I a) Question préliminaire : Démontrer que

Terminale S – Spécialité mathématiques
Exercices d’arithmétique : divisibilité, diviseurs et nombres premiers
I Une propriété des carrés
a) Question préliminaire : Démontrer que
- le produit de deux nombres impairs est un nombre impair
- le produit d’un nombre pair avec un autre quelconque est un nombre pair
b) Démontrer que pour qu’un entier naturel non nul soit un carré, il faut et il suffit qu’il ait un nombre
impair de diviseurs. (On rapellera la forme des diviseurs en fonction de la décomposition en facteurs
premiers, ainsi que la formule donnant le nombre de diviseurs)
II Résoudre une équation diophantienne (équation aux inconnues entières)
Décomposer 217 en produit de facteurs premiers.
Trouver tous les couples (x ;y) d’entiers naturels tels que x3 + y3 = 217
III Le produit des diviseurs d'un nombre
a) Calculer le produit des diviseurs de 16, puis de 18.
b) Soit n= paqb la décomposition en facteurs premiers de n.
On note (n), le produit des diviseurs de n.
Montrer que (n) =
1)1)(b(a
2
b
2
aq*p
Pour cela, on pourra dans un premier temps effectuer le produit de
- tous les diviseurs du type p°q , O   b
- puis de ceux du type p1q , O   b
.
.
- enfin de ceux du type paq , O   b
Puis effectuer le produit de tous les résultats intermédiaires.
c) Déterminer un entier n, se décomposant selon deux facteurs premiers, sachant que le produit de ses
neuf diviseurs est (225)4 x 15.
IV Les nombres amiables et les nombres parfaits
1) On appelle diviseur strict d’un entier naturel tout diviseur autre que le nombre lui-même.
Déterminer tous les entiers naturels diviseurs stricts de 220.
2) On appelle nombres amiables deux entiers naturels tels que chacun d’entre eux soit égal à la
somme des entiers naturels diviseurs stricts de l’autre. Vérifier que 220 et 284 sont amiables.
3) a) On appelle nombre parfait tout nombre égal à la somme de ses diviseurs stricts. (amiable avec
lui-même). Le nombre 28 est-il parfait ?
Déterminer un entier p premier tel que le nombre 24p soit parfait.
(On pourra rapeler la formule donnant la somme des diviseurs d’un entier, en fonction de sa
décomposition en produit de facteurs premiers).
b) Plus généralement, soient n et p deux entiers naturels, p étant premier ; Quelle doit être
l’expression de p en fonction de n pour que 2np soit parfait ?
Donner la liste des nombres parfaits de cette forme pour n<10.