AQUISAV - Evaluation

A
Aq qu ui is sa av v - - D DO OC CU UM ME EN NT TA AT TI IO ON N
16-avr.-17 - Page 1 sur 4
Métier : CULTURE GÉNÉRALE
Domaine de compétences : SCI- Suites et séries
Code : COM-200907-004767
Intitulé de la compétence : Appliquer les formules donnant le terme de rang n en fonction du premier
terme et de la raison de la suite
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S
SO OM MM MA AI IR RE E
1) RAPPELS
2) SUITES ARITHMETIQUES
3) SUITES GEOMETRIQUES

A
Aq qu ui is sa av v - - D DO OC CU UM ME EN NT TA AT TI IO ON N
16-avr.-17 - Page 2 sur 4
C
CO OU UR RS S
I
I. . R RA AP PP PE EL LS S
O
On n n no ot te e ( (U Un
n)
) l la a s su ui it te e c co on ns st ti it tu ué ée e p pa ar r l le es s t te er rm me es s : : U U0
0,
, U U1
1,
, U U2
2,
, … …, , U Un
n,
, U Un
n+ +1 1,
,… …. .
U
Un
n e
es st t l le e t te er rm me e
d
de e l la a s su ui it te e, , o ou u t te er rm me e d de e r ra an ng g n n. .
L
Le e p pr re em mi ie er r t te er rm me e e es st t i ic ci i ( (e et t e en n g gé én né ér ra al l) ) U U0
0
( (c ce e p po ou ur rr ra ai it t ê êt tr re e U U1
1)
). .
I
II I. . S SU UI IT TE ES S A AR RI IT TH HM ME ET TI IQ QU UE ES S
1
1) ) D Dé éf fi in ni it ti io on n
On appelle suite arithmétique une suite de nombres où on passe d’un terme au suivant en
ajoutant toujours le même nombre. Ce nombre est appelé raison de la suite arithmétique
et est souvent noté r.
Exemple :
La suite des nombres pairs (
0
0, , 2 2, , 4 4, , 6 6, , 8 8, , 1 10 0, , … …) ) e es st t u un ne e s su ui it te e a ar ri it th hm mé ét ti iq qu ue e c ca ar r o on n p pa as ss se e d d’ ’u un n
t te er rm me e a au u s su ui iv va an nt t e en n a aj jo ou ut ta an nt t t to ou uj jo ou ur rs s 2 2 q qu ui i e es st t l la a r ra ai is so on n d de e c ce et tt te e s su ui it te e. .
L La a s su ui it te e d de es s n no om mb br re es s i im mp pa ai ir rs s e es st t a au us ss si i u un ne e s su ui it te e a ar ri it th hm mé ét ti iq qu ue e d de e r ra ai is so on n 2 2. .
O On n a a a ai in ns si i : :
( (U Un
n)
) s su ui it te e a ar ri it th hm mé ét ti iq qu ue e ↔ ↔ p po ou ur r t to ou ut t e en nt ti ie er r n n, , U Un
n+ +1 1
= = U Un
n
+ + r r
On définit une suite arithmétique par son premier terme U0 ou U1 et sa raison r.
Exemple :
S So oi it t ( (U Un
n)
) u un ne e s su ui it te e a ar ri it th hm mé ét ti iq qu ue e d de e p pr re em mi ie er r t te er rm me e U U0
0
= = 3 3 e et t d de e r ra ai is so on n r r = = 1 1, ,5 5. .
C
Ca al lc cu ul le er r l le es s t tr ro oi is s p pr re em mi ie er rs s t te er rm me es s d de e c ce et tt te e s su ui it te e
U U0
0
= = 3 3
U U1
1
= = U U0
0
+ + 1 1, ,5 5 = = 3 3 + + 1 1, ,5 5 = = 4 4, ,5 5
U U2
2
= = U U1
1
+ + 1 1, ,5 5 = = 4 4, ,5 5 + + 1 1, ,5 5 = = 6 6
R
Re em ma ar rq qu ue e : :
M M
ontrer qu’une suite est arithmétique revient à montrer que la différence (Un+ 1 - Un) est
toujours constante.
E Ex xe em mp pl le e : :
L Le es s s su ui it te es s A A e et t B B d do on nn né ée es s c ci i- -d de es ss so ou us s s so on nt t- -e el ll le es s a ar ri it th hm mé ét ti iq qu ue es s ? ? S Si i o ou ui i, , d do on nn ne er r l le eu ur r r ra ai is so on n. .
