Exercice n° 112 : Les nombres parfaits pairs 1° On a donc avec q

Exercice n° 112 : Les nombres parfaits pairs
1° On a donc   avec q premier et            
a) La décomposition de N, donne comme diviseurs :   .
N a ainsi 2p diviseurs, ce que l’on retrouve si on applique la formule   …on pouvait penser
aussi à une disposition spatiale (maillage)
b) la somme S des diviseurs de N strictement inférieurs à N est donc, compte tenu que   :
Soit   
ce qui prouve que N est parfait.
2° Réciproque : on se donne donc       et impair et N parfait.
Attention ici q n’a a priori aucune raison d’être premier : c’est seulement un nombre qui n’est plus divisible
par 2…il admet une décomposition en produit de nombres premiers strictement supérieurs à 2.
a) Soit  un diviseur de q, on obtient alors  qui divisent N et par ailleurs si l’on fait cette
liste pour chaque diviseur de q, de 1 jusqu’à q, on obtient ainsi tous les diviseurs de N.
Appelons    les diviseurs de q, on obtient ainsi une écriture de 
b) Comme    l’égalité précédente donne      soit
Ainsi , comme   apparait comme un diviseur de q. Mais  est la somme des
diviseurs de q, inférieurs à q, il est donc « déjà compté »dans cette somme et comme il s’agit de nombres
tous supérieurs ou égaux à 1, cela veut dire que  est l’unique diviseur de q , inférieur strictement à q :
deux conséquences 1°    2° q a exactement deux diviseurs 1 et q : il est donc premier.
La dernière relation trouvée s’écrit alors :    
Conclusion : on vient d’établir que si N est parfait pair, il s’écrit nécessairement :
C’est très exactement la réciproque du 1°.
Avec les résultats du n° 109, on trouve les premiers nombres parfaits pairs :          ;

b) si  , il existe un entier naturel    tel que    et on peut alors écrire   