2.Pourquoi la logique - Laboratoire d`Informatique de Paris 6

Maîtrise Sciences Economiques
LOGIQUE DES
PROPOSITIONSLOGIQUE DES
PROPOSITIONS
Questions :
Comment représenter des faits du monde réel ?
Comment raisonner sur ces faits ?
Quelles représentations sont appropriées pour traiter du monde réel ?
Comportement intelligent : lié au connaissances.
Connaissances : structures symboliques.
Ordinateurs et manipulation de symboles ?
Langage de représentation des connaissances.
1.Représentations et monde réel
MONDE FORMEL
MONDE REEL
Faits formels
Faits réels
SEMANTIQUE
RAISONNEMENT
FORMEL
Conclusions
SEMANTIQUE
Intelligence artificielle et extraction de connaissances
Conclusions
formelles
Maria Rifqi-Berger
Maîtrise Sciences Economiques
2.Pourquoi la logique ?
La logique formelle se propose d'élaborer une théorie des raisonnements valides.
Elle étudie pour cela les raisonnements dans leur forme, non dans leur sens : les
éléments du discours sur lesquels porte le raisonnement peuvent être arbitrairement
substitués par d'autres partout où ils apparaissent. Dans le syllogisme bien connu,
attribué généralement à Socrate, mais dû en réalité à Guillaume d'Occam (1349) :
Les hommes sont mortels
Socrate est un homme
donc Socrate est mortel.
Les deux occurrences de chacun des mots : homme, mortel, Socrate, peuvent être
remplacées par n'importe quel mot, le raisonnement restera formellement valide. Par
contre, le mot de liaison « si » ne peut être remplacé par autre chose. Les connecteurs
ne sont pas substituables. A l'origine, la logique était une théorie de l'argumentation
valide.
Un des intérêts de la logique formelle est de dépister les ambiguïtés et de permettre
l'étude des pas de raisonnement ou inférences, un à un, en démontrant rigoureusement
leur validité.
La logique est une représentation de type « langage » applicable dans de nombreux
domaines.
Intérêt immédiat en algorithmique : écrire des conditionnelles et des
conditions...
Base de données: utilisation de propriétés logiques pour les requêtes en
produisant des formulations équivalentes (x est le neveu de y = y est l'oncle
de x).
Caml (programmation fonctionnelle typée)
Prolog (programmation logique)
2 concepts fondamentaux :
syntaxe : une suite de mots et de symboles formant une phrase
sémantique : la signification d'une phrase (sa valeur de vérité)
Types de logique
Logique
propositionnelle : une suite de symboles séparés par des connecteurs
(conjonction, disjonction, négation)
Logique des prédicats ou du 1er ordre : une suite de symboles, de variables et de
relations avec des quantificateurs universels et existentiels.
Logique des propositions : une des théories les plus simples qui soient.
Son utilité est pourtant capitale dans des domaines divers
La logique des propositions étudie des énoncés qui sont soit vrais, soit faux.
Elle permet d'exprimer :
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des
faits sur le monde : les étudiants aiment la logique
négations : les étudiants n'aiment pas la logique
des conjonctions : les étudiants aiment la logique et ils participent à des
séminaires
des disjonctions : les étudiants participent à des séminaires ou les séminaires
sont facultatitfs
des implications : si les étudiants n'aiment pas la logique, ils ne participent
pas à des séminaires.
Une proposition est une phrase qui est soit vraie soit fausse.
des
3.SYNTAXE
Un symbole représente une proposition indivisible (un fait) : « la lumière est
allumée » et non « la lumière est allumée et la porte est fermée ».
Une proposition est soit vraie soit fausse.
Des connecteurs booléens peuvent unir des propositions en des énoncés complexes.
Constantes
VRAI ou FAUX.
Symboles
P ou Q représentent les propositions.
Connecteurs logiques
Un connecteur logique est un symbole utilisé pour combiner des propositions.


Négation
NON : 
Implication

De même que les opérateurs arithmétiques sont combinés pour former des
expressions arithmétiques, comme (x + (2 * (-y))), les connecteurs logiques sont
combinés (avec cette fois non plus des entiers mais des propositions ou des énoncés)
pour former les énoncés corrects du calcul des propositions, comme (P (Q P
(R P))).
Si P et Q sont des propositions alors :
(P  Q)
(P  Q)
(A), (Q)
Conjonction
Disjonction
ET :
OU :
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(P  B), (B  Q)
sont des propositions.
