AQUISAV - Evaluation

Aquisav - DOCUMENTATION
Métier : CULTURE GÉNÉRALE
Domaine de compétences : SCI- Suites et séries
Code : COM-200907-004767
Intitulé de la compétence : Appliquer les formules donnant le terme de rang n en fonction du premier
terme et de la raison de la suite
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SOMMAIRE
1) RAPPELS
2) SUITES ARITHMETIQUES
3) SUITES GEOMETRIQUES
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COURS
I.
RAPPELS
On note (Un) la suite constituée par les termes : U0, U1, U2, …, Un, Un+1,….
Un est le terme de la suite, ou terme de rang n.
Le premier terme est ici (et en général) U0 (ce pourrait être U1).
II.
SUITES ARITHMETIQUES
1) Définition
On appelle suite arithmétique une suite de nombres où on passe d’un terme au suivant en
ajoutant toujours le même nombre. Ce nombre est appelé raison de la suite arithmétique
et est souvent noté r.
Exemple :
La suite des nombres pairs (0
0, 2, 4, 6, 8, 10, …) est une suite arithmétique car on passe d’un
terme au suivant en ajoutant toujours 2 qui est la raison de cette suite.
La suite des nombres impairs est aussi une suite arithmétique de raison 2.
On a ainsi :
(Un) suite arithmétique ↔ pour tout entier n, Un+1 = Un + r
On définit une suite arithmétique par son premier terme U0 ou U1 et sa raison r.
Exemple :
Soit (Un) une suite arithmétique de premier terme U0 = 3 et de raison r = 1,5.
Calculer les trois premiers termes de cette suite
U0 = 3
U1 = U0 + 1,5 = 3 + 1,5 = 4,5
U2 = U1 + 1,5 = 4,5 + 1,5 = 6
On obtient chaque
terme en ajoutant la
raison au précédent.
Remarque :
Montrer qu’une suite est arithmétique revient à montrer que la différence (Un+ 1 - Un) est
toujours constante.
Exemple :
Les suites A et B données ci-dessous sont-elles arithmétiques ? Si oui, donner leur raison.
A : u1 = 5 ; u2 = 13 ; u3 = 21 ; u4 = 29
B : v1 = 1,2 ; v2 = 4 ; v3 = 6,6 ; v4 = 9,4
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Pour la suite A :
u 2 – u 1 = 13 – 5 = 8
u 3 – u 2 = 21 – 13 = 8
u 4 – u 3 = 29 – 21 = 8
La différence (un+ 1 - un) est constante donc la suite A est une suite arithmétique de raison 8.
Pour la suite B :
v2 – v1 = 4 – 1,2 = 2,8
v3 – v2 = 6,6 – 4 = 2,6 ≠ 2,8
La suite B n’est pas une suite arithmétique car la différence (vn+
constante.
1
- vn) n’est pas
2) Calcul du ne terme d’une suite arithmétique
Le terme de rang n est donné par l’expression :
Ou
Un = U0 + nr
Un = U1 + (n – 1)r
si U0 est le premier terme
si U1 est le premier terme
Exemple :
Soit (Un) une suite arithmétique de premier terme U0 = 3 et de raison r = 1,5.
Calculer le 25e terme de cette suite.
Pour trouver le terme de rang 25, on utilise la formule Un = U0 + nr avec n = 25.
Soit U25 = U0 + 25 × 1,5 = 3 + 25 × 1,5
U25 = 40,5
III.
SUITES GEOMETRIQUES
1) Définition
On appelle suite géométrique une suite de nombres où on passe d’un terme au suivant en
multipliant toujours le même nombre. Ce nombre est appelé raison de la suite géométrique
et est souvent noté q.
Exemple :
La suite des puissances de 2, de premier terme 20 (20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16,, …) est
une suite géométrique car on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours 2 qui est
la raison de cette suite.
On a ainsi :
(Un) suite géométrique ↔ pour tout entier n, Un+1 = Un × q
On définit une suite géométrique par son premier terme U0 ou U1 et sa raison q.
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Exemple :
Soit (Un) une suite géométrique de premier terme U0 = 10 et de raison q = 2.
Calculer les trois premiers termes de cette suite
U0 = 10
U1 = U0 × 2 = 10 × 2 = 20
U2 = U1 × 2 = 20 × 2 = 40
On obtient chaque
terme en multipliant le
précédent par la raison
Remarque :
Montrer qu’une suite est géométrique revient à montrer, à condition que la suite (U n) soit à
termes non nuls, que le quotient
est toujours constant.
Exemple :
Les suites A et B données ci-dessous sont-elles géométriques ? Si oui, donner leur raison.
A : u1 = 5 ; u2 = 35 ; u3 = 245 ; u4 = 1 715
B : v1 = 3 ; v2 = 4,5 ; v3 = 7,2 ; v4 = 10,8
Pour la suite A :
= =7; =
Le quotient
= 7 et
=
=7
est constant donc la suite A est une suite géométrique de raison 7.
Pour la suite B :
= = 15
=
= 16 ≠ 15
La suite B n’est pas une suite géométrique car le quotient
n’est pas constant.
2) Calcul du ne terme d’une suite géométrique
Si (Un) est une suite géométrique de raison q alors, pour tout entier n :
Un = U0 × qn
si U0 le premier terme et q la raison
Ou
Un = U1 × qn-1 si U1 le premier terme et q la raison
Exemple :
Soit (Un) une suite géométrique de premier terme U0 = 10 et de raison q = 2.
Calculer le 15e terme de cette suite.
Pour trouver le terme de rang 15, on utilise la formule Un = U0 × qn avec n = 15.
Soit U25 = U0 × 215 = 10 × 32 768
U25 = 327 680
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