Soit la suite des entiers premiers ordonnés par valeurs croissantes

2004
I. S. F. A. 2004-2005
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Concours d'Entrée
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PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
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Durée : 4 heures
Calculatrice interdite
PROBLEME I
On note  l’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, continues et définies sur +.
Pour
f
 on note
( f )
la fonction définie pour x positif ou nul par
1
0
( f )( x) f ( xt )dt
.
PARTIE A : L’ENDOMORPHISME :
1°- Montrer que pour x strictement positif
( f )( x)
peut s’écrire
0
x
f (u )du
x
.
2°- Déduire que la fonction
( f )
est continue et dérivable sur +* et est continue en 0.
3°- Montrer que l’application est un endomorphisme injectif de .
4°- On donne la fonction h définie par :
1 pour 0
00
xsin( / x) x
h( x) h( )
.
La fonction h est elle un élément de l’image  de  par ? Caractériser cette image.
5°- Montrer que tout réel
]0,1]
est valeur propre de . Donner les vecteurs propres associés.
6°- Soit n un entier naturel. On considère le sous espace vectoriel n de  engendré par les fonctions
{f1,..,fn ; g1,…gn} où les fonctions fi et gi sont définies par :
pour non nul et 0 0
i
ii
i
i i i
f : x f ( x) x
g : x g ( x) x ln x x g ( )
.
(i) Donner la dimension du sous espace n .
(ii) Montrer que la restriction
n
de à n est un endomorphisme. Donner une matrice de
n
.
(iii) Déterminer la fonction f de  telle que
2
( f )( x) ( x x )ln x
.
PARTIE B : L’APPLICATION ET PROPRIETES DE MONOTONIE
1°- Montrer que si f et g de  vérifient f ≤ g alors
( f )
≤
( g )
.
2°- Montrer que si f de  est croissante (respectivement décroissante) alors
( f )
est aussi une fonction
croissante (respectivement décroissante).
3°- Montrer que si f de est croissante (respectivement décroissante) alors
( f )
≤ f (respectivement
( f )
≥ f )

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PARTIE C : ETUDE DES ITERES DE :
Pour n entier strictement positif on désigne par
n
l’application
n fois
....
.
1°- Soit f une fonction de  croissante, positive et continue.
Pour x positif ou nul on note
n
u ( x )
le réel
n( f )( x)
.
(i) Donner l’expression de
0
n
u ( )
.
(ii) Montrer que pour tout entier n strictement positif la fonction
n
x u ( x )
est croissante.
(iii) Montrer que pour tout réel x la suite
*
n
u ( x),n N
est décroissante et positive. En déduire sa
convergente. On note l(x) cette limite. Montrer que la fonction
x l( x )
est croissante.
(iv) Pour x strictement positif montrer l’égalité :
1 n n
x(u' ( x) ... u' ( x)) f ( x) u ( x )   
.
En déduire que, pour 0<x<y, la série de terme général
nn
u ( y) u ( x)
est convergente.
(v) Conclure alors que la fonction l est constante sur +*. Montrer ensuite que cette constante est égale
à f(0).
2°- Etendre succinctement les résultats obtenus à la question précédente aux fonctions de  décroissantes et
positives.
3°- Soit f une fonction de  positive.
On note S et I les fonctions définies par :
t [0,x ]
S( x ) sup f (t )
et
t [ 0,x ]
I( x ) inf f (t )
.
Montrer que les fonctions S et I appartiennent à l’ensemble . En appliquant aux fonction S et I les résultats
des questions précédentes montrer que la suite
n*
( f )( x ),n N
converge pour tout x vers f(0). Etendre
ce résultat à toute fonction f de .
PROBLEME II
Soit
*
k
{ p ,k N }
la suite des entiers premiers ordonnés par valeurs croissantes. (On rappelle qu’un entier
premier a exactement deux diviseurs distincts 1 et lui-même).
Pour x et y réels positifs avec x>y on note :
i
i
i
i/ y p x
1 si l'ensemble E={i tel que y p x}
P( x,y ) p si l'ensemble E
.
On note aussi : K(x)=P(x,0).
PARTIE A : FONCTION MAJORANTE DE LA FONCTION K.
1°- Donner p1,p2 et p3 et l’expression de K(x) pour x réel positif inférieur ou égal à 6. Donner les points de
discontinuités de la fonction K.
2°- Montrer pour
0 z y x  
la relation :
P( x,z ) P( x,y )P( y,z )
.

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3°- Soit n un entier pair supérieur ou égal à 2. On pose n=2m.
(i) Montrer que l’entier P(2m+1,m+1) divise l’entier
21
m
m
C
(nombre de combinaisons de m objets pris
dans 2m+1 objets. (On pourra remarquer que chaque entier premier du produit P(2m+1,m+1) divise
21
m
m
C
).
(ii) En déduire la majoration
2
21
2 1 1 2
mm
m
P( m ,m ) C 
.
4°- On note [x] la partie entière de x.
Déduire de la question 3 la majoration :
4[ x] K( x)
.
PARTIE B : FONCTION MAJORANTE DU NOMBRE DE D’ENTIERS PREMIERS INFERIEURS A UN REEL X.
On note N la fonction définie par : N(x) : nombre d’entiers premiers inférieurs ou égaux à x.
Pour
2x
on note S(x) la fonction définie par
S( x) ln( K( x ))
.
1°- Déduire de la partie A un majorant de S(x).
2°- Soit f une fonction définie sur [2,∞[ à valeurs réelles, dérivable et à dérivée continue.
(i) Montrer que pour k entier on a :
21
k
p
i i k k
i ,..,k
S(t )f '(t )dt ln( p )f( p ) S( p ) f ( p )
.
(ii) Déduire pour tout réel x supérieur ou égal à 2 la relation :
2
1
x
ii
i ,..,N( x )ln( p )f( p ) S( x) f ( x) S(t )f '(t )dt
.
3°- On prend pour fonction f la fonction
1
f ( x) lnx
.
Déduire du 2° l’inégalité :
2
2
22 x
x dt
N( x) ln lnx (lnt )
.
4°- Majoration de l’intégrale :
2
2
x
dt
(lnt )
:
(i) Etudier sur l’intervalle [ln2,∞[ la fonction
2
u
e
uu
. Montrer qu’il existe un unique réel (noté u0 )
strictement supérieur à ln2 tel que
0
22
0
2
2
u
e
u (ln )
.
(ii) En déduire :
22
220
u
lnx u
ln ex
du (lnx ln ) pour x>e
u (lnx)
.
(iii) Déduire alors une majoration de
2
2
x
dt
(lnt )
.
5°- Déduire que, pour x supérieur à
0
u
e
l’inégalité :
42
x
N( x) ln lnx
.
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