Chapitre : Utiliser le calcul littéral pour résoudre ou démontrer

Chapitre : Utiliser le calcul littéral pour
résoudre ou démontrer
1 Identités remarquables
Théorème
Pour tous nombres réels et b, on a :
•[carré d’une somme] (+b)2=2+2b +b2
•[carré d’une différence] (−b)2=2−2b +b2
•[produit d’une somme de deux termes par leur différence] (+b)(−b) = 2−b2
Exemples
•(2+4)2= (2)2+2×(2)×4+42=42+16+16.
On reconnaît le carré d’une somme avec =2et b=4.
•(3−2)(3+2) = (3)2−22=92−4.
On reconnaît la 3ième identité remarquable avec =3et b=2.
2 Équations du premier degré à une inconnue
Théorème
•On ne change pas les solutions d’une équation en ajoutant ou en retranchant une même
expression aux deux membres.
•On ne change pas les solutions d’une équation en multipliant ou en divisant par un
même nombre non nul les deux membres.
•Une équation du premier degré à une inconnue  +b=c +d(avec 6=c) admet une
solution et une seule.
Remarque
Soient et bdeux nombres relatifs. L’équation : +=ba une unique solution : b−.
Et si est non nul, l’équation :  =ba une unique solution : b
.
Exemple
On considère l’équation 5+1=3+4.
On a les équivalences :
5+4=3+1⇐⇒ 5−3=4−1
”⇐⇒ 2=3
”⇐⇒ =3
2
La solution de l’équation est 3
2.
Remarque
Si deux équations ont les mêmes solutions, on dit qu’elles sont équivalentes.
Le symbole « ⇐⇒ »se prononce : « équivalent à ». Il signifie que les équations de chaque côté
sont équivalentes.
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3 Inéquation du 1er degré à une inconnue
Théorème : Ordre et opération
•On ne change pas le sens d’une inégalité en additionnant ou en soustrayant un
même nombre à ses deux membres.
•On ne change pas le sens d’une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux
membres par un même nombre strictement positif.
•On change le sens d’une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres
par un même nombre strictement négatif.
Exemples
Soit un nombre,
•si +7>3 alors +7−7>3−7, c’est à dire  > −4.
•si ≤5 alors 4 ×≤4×5, c’est à dire 4≤20.
•si −3 > 18 alors −3
−3<18 −3, c’est à dire  < −6.
•On sait que 3,14 < π < 3,15, on peut donc en déduire un encadrement de 15 −4π:
3,14 < π < 3,15 ⇐⇒ −4×3,14 >−4×π > −4×3,15
⇐⇒ −12,56 >−4π > −12,6
⇐⇒ −12,56 +15 >−4π+15 >−12,6+15
⇐⇒ 2,44 >15 −4π > 2,4
Définition
Résoudre une inéquation d’inconnue , c’est trouver toutes les valeurs de pour les-
quelles l’inégalité proposée est vérifiée. Ces valeurs sont appelée solutions de l’inéqua-
tion.
Exemple
Considérons l’inéquation 3+2≤4−1. On a les équivalences :
⇔3−4≤ −2−1
⇔ −≤ −3
⇔≥3
Les solutions d’une inéquation peuvent alors être représentées sur une droite graduée.
0123456780−1
solutions
Remarque
Dans la représentation des solutions sur une droite graduée, si un crochet est tourné vers les
solutions alors le nombre correspondant fait partie des solutions.
Si le crochet est tourné vers l’extérieur alors le nombre correspondant ne fait pas partie
des solutions.
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