la population. • Le problème est de savoir le degré de confiance que l’on peut accorder aux résultats obtenus sur cette population partielle. 2)définitions • L’échantillonnage consiste connaissant les propriétés sur la population à déterminer les propriétés sur les échantillons • Le problème contraire c’est l’estimation • Le problème contraire c’est l’estimation • Remarque :Un tirage non exhaustif c’est un tirage avec remise 3)Échantillonnage a)Distribution d’échantillonnage des moyennes • Soit une population de moyenne m et d’écart type σ a)Distribution d’échantillonnage des moyennes • Soit une population de moyenne m et d’écart type σ • Soit X la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes. • a)Distribution d’échantillonnage des moyennes • Soit une population de moyenne m et d’écart type σ • Soit X la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes. •X est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon. • Soit X la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes. •X est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon. • Pour n assez grand, X suit une loi Normale (m , / n) b)Distribution d’échantillonnage des proportions: • Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée. b)Distribution d’échantillonnage des proportions: • Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée. • Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions. b)Distribution d’échantillonnage des proportions: • Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée. • Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions. • F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon. b)Distribution d’échantillonnage des proportions: • Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions. • F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon. • Pour n assez grand, F suit une loi Normale p ( 1 p ) ( p, n ) 4)Estimation a)Estimation ponctuelle • Une estimation ponctuelle de m ( moyenne inconnue dans la population ) • a)Estimation ponctuelle • Une estimation ponctuelle de m ( moyenne inconnue dans la population ) • c’est x moyenne de l’échantillon • a)Estimation ponctuelle • Une estimation ponctuelle de p ( proportion inconnue dans la population ) • • a)Estimation ponctuelle • Une estimation ponctuelle de p ( proportion inconnue dans la population ) • c’est f la proportion dans l’échantillon a)Estimation ponctuelle • Une estimation ponctuelle de σ ( écart type inconnu de la population ) a)Estimation ponctuelle • Une estimation ponctuelle de σ ( écart type inconnu de la population ) n échantillon • c’est s = avec n n1 la taille de l’échantillon b)Estimation par intervalle de confiance • principe b)Estimation par intervalle de confiance • principe • On cherche un intervalle qui contient la valeur estimée avec une certaine probabilité α (95% , 99% ) cas d’une moyenne • dans la population : m est inconnue et σ est supposé connu cas d’une moyenne • dans la population : m est inconnue et σ est supposé connu • dans l’échantillon de taille n, la moyenne est: x • Soit X la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes. • Soit X la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes. •X est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon. • Soit X la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes. •X est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon. • X suit une loi Normale (m , / n) • Soit X la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes. •X est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon. • X suit une loi Normale (m , • Soit T la variable aléatoire centrée réduite associée à X / n) • Le coefficient de confiance α étant donné (choisi à l’avance )ou le risque (1-α), on cherche t tel que : • P(-t<T<t)=α • Π(t) – Π(-t) • Π(t) – [(1- Π(t)] • 2 [Π(t)] – 1 • Π(t) d’où t = = = = α α α (1+α )/2 • Π(t) – Π(-t) = α • Π(t) – [(1- Π(t)] = α • 2 [Π(t)] – 1 = α • Π(t) = (1+α )/2 d’où t • • Si α =0,95 alors t = 1,96 • On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur x , de la moyenne inconnue m de la population avec un coefficient de confiance α • On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur x , de la moyenne inconnue m de la population avec un coefficient de confiance α [ x t / n , x t / n ] cas d’une proportion • dans la population : la proportion p est inconnue cas d’une proportion • dans la population : la proportion p est inconnue • dans l’échantillon de taille n, la proportion est f cas d’une proportion • Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions. • F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon. • F suit une loi Normale ( p, . p(1 p) ) n • Soit T la variable aléatoire centrée réduite associée à F • Le coefficient de confiance α étant donné (choisi à l’avance )ou le risque (1-α), on cherche t tel que : • P(-t<T<t)=α • On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur f, de la proportion inconnue p de la population avec un coefficient de confiance α • On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur f, de la proportion inconnue p de la population avec un coefficient de confiance α [f t f(1 f) n1 , f t f(1 f) ] n1 FIN