Continuité d`une fonction

Continuité d’une fonction
1)Soit une fonction
::f x f x
,
f est continue en a
lim
af x f a
Exemple :
lim
af x f a
Contre exemple
lim
lim
discontinuité en x=a
a
a
f x f a
fx
lim lim
discontinuité en x=a
aa
f x f x
fa
Remarque : Si f n’est pas définie en a alors f
est toujours discontinue en a
lim lim
mais
aa
f x f x b
fa
2)Le domaine de continuité d’une fonction d’une fonction f est l’ensemble des réels en lesquels f
est continue.
Il est noté domcf.
Remarque :
c
dom f dom f
3) Une fonction est partout continue ssi :
f est une fonction continue en tout réel de son domaine de définition
ssi :
c
dom f dom f
Remarque : toutes les fonctions algébriques rencontrées sont partout définies

4) La prolongée continue d’une fonction
Soit
::f x f x
;
a dom f
;
lim lim ( )
aa
f x f x b b
On appelle la prolongée continue de f en a
la fonction
( ) si x a
:: b si x=a
fx
Fx 
Exemple :
24 : \ 2
2
x
f x dom f
x
La prolongée continue de f en 2 est la fonction F(x) = x+2
Y=f(x) y=F(x)
Dérivabilité et continuité
1) Théorème
Si
::f x f x
est dérivable en x = a
Alors f est continue en x =a et a est non isolé dans dom f.
Démonstration :
x dom f
.
Prenons la limite pour x a dans les deux membres.
a
f x f a
f x f a x a
xa
lim lim .
lim lim lim .lim
' .0 0
donc lim lim
f est continue en x égal a
x a x a
x a x a x a x a
x a x a
f x f a
f x f a x a
xa
f x f a
f x f a x a et
xa
fa
f x f a f a

2) La réciproque est fausse
Il existe des fonctions continues en a non dérivable en a.
Exemple : f(x) = |x|
Cette fonction est continue en x=0.
Rôle de la dérivée première
Théorème 1
Si
::f x f x
est dérivable sur ]a;b[ et croissante sur [a;b], alors
] ; [ : ' 0x a b f x  
Démo :
( ) -f
Soit, : : où ]a;b[
x-
Si f est croissante sur [a;b], alors son taux d'accroissement est positif, donc F(x) est positive
càd x ]a;b[
fx
Fx
{}
Dès lors, lim F(x) 0
( ) -f
Comme lim '( ), nous concluons que '( ) 0 ] ;[
x-
fx f x f x x a b
( ) -f
: : où ]a;b[
x-
Si f est croissante sur [a;b], alors son taux d'accroissement est positif, donc F(x) est positive
càd x ]a;b[
fx
Fx
{}
Dès lors, lim F(x) 0
( ) -f
Comme lim '( ), nous concluons que '( ) 0 ] ;[
x-
fx f x f x x a b
Théorème 2
Si
::f x f x
est dérivable sur ]a;b[ et décroissante sur [a;b],
alors
] ; [ : ' 0x a b f x  
(Démonstration analogue à celle du théorème 1 (remplacer les
par des et les "positif" par négatif
et les « croissante »par « décroissante »).
00
0
0
0
lim lim
0
Cette limite n'existe pas car
la limite à gauche lim 1 est différente
de la limite à droite lim 1
Donc, f est continue en x=0 mais pas dérivable en x=0.
f x f x
xx
x
xx
x

Théorème 3
Si
::f x f x
est dérivable sur ]a;b[ et f admet un minimum ou un maximum pour un
réel α de ]a ;b[ alors f ’(α) = 0
Démonstration :
Si f admet un minimum pour un réel α de ]a;b[
1)Alors, f décroit sur ] α-r ; α]
Et
'
G
] -r ; ] : ' 0, notons f ( ) 0x f x
2)Alors, f croit sur ] α-r ; α]
Et
'
D
] ; r ] : ' 0, notons f ( ) 0x f x
3)Puisque f est dérivable en α,
' ' '
GD
''
GD
f ( ) f ( ) f ( ) '( ) 0
f ( ) 0 et f ( ) 0 f
Démonstration analogue pour un maximum : remplacer minimum par maximum et en 1), changer
le décroit par croit et les
par des 
; en 2) changer le croit par un décroit et les
par des 
et
en 3), changer le
' ' ' '
G D G D
f ( ) 0 et f ( ) 0 par f ( ) 0 et f ( ) 0
Théorème 4 : Théorème de Rolle
Si f est une fonction continue sur [a;b],
f est dérivable sur ]a;b[
f(a)=f(b)
Alors
] ; [ : '( ) 0a b f
Nous admettons ce théorème. Voici une
interprétation graphique :
Sous les hypothèses citées, il existe au moins
un réel α de ]a ;b[ tel que la tangente au point
(α ;f(α)) du graphe de f soit parallèle à l’axe x.
Théorème 5 : Théorème de Lagrange
Si f est une fonction continue sur [a;b], f dérivable sur ]a;b[ ,
Alors
] ; [ : '( ) f b f a a b f ba
Nous admettons ce théorème. Voici une
interprétation graphique :
Si f est continue sur [a;b] et dérivable
sur ]a;b[ alors il existe au moins un réel α
de ]a;b[ tel que la tangente au graphe de f au
point (α ;f(α)) soit parallèle à la droite
comprenant (a,f(a)) et (b ;f(b)).

Théorème 6
Si f est une fonction telle que
] a; [ : ' 0x b f x  
alors f est croissante sur ]a ;b[
Démonstration :
Soit α et β deux réels de ]a ;b[ tels que α<β
Comme f est dérivable sur ]a;b[, appliquons le théorème de Lagrange à f sur [α;β] :
] ; [ : ' ff f
Or,
] ; [ : ' 0f
Puisque α<β, nous concluons :
, ] ; [ : 0
D'où f est croissante sur ]a;b[.
a b f f
càd f f
Théorème 7
Si f est une fonction telle que
1 2 1 2 1 2
, ] , [ : ' 'x x a b x x f x f x     
alors f est
décroissante sur ]a ;b[
Démonstration analogue à celle du théorème 6.
Synthèse
Lorsque f est continue sur [a;b]
f est croissante sur [a;b] (car sa dérivée est
positive sur l’intervalle [a ;b]
x
a
α
b
f’(x)
-
0
+
f(x)
f(a)
min
f(b)
En x= α , f admet un minimum égal à f(α),
car la dérivé change de signe de part et
d’autre de α (elle est d’abord négative puis
positive)
x
a
b
f’(x)
+
f(x)
f(a)
f(b)
f est croissante sur [a;b] (car sa dérivée est
négative sur l’intervalle [a ;b]
En x= α , f admet un maximum égal à f(α) car la
dérivé change de signe de part et d’autre de α (elle
est d’abord positive puis négative)
x
a
b
f’(x)
-
f(x)
f(a)
f(b)
x
a
α
b
f’(x)
+
0
-
f(x)
f(a)
Max
f(b)
Définitions
1.
f est définie et continue en le réel a
f n’est pas dérivable en a,
lim '( )
afx
et
lim '( )
afx
sont infinies, mais de signes contraires
Ssi f admet un extremum pour x =a et (a,f(a)) est un point de rebroussement de Gf