R.O.C.

Chapitre 3 : Géométrie plane : nombres complexes 1ère partie
Propriétés : Conjugué et opérations
z et z' sont deux nombres complexes et n un entier naturel non nul.
.
'zz 
=
'zz 
.
'zz
=
z
'z
.
n
nzz 
. Si z
0
,
z
1
z
1
. Si z 0 ,
z
'z
z'z 
Démonstration :
Les formes algébriques de z et z' sont x + i y et x' + i y' (x, x', y, y' réels)
.
'zz 
=
)'yy(i)'xx()'iy'x()iyx( 
= ( x + x' ) – i ( y + y' ) =
'zz 
.
)y'x'xy(i'yy'xx)y'x'xy(i'yy'xx)'iy'x)(iyx('zz 
=
'zz
. raisonnement par récurrence :
1- z1 = z donc
zz
zz
1
1
donc
1
1zz 
et la propriété est vérifiée au rang 1
2- On suppose la propriété vraie au rang k
hypothèse de récurrence :
k
kzz 
1kk
kk1k zzzzzzzz 
(on utilise le conjugué d'un produit et l'hypothèse de récurrence)
la propriété est démontrée au rang k+1
3- Les axiomes de récurrence permettent de conclure que :
Pour tout entier naturel n,
n
nzz 
. Si z
0
, alors z
1
z
1
Or
'zz
=
z
'z
donc
11
z
1
z
et
1
z
1
z
d'où :
z
1
z
1
. Si z
0
, alors
z
1
'z
z'z 
Or
'zz
=
z
'z
et
z
1
z
1
donc
z
'z
z
1
'z
z
1
'z
z
1
'z
z'z 
Propriété des modules et arguments
a) Inégalité triangulaire
Propriété :
Pour tous nombres complexes z et z',
'zz 
z
+
'z

Démonstration :
Soit M et N les points d'affixes respectives z et - z', d'après l'inégalité triangulaire :
NM NO + OM.
Or, NM =
'zz)'z(z 
, ON =
'z
et OM =
z
, d'où :
'zz'zz 
b) Produit
Propriétés :
Pour tous nombres complexes non nuls z et z' ,
.
'zz
=
z
'z
et arg (zz') = arg z + arg z' + 2 kπ,
Démonstration :
Soit z = r (cos θ + i sin θ ) (r > 0) et z' = r' (cos θ '+ i sin θ ') (r' > 0),
alors zz' = rr' [(cos θ cos θ ' - sin θ sin θ ') + i (sin θ cos θ ' + cos θ sin θ ')], c'est-à-dire
zz' = rr' [cos (θ + θ ') + sin (θ + θ ')],or, rr' >0,donc :
'zz'zz 
Et
arg (zz') = θ + θ ' + 2 kπ ( k ℤ ), soit arg (zz') = arg z + arg z' + 2 kπ .
. pour tout entier naturel non nul n,
n
z
=
n
z
et arg (zn) = n arg (z) + 2 kπ.
Démonstration :
On effectue un raisonnement par récurrence
1- . Pour n = 1, l'égalité est vérifiée.
. On suppose qu'il existe p de ℕ tel que
p
pzz 
zzz p1p 
=
zzp
d'après la propriété précédente
Or,
p
pzz 
, d'après l'hypothèse de récurrence, donc :
1pp
1p zzzz 
.
la propriété est démontrée au rang p+1
. Les axiomes de récurrence permettent de conclure que :
la propriété est donc vraie pour tout n de ℕ.
2- . Pour n = 1, arg(z1) = arg(z) (2π )
1 arg(z) = arg(z)
La propriété est vérifiée au rang 1

. On suppose qu'il existe p de ℕ tel que arg(zp) = p arg(z) + 2 kπ
arg(zp+1) = arg(zp z) = arg(zp) + arg(z) + 2 kπ d'après la propriété précédente
Or, arg(zp) = p arg(z) + 2 kπ , d'après l'hypothèse de récurrence, donc :
arg(zp+1) = p arg(z) + arg(z) + 2 kπ = (p+1) arg(z) + 2 kπ
la propriété est démontrée au rang p+1
. Les axiomes de récurrence permettent de conclure que :
la propriété est donc vraie pour tout n de ℕ.
c) Quotient
Propriétés :
Pour tous nombres complexes non nuls z et z',
zarg
z
1
arget
'z
1
'z
1
+ 2 kπ
'z
z
=
'z
z
et arg
'z
z
= arg z - arg z' + 2 kπ
Démonstration :
zz' = 1 entraîne
1'zz 
, c'est-à-dire
1'zz 
, d'où :
'z
1
'z
1
zz' = 1 entraîne arg z + arg z' = 2 kπ, d'où : arg z' = - arg z + 2 kπ
'z
1
z
'z
z
entraîne
'z
z
'z
1
z
'z
1
z
'z
1
z
'z
z
'z
1
z
'z
z
entraîne arg
'zargzarg
'z
1
arg)zarg(
'z
z
+ 2 kπ
La fonction
θsiniθcosθ
f est la fonction définie sur ℝ et à valeurs dans ℂ par f (
θ
) = cos
θ
+ i sin
θ
.
a) Pour tous réels
θ
et
θ
', f (
θ
+
θ
') = f (
θ
) f (
θ
').
Démonstration :
En effet, les complexes f (
θ
+
θ
') et f (
θ
) f (
θ
') ont pour module 1 et pour argument
θ
+
θ
'.
Soit f (
θ
) = (cos θ + i sin θ ) et f (
θ
') = (cos θ '+ i sin θ '),
alors f (
θ
)f (
θ
') = [(cos θ cos θ ' - sin θ sin θ ') + i (sin θ cos θ ' + cos θ sin θ ')], c'est-à-dire
f (
θ
)f (
θ
') = [cos (θ + θ ') + I sin (θ + θ ')]
b) Les fonctions cos et sin étant dérivables sur ℝ , on dit que f est dérivable sur ℝ.
La fonction dérivée de f est définie par f ' (
θ
) = cos'
θ
+ i sin'
θ
= - sin
θ
+ i cos
θ
= i ( cos
θ
+ i
sin
θ
) = i f (θ).
On obtient alors f ' (0) = i .
Par analogie avec la définition de la fonction exponentielle, on adopte l'écriture :
Notation :
Pour tout réel
θ
, on note e
θi
= cos
θ
+ i sin
θ
.