Exemples
de formules :
formules bien formées
p
(~p)
FALSE
(p & q)
(~(p & q) v r)
(q -> (r v q))
non-formules
p&
p~q
&p
(&)
(p
(q -> (r v q)
Exemples
de sous-formules
Considérons la formule ((p v q) & ~p). p en est une sous-formule, ainsi que (p v q)
et (~p), tandis que (q & ~p) ne l'est pas. p a deux occurrences dans ((p v q) & ~p), et
(p v q) une. L'ensemble des sous-formules de (((p v q) & ~p) -> FALSE) est { (((p v
q) & ~p) -> FALSE) , ((p v q) & ~p) , FALSE , (p v q) , (~p) , p , q }.
4.SEMANTIQUE
Conjonction (et)
Conditions de vérité et déduction
A = le chat est dehors
B = il fait nuit
A  B = le chat est dehors et il fait nuit
A  B est vraie ssi A est vraie et B est vraie
Si A  B est vraie, alors on peut déduire que A est vraie et que B est vraie
A = le chat est dehors
B = il fait nuit
A  B = le chat est dehors et il fait nuit
A  B est vraie ssi A est vraie et B est vraie
Si A  B est vraie, alors on peut déduire que A est vraie et que B est vraie
Valeurs de vérité de la conjonction
A
 B est vraie
si
A est vraie et B est vraie
A  B est fausse
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si
A est vraie et B est fausse
A est fausse et B est vraie
si A et B sont fausses
si
Table de vérité de la conjonction
P
VRAI
VRAI
FAUX
FAUX
P Q
Q
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
FAUX
FAUX
Disjonction (ou)
Conditions de vérité et règle de déduction
La disjonction (C  D) est vraie si lun ou lautre membre (ou les deux à la fois)
de la disjonction est vrai.
Si C est vraie, on est en droit de déduire la disjonction C  D, C  E, etc.
Valeurs de vérité de la disjonction
C
 D est vraie
si
C est vraie et D est vraie
C est vraie et D est fausse
si C est fausse et D est vraie
C  D est fausse
si C et D sont fausses
si
Table de vérité de la disjonction
P
VRAI
VRAI
FAUX
FAUX
P Q
Q
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
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VRAI
VRAI
VRAI
FAUX
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Implication
Conditions de vérité de (P  Q)
P est vraie et Q est vraie : (P  Q) est vraie
P est vraie et Q est fausse : (P  Q) est fausse
P est fausse et Q est vraie : (P  Q) est vraie
P est fausse et Q est fausse : (P  Q) est vraie
Table de vérité de limplication
P
P Q
Q
VRAI
VRAI
FAUX
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
VRAI
Négation
Table de vérité de la négation
P
P
VRAI
FAUX
FAUX
VRAI
Commentaires sur le sens des connecteurs
Le ET est commutatif. Ce n'est pas toujours le cas en francais : « il se gare et
descend de voiture ».
Le OU est inclusif, pas toujours le cas en francais : « fromage ou dessert » ou bien
encore « un nombre entier est pair ou impair ».
L'implication signifie seulement que quand P est vraie Q l'est aussi, c'est en fait une
abbréviation pour (P)  Q. Du point de vue formel, il n'y a pas de causalité. Par
exemple, « si mon fils embête son frère, alors il est privé de foot » est vrai même s'il
est privé de foot sans avoir embêté son frère. En francais, souvent l'implication est en
fait une équivalence : mon fils croira que s'il n'embête pas son frère, il ne sera pas
privé de foot. Donc, si les éléphants volent alors Paris est en France et si les mouettes
volent alors Paris est en France sont valides.
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Equivalences (formules ayant la même interprétation)
P)
équivaut à P
P  Q équivaut à (P)  Q
Lois de Morgan :
PQ) équivaut à P Q
PQ) équivaut à P Q
Commutativité du ET et du OU
Distributivité du ET par rapport au OU et vice versa
Associativité du ET et du OU
Contraposée de l'implication : P  Q équivaut à Q P
Formule consistante et universellement valide
Une formule est consistante (satisfiable) s'il existe une valuation qui la rend vraie.
Une formule est inconsistante si elle est fausse pour toute valuation.
Une formule est universellement valide si elle est vraie pour toute valuation. Elle est
alors appelée une tautologie (un théorème).
La satisfiabilité booléenne (SAT) est un problème NP-complet (théorème de Cook).
Ensemble de formules consistant
Un ensemble de formules E se traite comme la conjonction de toutes les formules le
composant. E peut-être infini tandis qu'une formule ne comporte qu'un nombre fini de
conjonction.
