Formulaire : nombres complexes i² = 1 

Formulaire : nombres complexes
i² = 1 Si z = x + i y et z’ = x’ + iy’ où x, y, x’, y’ sont réels, on a :
1. Somme : z + z’ = (x+x’) + i (y+y’) Produit : zz’ = (xx’yy’) + i(xy’+yx’)
2. Conjugué : z = x  iy Module : z = x² + y²
3. Partie réelle : Re(z) = x Partie imaginaire : Im(z) = y
4. ( ) z = z’  ( ) Re(z) = Re(z’) et Im(z) = Im(z’)
Pour z0 :
5. Inverse : 1
z = xiy x²+y² =
z
z ²
Quotient : z’
z =
z’ z
z ²
6. Argument : arg z est un nombre  défini à 2 près tel que cos  = x
x²+y²
= Re(z)
z
sin = y
x²+y²
= Im(z)
z
Propriétés du module : zz’ = zz’ z = z z’
z =
z’
z
Propriétés du conjugué : z+z’ = z + z’ zz’ = zz’ ( )
1
z= 1
z
( )
z’
z =
z’
z
z = z
Re(z) =
z + z
2 Im(z) =
zz
2i
z réel  z = z z imaginaire pur  z = z
Propriétés des arguments (à 2 près) : arg (zz’) = arg(z) + arg (z’) arg(zn) = n arg z (n)
arg( z ) = arg 1
z =  arg z arg ( )
z’
z =arg z’  arg z
Algébrique (unique)
Trigonométriques
Exponentielles
Ecritures
x + i y
z (cos  + i sin )
z ei 
Avec ei  = cos  + i sin 
ei  est un complexe de module 1 et d’argument 
Formule de Moivre : (cos  + i sin )n = cos (n) + i sin (n) ou bien (ei)n = ei n
Application en géométrie : On considère un repère orthonormal (O ;  u,  v).
Pour tout point M de coordonnées (x ;y), zM = x + iy désigne son affixe.
Module : zM = OM
Argument : arg (z) est une mesure de l’angle ( u,  OM)
(par exemple  sur le schéma)
Affixe du vecteur  AB : z 
AB = zB  zA
Affixe du milieu du segment [AB] : zA+ zB
2
Distance : AB = zB  zA
Mesures d’angles (à 2  près) : ( u,  OA) = arg (zA) ( AB,  CD) = arg ( )
zD zC
zBzA
Ainsi, le complexe zBzA
zCzA
a pour module AB
AC et pour argument une mesure en radians de l’angle (
AC,  AB).
Algèbre : pour a, b et c réels (avec a 0), on considère l’équation az²+bz +c = 0 de discriminant  = b²  4 ac.
Si  < 0, l’équation admet deux solutions complexes et conjuguées : z1 = b + i 
2a et z2 = z1 ( si z1 = z1 ei alors z2 = z1 e i )