Chap1 : Éléments de Logique Mathématique Lycée Henri IV, Béziers Prépa BL, Lettres Sup 2.2 Remarques Eléments de logique • Dans l’implication p⇒q, p s’appelle l’hypothèse et q la conclusion. 1 proposition logique • L’implication q ⇒ p est appelée réciproque de p ⇒ q. On la note aussi p ⇐ q définition 1.1 : On appelle proposition ou assertion une phrase à laquelle on peut attacher une valeur de vérité : soit vraie soit fausse. p • On peut exprimer l’implication p⇒q de l’une des façons suivantes i) Pour que p, il faut q ; q est une condition nécessaire de p ii) Pour que q, il suffit p ; p est une condition suffisante pour q iii) Si p, alors q. Soit p une assertion, on appelle table de vérité de p la table : définition 1.2 : une propriété, ou un théorème, est une proposition vraie • On peut exprimer l’équivalence logique p⇔q de l’une des façons suivantes : i) Pour que p, il faut et il suffit q ii) p est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour q iii) p si et seulement si q 2 opérateurs logiques 2.1 définitions les opérateurs, ou connecteurs, logiques permettent de combiner les propositions pour en obtenir des nouvelles: • Négation : la négation d’une proposition p est notée ep ou p 3 propriétés des connecteurs logiques • Conjonction : la conjonction de deux propositions p et q, notée p ∧ q, signifie p et q 3.1 Lois de Morgan • Disjonction : la disjonction de deux propositions p et q, notée p ∨ q, signifie p ou q ¡ ¢ 1. e p ∨ q =ep∧eq • Implication : elle est notée ⇒ ¡ ¢ 2. e p ∧ q =ep∨eq • Équivalence : elle est notée ⇔ 3.2 distributivité ils sont définis par la table de vérité suivantes : 1. La conjonction et la disjonction sont commutatives et associatives 2013/2014 p q V V V F F V F F ep p∧q p∨q p⇒q p⇔q ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ 2. p ∨ q ∧ r = p ∨ q ∧ p ∨ r ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ 3. p ∧ q ∨ r = p ∧ q ∨ p ∧ r 1 ludovic garcia Chap1 : Éléments de Logique Mathématique Lycée Henri IV, Béziers 4 l’implication Prépa BL, Lettres Sup ¡ ¢ 6. Méthode du contre exemple : pour montrer que p ⇒ q est faux , il suffit d’exhiber un cas où p est vrai et q est faux . ( négation d’une implication ) 4.1 preuve d’une implication ou d’une équivalence • Pour montrer que p⇒q est vraie on suppose p vraie et on montre que q est vraie. 6 Quantificateurs ¡ ¢ ¡¡ ¢ ¡ ¢¢ • propriété: p ⇔ q ≡ p ⇒ q ∧ p ⇐ q Donc pour prouver une équivalence on prouve une implication et sa réciproque 6.1 Définitions Soit P une proposition dépendant d’une variable x d’un ensemble E ( P est une fonction propositionnelle). On introduit 2 nouveaux opérateurs : 4.2 propriétés ¡ ¢ • p ⇒ q ≡ep ∨ q ¡ ¢ ¡ ¢ • p ⇒ q ≡ eq ⇒ep contraposée • (∀x ∈ E , P (x)) se lit "quelque soit x" ou "pour tout x " de l’ensemble E, la proposition P(x) est vérifiée. • (∃x ∈ E , P (x)) se lit "il existe au moins un x" pour lequel la proposition P(x) est vraie. 4.3 Négation d’une implication • (∃!x ∈ E , P (x)) se lit "il existe un x et un seul " pour lequel la proposition P(x) est vraie. ¡ ¢ • e p ⇒ q ≡ p∧eq B Si E = ;, alors pour toute fonction propositionnelle P définie sur E , la proposition P (x) est toujours vérifiée si elle est précédée de ∀x ∈ E . 5 principaux types de raisonnement ¡ ¢ ¡ ¢ 6.2 Ordre des quantificateurs ¡ ¢ 1. Transitivité : de p ⇒ q vraie et q ⇒ r vraie on déduit p ⇒ r vrai ¡ ¢ 2. Syllogisme : de p vraie et p ⇒ q vraie on déduit q vraie ¡ ¢ ¡ ¢ 3. Disjonction des cas : de p ⇒ q vraie et ep ⇒ q vrai on déduit que q est vraie ¡ ¢ ¡ ¢ 4. Contraposition : on sait que p ⇒ q ≡ eq ⇒ep 2 quantificateurs de même nature peuvent être permutés. 2 quantificateurs de nature différente ne peuvent être permutés. 6.3 Négation des quantificateurs Soit P une proposition dépendant d’une variable x d’un ensemble E. Alors: 5. Raisonnement par l’absurde : Pour montrer qu’une proposition p est vraie, on suppose que p est faux et on montre que cela entraîne une contradiction ( on parle aussi de tiers exclus : une proposition ne peut être à la fois vraie et fausse ). 2013/2014 • e (∀x ∈ E , P (x)) ⇔ (∃x ∈ E , eP (x)) • e (∃x ∈ E , P (x)) ⇔ (∀x ∈ E , eP (x)) 2 ludovic garcia