Eléments de logique - Classe Preparatoire B/L Henri IV Beziers

Lycée Henri IV, Béziers Chap1 : Éléments de Logique Mathématique Prépa BL, Lettres Sup
Eléments de logique
1 proposition logique
définition 1.1 : On appelle proposition ou assertion une phrase à laquelle on peut attacher
une valeur de vérité : soit vraie soit fausse.
Soit p une assertion, on appelle table de vérité de p la table :
p
définition 1.2 : une propriété, ou un théorème, est une proposition vraie
2 opérateurs logiques
2.1 définitions
les opérateurs, ou connecteurs, logiques permettent de combiner les propositions pour en
obtenir des nouvelles:
•Négation : la négation d’une proposition p est notée epou p
•Conjonction : la conjonction de deux propositions p et q, notée p∧q, signifie p et q
•Disjonction : la disjonction de deux propositions p et q, notée p∨q, signifie p ou q
•Implication : elle est notée ⇒
•Équivalence : elle est notée ⇔
ils sont définis par la table de vérité suivantes :
p q ep p∧q p∨q p⇒q p⇔q
V V
V F
F V
F F
2.2 Remarques
• Dans l’implication p⇒q, p s’appelle l’hypothèse et q la conclusion.
• L’implication q⇒pest appelée réciproque de p⇒q. On la note aussi p⇐q
• On peut exprimer l’implication p⇒q de l’une des façons suivantes
i) Pour que p, il faut q ; q est une condition nécessaire de p
ii) Pour que q, il suffit p ; p est une condition suffisante pour q
iii) Si p, alors q.
• On peut exprimer l’équivalence logique p⇔q de l’une des façons suivantes :
i) Pour que p, il faut et il suffit q
ii) p est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour q
iii) p si et seulement si q
3 propriétés des connecteurs logiques
3.1 Lois de Morgan
1. e¡p∨q¢=ep∧eq
2. e¡p∧q¢=ep∨eq
3.2 distributivité
1. La conjonction et la disjonction sont commutatives et associatives
2. p∨¡q∧r¢=¡p∨q¢∧¡p∨r¢
3. p∧¡q∨r¢=¡p∧q¢∨¡p∧r¢
2013/2014 1ludovic garcia

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4 l’implication
4.1 preuve d’une implication ou d’une équivalence
• Pour montrer que p⇒q est vraie on suppose p vraie et on montre que q est vraie.
•propriété: ¡p⇔q¢≡¡¡p⇒q¢∧¡p⇐q¢¢
Donc pour prouver une équivalence on prouve une implication et sa réciproque
4.2 propriétés
•¡p⇒q¢≡ep∨q
•¡p⇒q¢≡¡eq⇒ep¢contraposée
4.3 Négation d’une implication
•e¡p⇒q¢≡p∧eq
5 principaux types de raisonnement
1. Transitivité : de ¡p⇒q¢vraie et ¡q⇒r¢vraie on déduit ¡p⇒r¢vrai
2. Syllogisme : de p vraie et ¡p⇒q¢vraie on déduit q vraie
3. Disjonction des cas : de ¡p⇒q¢vraie et ¡ep⇒q¢vrai on déduit que q est vraie
4. Contraposition : on sait que ¡p⇒q¢≡¡eq⇒ep¢
5. Raisonnement par l’absurde : Pour montrer qu’une proposition p est vraie, on sup-
pose que p est faux et on montre que cela entraîne une contradiction ( on parle aussi
de tiers exclus : une proposition ne peut être à la fois vraie et fausse ).
6. Méthode du contre exemple : pour montrer que ¡p⇒q¢est faux , il suffit d’exhiber
un cas où p est vrai et q est faux . ( négation d’une implication )
6 Quantificateurs
6.1 Définitions
Soit P une proposition dépendant d’une variable x d’un ensemble E ( P est une fonction
propositionnelle). On introduit 2 nouveaux opérateurs :
•(∀x∈E,P(x))se lit "quelque soit x" ou "pour tout x " de l’ensemble E, la proposition
P(x) est vérifiée.
•(∃x∈E,P(x))se lit "il existe au moins un x" pour lequel la proposition P(x) est vraie.
•(∃!x∈E,P(x))se lit "il existe un x et un seul " pour lequel la proposition P(x) est vraie.
BSi E= ;, alors pour toute fonction propositionnelle Pdéfinie sur E, la proposition P(x)
est toujours vérifiée si elle est précédée de ∀x∈E.
6.2 Ordre des quantificateurs
2 quantificateurs de même nature peuvent être permutés.
2 quantificateurs de nature différente ne peuvent être permutés.
6.3 Négation des quantificateurs
Soit P une proposition dépendant d’une variable x d’un ensemble E. Alors:
•e(∀x∈E,P(x))⇔(∃x∈E,eP(x))
•e(∃x∈E,P(x))⇔(∀x∈E,eP(x))
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