Modèle mathématique.

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Chapitre 10 : Equations, inéquations et problèmes
La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse Abu Djafar
Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850) consiste en :
- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre" aujourd’hui.
Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi s’attache à s’en débarrasser au
plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation.
- al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9)
Les termes semblables sont réduits.
A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham et la « famille des x » est appelée
chay (=chose), devenu plus tard xay en espagnol qui explique l’origine du x dans les équations.
I. Rappels
Une équation est une égalité de deux expressions (appelés les membres de l’équation) dans
lesquelles apparaissent des lettres (les inconnues).
Résoudre une équation, c’est donner toutes les valeurs de (des) l’inconnue(s) qui rend l’égalité
vraie.
Exemple : tester une égalité
(-2) est une solution de l’équation : x² +1 = 3 – x
En effet, si x = -2 :
x² + 1 = (-2)² + 1 = 4 + 1 = 5 et 3 – x = 3 – (-2) = 3 + 2 = 5
Équation du premier degré à une inconnue :
Dans une équation du premier degré à une inconnue, il n’y a qu’une seule inconnue.
Pour résoudre l’équation, il faut trouver la valeur (généralement, il n’y en a qu’une) de l’inconnue qui
rend l’égalité vraie.
1)Exemples simples :
Résolution de l’équation : 4x + 3 = 0
1. On isole les « x » : 4x = -3
2. On divise par le coefficient de x : x=-3/4
La solution de cette équation est -3/4.
Méthode:
Résoudre les équations suivantes :
2) 14 x = 7
1
y5
3
4
x2
4)
5
3)
5) 1/2x+5=3
6) 2(x - 3) - (x + 5) = 4
2
2) Avec des fractions
Méthode:
Résoudre l’équation :
x  4 x 1 3


3
12
4
x  4 x 1 3


3
12
4
4( x  4) x  1 9


Mettre au même dénominateur
12
12
12
Supprimer le dénominateur commun
4( x  4)  x  1  9
4x + 16 - x + 1 = 9
3x = -8
8
x= 
3
II. Equation produit
Si a x b = 0, que peut-on dire de a et b ?
« Faire des essais sur des exemples, puis conclure … ! »
Propriété : Si a x b = 0 alors a = 0 ou b = 0.
Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul.
Méthode:
Résoudre l’équation (4x + 6)(3 - 7x) = 0
Si un produit de facteur est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul.
Alors :
4x + 6 = 0
4x = -6
x = -Error!
x = -Error!
ou
3 - 7x = 0
- 7x = -3
x = Error!
x = Error!
S = { -Error! ; Error! }
III. Inéquations
1) Ordre et opérations
3
Méthode:
1) Si x < 3, que peut-on dire de 3x – 4 ?
2) Si 1 < x, que peut-on dire de 4 – 2x ?
1) x < 3
3x < 9
3x - 4 < 5
2) 1 < x
-2 > -2x
2 > 4 - 2x
L’inégalité se retourne lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif.
2) Résolution d’inéquations
Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue x.
Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient cette inégalité.
Il s’agit d’un ensemble de valeurs.
Méthode:
Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une
droite graduée :
1) 2x  3  4  5x
2) 2( x  4)  4x  5
1) 2x  3  4  5x
2 x  5x  4  3
7x  1
1
x
7
solutions
0 1/7
1
Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à
2) 2( x  4)  4x  5
1
.
7
2x  8  4x  5
2x  4x  8  5
 2x  3
3
x
On divise par un nombre négatif donc on change le sens de l’inégalité.
2
3
Les solutions sont tous les nombres supérieurs à  .
2
solutions
-2 -3/2 -1
0
1
2
3
4
IV. Application à la résolution de problèmes
Méthode:
Deux agriculteurs possèdent des champs ayant un côté
commun de longueur inconnue. L’un est de forme carré,
l’autre à la forme d’un triangle rectangle de base 100m.
Sachant que les deux champs sont de surface égale,
calculer leurs dimensions.
On désigne par x la longueur du côté commun.
Les donnés sont représentés sur la figure suivante :
x
100
L’aire du champ carré est égale à x2.
L’aire du champ triangulaire est égale à Error! = 50x
Les deux champs étant de surface égale, le problème peut se ramener à résoudre
l’équation : x2 = 50x
Soit x2 - 50x = 0
x (x – 50) = 0
Si un produit de facteurs est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Alors x = 0 ou x – 50 = 0
x = 0 ou x = 50
La première solution ne convient pas à la situation du problème, on en déduit que le
premier champ est un carré de côté de longueur 50m et le deuxième est un triangle
rectangle dont les côtés de l’angle droit mesure 100m et 50m.
EXERCICE 1
EXERCICE 2
5
1) 7 x  8
2) 2 x  8 x  4  8 x  6  7  4 x
2
3) x  9
3
4)  ( x  5)  5(1  2 x)
5) 8  4 y
6) 9 x  7 x  5  9 x  6  4 x  8 x
8
7) x  14
7
8) 6(3 y  5)  (5  y )
9) 12t  48
10) 7 x  2 x  2 x  9  7 x  14 x
x
11)  25
2
12)  (18  x)  7(3 x  5)  (2  4 x)
x 1 x 1

2
5
3
3  2x 3  x 3  4x
2)


x
6
8
4
3 x  4  4  x 12 x  7
3)


5
6
30
3x  4 4 x  7
4)

 1  3x
6
9
3x  4 3x 3x  1
5)


1
5
4
2
2x 7 3  x
6)  
  x  20
7 2
2
x  3 x 1
7)

7
4
6
x  3 x 1
8)

7
4
6
1)
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