Un ensemble de formules E est dit consistant s'il existe une valuation qui rende
simultanément vraies toutes les formules de E.
Un ensemble de formules E est dit inconsistant si pour toute valuation au moins une
des formules est fausse.
Si E est fini, la consistance de E est identique à la consistance de la conjonction des
formules de E.
Comment énumérer les valuations ?
Pour voir si une formule F est consistante ou non, il faut lister toutes les valuations
et calculer à chaque fois la valeur de F.
La valeur de F ne dépend que des propositions atomiques figurant dans F. Il
suffit de décrire toutes les valuations sur les propositions atomiques de F, et s'il y a n
propositions atomiques dans F, cela fait 2n valuations à considérer.
Exemple 1:
F = ((PQ)P)R
P peut valoir VRAI ou FAUX. Dans chacun de ces deux cas, Q peut valoir
VRAI ou FAUX et dans chacun des 4 cas, R peut valoir VRAI ou FAUX.
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Nombre de cas possibles : 23 = 8.
Exemple 2:
Le raisonnement que voici est-il correct ?
S'il est venu seul, il a pris le bus ou le train.
S'il a pris le bus ou sa voiture alors il est arrivé en retard et a manqué
la réunion.
Il n'est pas arrivé en retard.
Donc, s'il est venu seul, il a pris le train.
Cet énoncé se formalise ainsi :
S : il est venu seul
B : il a pris le bus
T : ila pris le train
V : il a pris sa voiture
R : il est arrivé en retard
M : il a manqué la réunion
((S (B T)) ((B V) (R M)) R) (ST)
Il faut une table de vérité de 26 lignes et 14 colonnes !
5.Forme normale conjonctive de la logique
propositionnelle
mise en forme normale = simplification de formules complexes
souvent étape préalable des procédures de démonstration automatique
Définitions (littéral, clause, forme normale conjonctive).
Un littéral est une formule atomique ou la négation d'une formule atomique.
Une clause est une disjonction de littéraux.
Une formule est en forme normale conjonctive si elle est une conjonction de
clauses.
Exemples de mise en forme normale conjonctive
(p
& q) v (r & s) :
1.((p & q) v r) & ((p & q) v s)
2.( p v r) & ( q v r) & ((p & q) v s)
3.( p v r) & ( q v r) & ( p v s) & ( q v s)
Remarquer la croissance de la longueur de la formule qui resulte de l'application de
la loi de De Morgan
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(p
-> q) -> p :
1.~(~p v q) v p
2.(~~p & ~q) v p
3.( p & ~q) v p
4.(p v p) & (~q v p)
(
(p -> q) -> p) -> p :
1.~(~(~p v q) v p ) v p
2.~((~~p & ~q) v p ) v p
3.~(( p & ~q) v p ) v p
4.(~( p & ~q) & ~p) v p
5.((~ p v ~~q) & ~p) v p
6.((~ p v q) & ~p) v p
7.( ~ p v q v p) & (~p v p)
Remarquer le retardement de l'application de la loi de De Morgan (distribution de la
disjonction sur la conjonction)
6.INFERENCE
Etant donnée une théorie exprimée par un ensemble de formules, nous sommes
souvent intéressés de déterminer si l'ajoût d'une autre formule est valide dans cette
théorie. Une propriété importante de la logique est de permettre la dérivation
d'énoncés valides uniquement en manipulant la syntaxe.
Nous avons besoin de règles d'inférence pour tirer des conclusions. Un exemple
d'application d'une règle d'inférence : lorsque vous concluez que votre voisin est chez
lui parce que sa voiture est dans l'entrée.
Modus Ponens
Si P et PQ alors on déduit Q.
Modus Tollens
Si Q et PQ alors on déduit P.
Enchaînement
Si PQ et Qalors on déduit PR.
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7.Axiomes, théorèmes, démonstration,
décidabilité
Axiomes
: formules de départ
: ensemble de formules dont il existe une démonstration
Démonstration : enchaînement de dérivations (ou inférences)
Décidabilité : la logique des propositions est décidable (i.e. Il existe un procédé fini
permettant de décider si une formule est un théorème ou non)
Théorèmes
8.Logique propositionnelle : limites
L'hypothèse est que tout peut être exprimé par des faits simples.
L'exemple de Socrate ne peut être traduit en logique propositionnelle. En effet,
l'énoncé en question fait intervenir une variable quantifiée « homme » et le pluriel
« les hommes sont mortels » indique l'universalité : « Tout x qui a la propriété homme
est mortel ». Pour traduire cela, le système formel doit être plus riche que la logique
propositionnelle.
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