Chapitre 3 : Géométrie plane : nombres complexes 1ère partie Propriétés : Conjugué et opérations z et z' sont deux nombres complexes et n un entier naturel non nul. . z z' = z z' 1 1 . Si z 0 , z z n . z z . zz ' = z z ' n z' z' . Si z 0 , z z Démonstration : Les formes algébriques de z et z' sont x + i y et x' + i y' (x, x', y, y' réels) . z z' = ( x iy ) ( x 'iy ' ) ( x x ' ) i( y y' ) = ( x + x' ) – i ( y + y' ) = z z' . zz ' ( x iy )( x 'iy ' ) xx ' yy 'i( xy ' x ' y) xx ' yy 'i( xy ' x ' y) = z z ' . raisonnement par récurrence : 1 1- z = z z1 z donc z 1 z 2- On suppose la propriété vraie au rang k k 1 et la propriété est vérifiée au rang 1 hypothèse de récurrence : z k z donc z1 z k k 1 (on utilise le conjugué d'un produit et l'hypothèse de récurrence) z k 1 z k z z k z z z z la propriété est démontrée au rang k+1 3- Les axiomes de récurrence permettent de conclure que : n Pour tout entier naturel n, z z 1 . Si z 0 , alors z 1 z Or zz ' = z z ' n 1 11 z 1 et z 1 z 1 1 d'où : z z z' 1 . Si z 0 , alors z ' z z 1 1 Or zz ' = z z ' et z z donc z 1 1 z' z' 1 donc z' z' z' z z z z z Propriété des modules et arguments a) Inégalité triangulaire Propriété : Pour tous nombres complexes z et z', z' z z' z + Démonstration : Soit M et N les points d'affixes respectives z et - z', d'après l'inégalité triangulaire : NM NO + OM. Or, NM = z (z' ) z z' , ON = z' et OM = z , d'où : z z' z z' b) Produit Propriétés : Pour tous nombres complexes non nuls z et z' , z z' zz ' . = et arg (zz') = arg z + arg z' + 2 kπ, Démonstration : Soit z = r (cos θ + i sin θ ) (r > 0) et z' = r' (cos θ '+ i sin θ ') (r' > 0), alors zz' = rr' [(cos θ cos θ ' - sin θ sin θ ') + i (sin θ cos θ ' + cos θ sin θ ')], c'est-à-dire zz' = rr' [cos (θ + θ ') + sin (θ + θ ')],or, rr' >0,donc : zz ' z z' Et arg (zz') = θ + θ ' + 2 kπ ( k ℤ ), soit arg (zz') = arg z + arg z' + 2 kπ . . pour tout entier naturel non nul n, zn = z n et arg (zn) = n arg (z) + 2 kπ. Démonstration : On effectue un raisonnement par récurrence 1- . Pour n = 1, l'égalité est vérifiée. p . On suppose qu'il existe p de ℕ tel que z p z z p 1 z p z = z p z d'après la propriété précédente Or, z p z , d'après l'hypothèse de récurrence, donc : p z p1 z z z p p 1 . la propriété est démontrée au rang p+1 . Les axiomes de récurrence permettent de conclure que : la propriété est donc vraie pour tout n de ℕ. 2- . Pour n = 1, arg(z1) = arg(z) (2π ) 1 arg(z) = arg(z) La propriété est vérifiée au rang 1 . On suppose qu'il existe p de ℕ tel que arg(zp) = p arg(z) + 2 kπ arg(zp+1) = arg(zp z) = arg(zp) + arg(z) + 2 kπ d'après la propriété précédente Or, arg(zp) = p arg(z) + 2 kπ , d'après l'hypothèse de récurrence, donc : arg(zp+1) = p arg(z) + arg(z) + 2 kπ = (p+1) arg(z) + 2 kπ la propriété est démontrée au rang p+1 . Les axiomes de récurrence permettent de conclure que : la propriété est donc vraie pour tout n de ℕ. c) Quotient Propriétés : Pour tous nombres complexes non nuls z et z', 1 1 1 et arg argz + 2 kπ z' z' z z z z z ' = z ' et arg z ' = arg z - arg z' + 2 kπ Démonstration : 1 1 z' z' zz' = 1 entraîne arg z + arg z' = 2 kπ, d'où : arg z' = - arg z + 2 kπ zz' = 1 entraîne zz ' 1, c'est-à-dire z z' 1 , d'où : z z 1 z 1 1 1 z entraîne z z z z' z' z' z' z' z' z' z 1 z entraîne arg z' z' z 1 arg( z) arg arg z arg z' + 2 kπ z' z' La fonction θ cos θ i sin θ f est la fonction définie sur ℝ et à valeurs dans ℂ par f ( θ ) = cos θ + i sin θ . a) Pour tous réels θ et θ ', f ( θ + θ ') = f ( θ ) f ( θ '). Démonstration : En effet, les complexes f ( θ + θ ') et f ( θ ) f ( θ ') ont pour module 1 et pour argument θ + θ '. Soit f ( θ ) = (cos θ + i sin θ ) et f ( θ ') = (cos θ '+ i sin θ '), alors f ( θ )f ( θ ') = [(cos θ cos θ ' - sin θ sin θ ') + i (sin θ cos θ ' + cos θ sin θ ')], c'est-à-dire f ( θ )f ( θ ') = [cos (θ + θ ') + I sin (θ + θ ')] b) Les fonctions cos et sin étant dérivables sur ℝ , on dit que f est dérivable sur ℝ. La fonction dérivée de f est définie par f ' ( θ ) = cos' θ + i sin' θ = - sin θ + i cos θ = i ( cos θ + i sin θ ) = i f (θ). On obtient alors f ' (0) = i . Par analogie avec la définition de la fonction exponentielle, on adopte l'écriture : Notation : iθ Pour tout réel θ , on note e = cos θ + i sin θ .