A A : : u u1
1
= = 5 5 ; ; u u2
2
= = 1 13 3 ; ; u u3
3
= = 2 21 1 ; ; u u4
4
= = 2 29 9
B B : : v v1
1
= = 1 1, ,2 2 ; ; v v2
2
= = 4 4 ; ; v v3
3
= = 6 6, ,6 6 ; ; v v4
4
= = 9 9, ,4 4
On obtient chaque
terme en ajoutant la
raison au précédent.

A
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P Po ou ur r l la a s su ui it te e A A : :
u u2
2
– – u u1
1
= = 1 13 3 – – 5 5 = = 8 8
u u3
3
– – u u2
2
= = 2 21 1 – – 1 13 3 = = 8 8
u u4
4
– – u u3
3
= = 2 29 9 – – 2 21 1 = = 8 8
L La a d di if ff fé ér re en nc ce e
(un+ 1 - un) est constante donc la suite A est une suite arithmétique de raison 8.
P Po ou ur r l la a s su ui it te e B B : :
v v2
2
– – v v1
1
= = 4 4 – – 1 1, ,2 2 = = 2 2, ,8 8
v v3
3
– – v v2
2
= = 6 6, ,6 6 – – 4 4 = = 2 2, ,6 6 ≠ ≠ 2 2, ,8 8
L La a s su ui it te e B B
n’est pas une suite arithmétique car la différence (vn+ 1 - vn) n’est pas
constante.
2
2) ) C Ca al lc cu ul l d du u n ne
e
t te er rm me e d d’ ’u un ne e s su ui it te e a ar ri it th hm mé ét ti iq qu ue e
Le terme de rang n est donné par l’expression :
Un = U0 + nr si U0 est le premier terme
Ou Un = U1 + (n – 1)r si U1 est le premier terme
E Ex xe em mp pl le e : :
S So oi it t ( (U Un
n)
) u un ne e s su ui it te e a ar ri it th hm mé ét ti iq qu ue e d de e p pr re em mi ie er r t te er rm me e U U0
0
= = 3 3 e et t d de e r ra ai is so on n r r = = 1 1, ,5 5. .
C Ca al lc cu ul le er r l le e 2 25 5e
e
t te er rm me e d de e c ce et tt te e s su ui it te e. .
P Po ou ur r t tr ro ou uv ve er r l le e t te er rm me e d de e r ra an ng g 2 25 5, , o on n u ut ti il li is se e l la a f fo or rm mu ul le e
Un = U0 + nr
a
av ve ec c n n = = 2 25 5. .
S So oi it t U U2
25 5
= = U U0
0
+ + 2 25 5 × × 1 1, ,5 5 = = 3 3 + + 2 25 5 × × 1 1, ,5 5
U U2
25 5
= = 4 40 0, ,5 5
I
II II I. . S SU UI IT TE ES S G GE EO OM ME ET TR RI IQ QU UE ES S
1
1) ) D Dé éf fi in ni it ti io on n
O
On n a ap pp pe el ll le e s su ui it te e g gé éo om mé ét tr ri iq qu ue e u un ne e s su ui it te e d de e n no om mb br re es s o où ù o on n p pa as ss se e d d’ ’u un n t te er rm me e a au u s su ui iv va an nt t e en n
m
mu ul lt ti ip pl li ia an nt t t to ou uj jo ou ur rs s l le e m mê êm me e n no om mb br re e. . C Ce e n no om mb br re e e es st t a ap pp pe el lé é r ra ai is so on n d de e l la a s su ui it te e g gé éo om mé ét tr ri iq qu ue e
e
et t e es st t s so ou uv ve en nt t n no ot té é q q. .
Exemple :
La suite des puissances de 2, de premier terme 20 (20 =
1
1, ,
21 =
2
2, ,
22 =
4
4, ,
23 =
8
8, ,
24 = 16
,
, … …) ) e es st t
u un ne e s su ui it te e g gé éo om mé ét tr ri iq qu ue e c ca ar r o on n p pa as ss se e d d’ ’u un n t te er rm me e a au u s su ui iv va an nt t e en n m mu ul lt ti ip pl li ia an nt t t to ou uj jo ou ur rs s 2 2 q qu ui i e es st t
l la a r ra ai is so on n d de e c ce et tt te e s su ui it te e. .
