3. Espérance mathématique d`une variable aléatoire finie

0
Variables aléatoires
1. Définition élémentaire ....................................................................................... 1
2. Le prix de vente d'un billet de la tombola ......................................................... 2
3. Espérance mathématique d’une variable aléatoire finie ................................... 3
4. La variable aléatoire centrée associée à une variable aléatoire finie ................ 4
5. Variance d’une variable aléatoire finie ............................................................. 5
6. Une utilisation de l’écart type ........................................................................... 6
7. Variables aléatoire finies : exercices. ................................................................ 7
8. Variable aléatoire de Bernoulli ......................................................................... 8
9. Une situation binomiale .................................................................................... 9
10. Situation binomiale (cas général) .................................................................. 10
11. Variables aléatoires binomiales définition. ................................................... 11
12. Espérance mathématique, variance d’une variable aléatoire binomiale. ...... 12
13. Variables aléatoires dénombrables ................................................................ 13
14. Espérance mathématique, variance d’une variable aléatoire dénombrable. . 14
16. Espérance mathématique, variance d’une variable aléatoire de POISSON .. 16
17. Espérance mathématique : justification dans le cas de Poisson .................... 17
18. La variance : justification dans le cas de Poisson. ........................................ 18
19. Les lois de Poisson et les lois des accidents .................................................. 19
20. Variable aléatoire normale (première approche, des explications suivent). . 20
Avertissement
Pour atteindre un paragraphe, cliquer sur son titre ; cliquer sur Haut du
document pour revenir ici.
Chaque paragraphe s’inscrit sur une seule page et nécessite un maximum de 15
minutes de travail (exercice compris), sauf les inscriptions comprises entre deux
rectangles rouges ou roses qui nécessitent un supplément de 15 minutes de
travail (roses un peu moins).
Les exercices soulignés sont un plus compliqués que les autres.
Les solutions des exercices seront proposées ultérieurement.
Tout le monde doit pouvoir effectuer les exercices non soulignés et comprendre
ce qui n’est pas borné par des rectangles colorés.
1
1. Définition élémentaire
Une variable aléatoire est un nombre inconnu sur lequel on a deux types
d’informations :
Type I
Toutes les valeurs possibles de ce nombre.
Type II
Les probabilités de chacune de ces valeurs ou, pour n’importe quel intervalle, les
probabilités de les situer dans cet intervalle.
Exemple 1 : tombola
Voici l’inventaire des valeurs possibles des billets d’une tombola :
Valeur du billet en Euro
Nombre de billets correspondant à la
valeur
200
1
50
3
10
15
0
100
X représente la valeur du billet que vous allez acheter.
X est une variable aléatoire, les deux types d’informations qui la concernent
peuvent être résumés dans le tableau suivant qui définit la loi de X:
Valeur possible de X : xi
Probabilité correspondante: P(X= xi)
200
1119
50
3119
10
15119
0
100119
Remarque importante
P(X  x1)  P(X  x 2 )  P(X  x 3 )  P(X  x 4 )  1 .
n
 P(X  x i )  1 ici n  4.
i 1
Exercice 1 Calculer la probabilité pour que X soit au moins égale à 10.Calculer
la probabilité pour que X soit au plus égale à 50. Calculer la probabilité pour que
X égale à moins de 50.
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2
2. Le prix de vente d'un billet de la tombola
Question
Quel doit être le prix de vente d’un billet pour que la recette permette de payer
les gains sans aucun bénéfice pour les organisateurs de la tombola (tous les
billets sont supposés vendus)?
Réponse
Il faut encaisser, pour rembourser les billets, le capital suivant :
0 Euro100+10 Euro15+50 Euro3+200 Euro1.
Il y 119 billets à vendre : le prix du billet est donc :
(0Euro100+10 Euro15+50 Euro3+200 Euro1)119
Ce qui s’écrit :
15
3
1 
 100
0
.

10
.

50
.

