Chapitre : Utiliser le calcul littéral pour résoudre ou démontrer 1 Identités remarquables Théorème Pour tous nombres réels et b, on a : • [carré d’une somme] ( + b)2 = 2 + 2b + b2 • [carré d’une différence] ( − b)2 = 2 − 2b + b2 • [produit d’une somme de deux termes par leur différence] ( + b)( − b) = 2 − b2 Exemples • (2 + 4)2 = (2)2 + 2 × (2) × 4 + 42 = 42 + 16 + 16. On reconnaît le carré d’une somme avec = 2 et b = 4. • (3 − 2)(3 + 2) = (3)2 − 22 = 92 − 4. On reconnaît la 3ième identité remarquable avec = 3 et b = 2. 2 Équations du premier degré à une inconnue Théorème • On ne change pas les solutions d’une équation en ajoutant ou en retranchant une même expression aux deux membres. • On ne change pas les solutions d’une équation en multipliant ou en divisant par un même nombre non nul les deux membres. • Une équation du premier degré à une inconnue + b = c + d (avec 6= c) admet une solution et une seule. Remarque Soient et b deux nombres relatifs. L’équation : + = b a une unique solution : b − . Et si est non nul, l’équation : = b a une unique solution : b . Exemple On considère l’équation 5 + 1 = 3 + 4. On a les équivalences : 5 + 4 = 3 + 1 ” ” La solution de l’équation est 3 2 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ 5 − 3 = 4 − 1 2 = 3 3 = 2 . Remarque Si deux équations ont les mêmes solutions, on dit qu’elles sont équivalentes. Le symbole « ⇐⇒ »se prononce : « équivalent à ». Il signifie que les équations de chaque côté sont équivalentes. 3ième Cours Page 1/2 3 Inéquation du 1er degré à une inconnue Théorème : Ordre et opération • On ne change pas le sens d’une inégalité en additionnant ou en soustrayant un même nombre à ses deux membres. • On ne change pas le sens d’une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre strictement positif. • On change le sens d’une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre strictement négatif. Exemples Soit un nombre, • si + 7 > 3 alors + 7 − 7 > 3 − 7, c’est à dire > −4. • si ≤ 5 alors 4 × ≤ 4 × 5, c’est à dire 4 ≤ 20. • si −3 > 18 alors −3 −3 < 18 −3 , c’est à dire < −6. • On sait que 3, 14 < π < 3, 15, on peut donc en déduire un encadrement de 15 − 4π : 3, 14 < π < 3, 15 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ −4 × 3, 14 > −4 × π > −4 × 3, 15 −12, 56 > −4π > −12, 6 −12, 56 + 15 > −4π + 15 > −12, 6 + 15 2, 44 > 15 − 4π > 2, 4 Définition Résoudre une inéquation d’inconnue , c’est trouver toutes les valeurs de pour lesquelles l’inégalité proposée est vérifiée. Ces valeurs sont appelée solutions de l’inéquation. Exemple Considérons l’inéquation 3 + 2 ≤ 4 − 1. On a les équivalences : ⇔ 3 − 4 ≤ −2 − 1 ⇔ − ≤ −3 ⇔ ≥ 3 Les solutions d’une inéquation peuvent alors être représentées sur une droite graduée. solutions −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Remarque Dans la représentation des solutions sur une droite graduée, si un crochet est tourné vers les solutions alors le nombre correspondant fait partie des solutions. Si le crochet est tourné vers l’extérieur alors le nombre correspondant ne fait pas partie des solutions. 3ième Cours Page 2/2