O On n a a a ai in ns si i : :
( (U Un
n)
) s su ui it te e g gé éo om mé ét tr ri iq qu ue e ↔ ↔ p po ou ur r t to ou ut t e en nt ti ie er r n n, , U Un
n+ +1 1
= = U Un
n
× × q q
On définit une suite géométrique par son premier terme U0 ou U1 et sa raison q.

A
Aq qu ui is sa av v - - D DO OC CU UM ME EN NT TA AT TI IO ON N
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E
Ex xe em mp pl le e : :
S So oi it t ( (U Un
n)
) u un ne e s su ui it te e g gé éo om mé ét tr ri iq qu ue e d de e p pr re em mi ie er r t te er rm me e U U0
0
= = 1 10 0 e et t d de e r ra ai is so on n q q = = 2 2. .
C
Ca al lc cu ul le er r l le es s t tr ro oi is s p pr re em mi ie er rs s t te er rm me es s d de e c ce et tt te e s su ui it te e
U U0
0
= = 1 10 0
U U1
1
= = U U0
0
× × 2 2 = = 1 10 0 × × 2 2 = = 2 20 0
U U2
2
= = U U1
1
× × 2 2 = = 2 20 0 × × 2 2 = = 4 40 0
R
Re em ma ar rq qu ue e : :
M M
ontrer qu’une suite est géométrique revient à montrer, à condition que la suite (Un) soit à
termes non nuls, que le quotient est toujours constant.
E
Ex xe em mp pl le e : :
L Le es s s su ui it te es s A A e et t B B d do on nn né ée es s c ci i- -d de es ss so ou us s s so on nt t- -e el ll le es s g gé éo om mé ét tr ri iq qu ue es s ? ? S Si i o ou ui i, , d do on nn ne er r l le eu ur r r ra ai is so on n. .
A A : : u u1
1
= = 5 5 ; ; u u2
2
= = 3 35 5 ; ; u u3
3
= = 2 24 45 5 ; ; u u4
4
= = 1 1 7 71 15 5
B B : : v v1
1
= = 3 3 ; ; v v2
2
= = 4 4, ,5 5 ; ; v v3
3
= = 7 7, ,2 2 ; ; v v4
4
= = 1 10 0, ,8 8
P Po ou ur r l la a s su ui it te e A A : :
= = = = 7 7 ; ; = = = = 7 7 e et t = = = = 7 7
L Le e q qu uo ot ti ie en nt t
est constant donc la suite A est une suite géométrique de raison 7.
P Po ou ur r l la a s su ui it te e B B : :
= = = = 1 15 5
= = = = 1 16 6 ≠ ≠ 1 15 5
L La a s su ui it te e B B
n’est pas une suite géométrique car
l
le e q qu uo ot ti ie en nt t
n’est pas constant.
2
2) ) C Ca al lc cu ul l d du u n ne
e
t te er rm me e d d’ ’u un ne e s su ui it te e g gé éo om mé ét tr ri iq qu ue e
S Si i ( (U Un
n)
) e es st t u un ne e s su ui it te e g gé éo om mé ét tr ri iq qu ue e d de e r ra ai is so on n q q a al lo or rs s, , p po ou ur r t to ou ut t e en nt ti ie er r n n : :
U Un
n
= = U U0
0
× × q qn
n
s si i U U0
0
l le e p pr re em mi ie er r t te er rm me e e et t q q l la a r ra ai is so on n
O Ou u
U Un
n
= = U U1
1
× × q qn
n- -1 1 s
si i U U1
1
l le e p pr re em mi ie er r t te er rm me e e et t q q l la a r ra ai is so on n
E Ex xe em mp pl le e : :
S So oi it t ( (U Un
n)
) u un ne e s su ui it te e g gé éo om mé ét tr ri iq qu ue e d de e p pr re em mi ie er r t te er rm me e U U0
0
= = 1 10 0 e et t d de e r ra ai is so on n q q = = 2 2. .
C Ca al lc cu ul le er r l le e 1 15 5e
e
t te er rm me e d de e c ce et tt te e s su ui it te e. .
P Po ou ur r t tr ro ou uv ve er r l le e t te er rm me e d de e r ra an ng g 1 15 5, , o on n u ut ti il li is se e l la a f fo or rm mu ul le e U Un
n
= = U U0
0
× × q qn
n
a av ve ec c n n = = 1 15 5. .
S So oi it t U U2
25 5
= = U U0
0
× × 2 21
15 5
= = 1 10 0 × × 3 32 2 7 76 68 8
U U2
25 5
= = 3 32 27 7 6 68 80 0
On obtient chaque
terme en multipliant le
précédent par la raison