200
.
Euros
 119
119
119
119 
On obtient
500
119
.
Remarque
Les valeurs possibles de X sont en Euros : x1  0, x 2  10, x 3  50, x 4  200 avec
les probabilités correspondantes:
100
15
3
1
P(X  x1) 
, P( X  x 2 ) 
, P( X  x 3 ) 
, P( X  x 4 ) 
.
119
119
119
119
Le prix de vente du billet en Euros est donné par :
4
 x i P( X  x i ) .
i 1
4
On note E(X)   x i P(X  x i ) . E(X) est l'espérance mathématique de la
i 1
variable aléatoire représentant la valeur d'un billet de la tombola.
Remarque
On vient de calculer la moyenne de la série statistique qui prend les valeurs (0,
10, 50,200) avec les effectifs respectifs (100, 15, 3,1).
Exercice 2 On décide de supprimer tous les billets valant 0 Euro de la tombola
de l'exemple 1. Calculer le prix de vente du billet pour cette nouvelle situation.
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3
3. Espérance mathématique d’une variable aléatoire finie
Lorsque l'ensemble des valeurs possibles de la variable aléatoire est un ensemble
fini, la variable aléatoire est dite "finie".
Les valeurs possibles d’une variable aléatoire X sont notées par exemple :
x1, x 2 ,.....x n et P(X  x i ) désigne la probabilité pour X d'être égale à
x i pour i  1,2,...n.
Remarque importante.
in
On a toujours :  P(X  x i )  1 .
i 1
Définition
E(X) 
n
 x i P( X  x i )
i 0
Ce nombre s’appelle l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
Le prix du billet d’une tombola est l’espérance mathématique de la variable
aléatoire qui est définie par cette tombola.
Vocabulaire
Espérance mathématique se dit parfois : Moyenne, valeur prévisionnelle, etc.
Exercice 3 Voici une variable aléatoire X (les caractéristiques sont réunies dans
le tableau suivant) :
i
Valeur possible de X : xi P(X= xi)
1
2
0.10
2
3
0.40
4
6
1) Donner la valeur de P(X  6)
2) Calculer l’espérance mathématique de X.
3) La variable aléatoire Y prend la valeur x i  E(X) 2 lorsque X prend la
valeur x i . Réunir les caractéristiques de Y dans un tableau et calculer l'espérance
mathématique E(Y) de Y.
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4
4. La variable aléatoire centrée associée à une variable aléatoire
finie
Définition
Si X est une variable aléatoire finie on lui associe alors la variable aléatoire
finie T  X  E(X) .
On retranche à chaque valeur possible l’espérance mathématique.
T est souvent nommée « variable aléatoire centrée associée à la variable
aléatoire X ».
Description
Soient x1, x 2 ,.....,x n l’ensemble des valeurs possibles de X.
Les valeurs possibles de T sont x1  E(X), x 2  E(X),.....,x n  E(X) .
Pour i  1,2,....,n : P( T  x i  E(X) )  P( X  x i ).
Propriété
Pour n’importe quelle variable aléatoire finie X , E(T)  0 si T est la variable
aléatoire centrée associée à X.
Preuve de la propriété
n
n
E(T)  ( x i  E(X)) P( T  x i  E(X) ) 
( x i  E(X))P( X  x i )
i 1
i 1
n
n
E (T ) 
x i P( X  x i )  E ( X ) P( X  x i )
i 1
i 1
n
n
x i P( X  x i )  E(X) et E(X) P( X  x i )  1 :
i 1
i 1






E(T)  E(X)  E(X)  1  0.
Vocabulaire
Une variable aléatoire finie est dite centrée si son espérance mathématique est
nulle.
Exercice 4
Soit Y la variable aléatoire dont les valeurs possibles sont x1, x 2 , x 3 .
On sait que Y est centrée et d’autre part que x1  1, x 2  2 avec les probabilités
suivantes P(X  x1)  0,50 , P(X  x 2 )  0,40 . Trouver la valeur de x 3 .
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5
5. Variance d’une variable aléatoire finie
Soit X une variable aléatoire dont les valeurs possibles sont désignées
par x1, x 2 ,.....x n .
Définition (Variance)
La variance de X est le réel positif (ou nul) V(X) calculé de la manière suivante :
n
V ( X )  [ x i  E ( X ) ]2 P ( X  x i ) .
i 1

