Equations, inéquations

Equations, inéquations
La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse Abu Djafar
Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850) consiste en :
 al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre"
aujourd’hui.
Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi s’attache à s’en
débarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation.
 al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9)
Les termes semblables sont réduits.
A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham et la « famille des x » est appelée
chay (=chose), devenu plus tard xay en espagnol qui explique l’origine du x dans les équations.
1) Equation
A) Produit nul
Propriété :
Dire qu’un produit est nul revient à dire qu’un de ses facteurs est nul, autrement dit :
Si ab = 0,alors a = 0 ou b = 0
et si a= 0 ou b = 0, alors ab = 0
Exemple :
Résoudre l’équation (2x – 3) (x + 2) = 0
Donc 2x – 3 = 0 ou x + 2 = 0 Les solutions sont donc 3/2 et –2
Remarque :
On utilise cette propriété pour résoudre une équation produit.
B) Type x2 = a
Propriété :
Une équation est du second degré si l’inconnue est au carré (éventuellement après développement).
Exemple :
X2 – 6x = - 9 et (x + 3) (2x – 1) = 0 sont des équations du second degré.
Par contre (x + 3) + (2x – 1 ) = 0 est une équation du premier degré.
2) Inéquation
Définition :
Résoudre une inéquation, revient à chercher toutes les valeurs d’une inconnue qui vérifient l’inégalité proposée.
Ces valeurs sont appelées solutions de l’inéquation.
Exemples :
Considérons l’inéquation : 3x – 4 < 5x + 1
 Pour x = -5
3 * (-5) – 4 = -15 – 4 = -19
5 * (-5) + 1= -25 + 1 = -24
Or –19 n’est pas inférieur à –24 donc –5 n’est pas une solution de l’inéquation.
 Pour x = 1
3 * 1 – 4 = 3 – 4 = -1
5 * 1 + 1 = 5 + 1 = 6
Or –1 est bien inférieur à 6 donc 1 est une solution de l’inéquation.

Propriété :
Soit a, b et c des nombres relatifs :
a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que a et b.
Exemples :
5 < 10 alors 5 + 4 < 10 + 4 : 9 < 14
-2 < 3 alors –2 – 5 < 3 – 5 : -7 < 2
Propriétés :
Soit a, b et c des nombres relatifs :
si c>0, alors ac et bc sont rangés dans le même ordre que a et b
si c<0, alors ac et bc sont rangés dans l’ordre contraire à celui de a et b.
Exemples :
5 < 10 alors comme 3 > 0 on a 5 * 3 < 10 * 3 soit 15 < 30
-2 < 3 alors comme 5 > 0 on –2 * 5 < 3 * 5 soit –10 < 15
5 < 10 alors comme –4 < 0 on a 5 * (-4) > 10 * (-4) soit –20 > -40
-2 < 3 alors comme –4 < 0 on a –2 * (-4) > 3 * (-4) soit 8 > -12
Remarque :
La plupart des inéquations possèdent une infinité de solutions. On peut présenter l’ensemble des solutions par
une phrase ou par une représentation graphique.
Exemples :
x - 7 < 4 alors x - 7 + 7 < 4 + 7 soit x < 11
La demi-droite coloriée représente les solutions. (x = 11 n'est pas une solution, le crochet est tourné vers la
partie hachurée)
-5x + 7 > 2x + 21 -5x + 7 - 7 > 2x + 21 – 7 -5x > 2x + 14 5x -2x > 2x - 2x + 14
-7x > 28 -7x ÷(-7) < 28÷(-7) x < -4
Représentons graphiquement ces solutions :
3) Résolution d’un problème du 1er degré
La résolution d’un problème du premier degré se fait en cinq étapes :
 Choix de l’inconnue
 Mise en équation ou inéquation du problème
 Résolution de l’équation ou de l’inéquation
 Vérification du résultat
 Interprétation du résultat et conclusion
Exemple :
Une mère de quarante cinq a une fille de 13ans. Dans combien d’année l’âge de la fille sera la moitié de
l’âge de sa mère ?
Solution dans 19ans.