Formulaire : nombres complexes i² = 1 

Formulaire : nombres complexes
i² = 1
Si z = x + i y et z’ = x’ + iy’ où x, y, x’, y’ sont réels, on a :
1.
Somme : z + z’ = (x+x’) + i (y+y’)
Produit : zz’ = (xx’yy’) + i(xy’+yx’)
2.
Conjugué : z = x  iy
Module : z =
3.
4.
Partie réelle : Re(z) = x
(z = z’)  (Re(z) = Re(z’) et Im(z) = Im(z’))
Partie imaginaire : Im(z) = y
5.
z
Inverse : 1 = xiy =
z x²+y² z ²
Quotient : z’ =
z
Argument : arg z est un nombre  défini à 2 près tel que
cos  =
x² + y²
Pour z0 :
6.
x
x²+y²
Propriétés du module :
zz’ = z z’
Propriétés du conjugué :
z+z’ = z + z’
Re(z) =
z =
zz’ = z z’
z+ z
z réel  z = z
z ²
= Re(z)
z
sin =
y
x²+y²
= Im(z)
z
z’ = z’
z
z
z
1
z
()
Im(z) =
2
z’ z
= 1
z
z’
z
()
z’
=
z =z
z
z z
2i
z imaginaire pur  z = z
Propriétés des arguments (à 2 près) :
arg (zz’) = arg(z) + arg (z’)
arg(zn) = n arg z (n)
arg( z ) = arg 1 =  arg z
z
arg
z’
z
()
=arg z’  arg z
Algébrique (unique)
Trigonométriques
x+iy
z (cos  + i sin )
Ecritures
Exponentielles
z ei 
Avec ei  = cos  + i sin 
ei  est un complexe de module 1 et d’argument 
i n
Formule de Moivre : (cos  + i sin )n = cos (n) + i sin (n) ou bien (e )
Application en géométrie :
Module :
Argument :

Affixe du vecteur AB :
= ei n
 
On considère un repère orthonormal (O ; u, v).
Pour tout point M de coordonnées (x ;y), zM = x + iy désigne son affixe.
zM = OM
 
arg (z) est une mesure de l’angle (u, OM)
(par exemple  sur le schéma)

z AB = zB  zA
Affixe du milieu du segment [AB] :
zA+ zB
2
Distance :
AB = zB  zA
Mesures d’angles (à 2  près) :
 
(u, OA) = arg (zA)
 
( AB, CD) = arg
zD zC
zBzA
( )
 
Ainsi, le complexe zBzA a pour module AB et pour argument une mesure en radians de l’angle ( AC, AB).
AC
zCzA
Algèbre : pour a, b et c réels (avec a 0), on considère
l’équation az²+bz +c = 0 de discriminant  = b²  4 ac.
Si  < 0, l’équation admet deux solutions complexes et conjuguées :
z1 = b + i  et z2 = z1
2a
( si z1 = z1 ei alors z2 = z1 e i )