Formule de la Variance
n

2
V(X)    x i P(X  x i )  [E(X)]2


i 1

Vérification de la Formule de la Variance
n
n
2
 x 2  2x E(X)  E(X)2 P(X  x )
V ( X )  [ x i  E ( X )] P ( X  x i ) 
i
i
 i

i 1
i 1
n
n
n
2
2
x i P(X  x i )  2E(X) x i P(X  x i )  E(X)
P( X  x i )
i 1
i 1
i 1
n
n
x i P(X  x i )  E(X) et
P(X  x i )  1
i 1
i 1
n
V(X) 
x i 2 P(X  x i )  2E(X)  E(X)  E(X)2  1
i 1
n

2
donc : V(X)   x i P(X  x i )  E(X)2


i 1

Définition (Ecart type)
L'écart type de X est le réel positif (ou nul) : (X)  V(X).









Exercice 5
Calculer l'écart type de la variable aléatoire définie dans l'exercice 3.
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6
6. Une utilisation de l’écart type
Voici l’inventaire des valeurs possibles des billets de deux tombolas dont le
prix de vente des billet est le même :
1ère tombola
Valeur du billet en Euro
Nombre de billets correspondant à la
valeur
200
1
50
3
10
15
0
100
ème
2 tombola
Valeur du billet en Euro
Nombre de billets associés
2000
1
50
3
10
285
0
901
L’espérance mathématique de la variable aléatoire X représentant les valeurs
possibles du billet de la 1ère tombola est :
100
15
3
1
500
.
0.
 10.
 50.
 200.

119
119
119
119 119
L’espérance mathématique de la variable aléatoire Y représentant les valeurs
possibles du billet de la 2ème tombola est :
901
285
3
1
5000 500
E( Y )  0.
 10.
 50.
 2000 .


1190
1190
1190
1190 1190 119
Le prix du billet est le même pour les deux tombolas proposées :
E(X)=E(Y).
Comment choisir ?
Le calcul de la variance (ou de l’écart type) donne un critère de choix.
Vocabulaire
Dans l’ambiance des jeux de hasard, ou dans la prise de décision en avenir
incertain, l’écart type est souvent appelé « risque », ou « risque prévisionnel ».
Le risque est un critère de choix, il doit donc être calculé.
La nouvelle tombola est plus attrayante mais elle est plus risquée, cela se traduit
par le fait que l’écart type de la nouvelle tombola est plus grand que celui de la
première.
Exercice 6
Calculer la variance et l’écart type pour les variables aléatoires représentant les
prix des billets des deux tombolas précédentes. Vérifier que la 2ème tombola est
plus risquée.
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7
7. Variables aléatoire finies : exercices.
Exercice 7.1
Voici une variable aléatoire X (les caractéristiques sont réunies dans le tableau
suivant) :
i
Valeur possible de X : xi Probabilité de prendre cette valeur :
P(X= xi)
1
2
0.10
2
3
0.40
4
6
0.50
1) Calculer l’espérance mathématique de X.
2) Calculer la variance et l’écart type.
Exercice 7.2
X est une variable aléatoire dont la loi est définie dans le tableau suivant :
Valeur possible de X : x i
Probabilité pour que X soit égal à x i :
P(X  x i )
2
0.10
3
0.40
4
0.30
5
0.20
1) Calculer l’espérance mathématique de X, la variance de X et l’écart type de
X.
2) Calculer la probabilité pour que X soit au moins égale à 1.
3) Calculer la probabilité pour que X soit au moins égale à 2.
4) Calculer la probabilité pour que X soit au moins égale à 3.
5) Calculer la probabilité pour que X soit au plus égale à 5.
6) Calculer la probabilité pour que X soit au plus égale à 3.
7) Calculer la probabilité pour que X soit égale à moins de 4.
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8
8. Variable aléatoire de Bernoulli
Si p est un réel de l’intervalle] 0, 1[, une variable aléatoire X est dite de
Bernoulli de paramètre p lorsque :
1) ses valeurs possibles sont 0 ou 1
2) les probabilités correspondantes sont
P(X  0)  1  p
P(X  1)  p
Espérance mathématique : E(X)=p
Variance : V(X)=p (1p)
Ecart type : (X)  p(1  p)
Preuve
E (X)  0  P(X  0)  1  P(X  1)p donc : E (X)  p
V(X)  (0  E (X)) 2 P(X  0)  (1  E (X)) 2 P(X  1)
V(X)  p 2 (1  p)  (1  p) 2 p
 p(1  p)( p  (1  p))
donc : V(X)  p(1  p)
On peut aussi utiliser la formule de la variance :
V(X)  0 2 P(X  0)  12 P(X  1)  (E(X)) 2
V(X)  p  p 2  p(1  p)
Vocabulaire
Lorsque X est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p on dit que X
suit la loi B p (ou que B p est la loi de X).
Exemple d'utilisation
Une personne décide de mettre au monde un enfant; la probabilité pour qu'un
nouveau né soit un garçon est 0,51, la probabilité pour qu'il soit une fille est
0,49.
X est la variable aléatoire qui représente le nombre de garçons appartenant à
cette future famille de 1 enfant.
X suit la loi B 0,51 .
Exercice 8
Donner l’espérance mathématique et l’écart type de la variable aléatoire de
Bernoulli de paramètre 0.5, puis de celle de paramètre 0.25.
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9
9. Une situation binomiale
Une personne décide de mettre au monde 5 enfants; la probabilité pour qu'un
nouveau né soit un garçon est 0,51, la probabilité pour qu'il soit une fille est
0,49.
X représente le nombre de garçons appartenant à cette future famille de 5
enfants. X est une variable aléatoire.
1) Valeurs possibles de X
{0, 1, 2, 3, 4,5}
2) Probabilités de chacune de ces valeurs
Pour k=0,1,…..,5 :
P(X  k )  C5k  0,51k  0,495 k
5!
avec C5k 
k!(5  k )!
0! 1,1! 1, 2! 1  2, 3! 1  2  3, 4! 1  2  3  4, 5! 1  2  3  4  5, etc....
Justification
Par exemple : il y a une probabilité de 0,512  0,493 que la famille soit GGFFF ;
il y a la même probabilité 0,512  0,493 qu’elle soit GFFGF, etc.
Il y a C52  10 choix de 2 rangs de naissance parmi 5 (le rang de naissance d’un
garçon), donc : la probabilité pour qu’une famille de 5 enfants soit constituée de
2 garçons et 3 filles est
P(X  2)  C52  0,512  0,493 .
De la même manière : chaque famille de k garçons et 5−k filles a une
probabilité de
0,51k  0,495 k
5!
Il y a C5k 
telles familles, donc P(X  k )  C5k 0.51k  0.495 k.
k!(5  k )!
Exercice 9
Quelle est la probabilité qu’une famille de 5 enfants contienne au moins un
garçon ?
Haut du document
10
10. Situation binomiale (cas général)
On se donne un entier positif n.
On décide d’effectuer n fois la même expérience avec le même objectif.
On se place dans la situation suivante
1) pour chaque expérience, la probabilité d'atteindre cet objectif est la même et
vaut p (0p1).
2) les expériences sont indépendantes les unes des autres.
X représente le nombre de fois où l'objectif sera atteint.
X est une variable aléatoire.
1) Valeurs possibles de X
{0, 1, …...n}
2) Probabilités de chacune de ces valeurs
Pour k=0, 1, …...n :
k
5 k
P( X  k )  C k
n  p  (1  p)
n!
avec C k
n
k!(n  k )!
0! 1,1! 1, 2! 1  2, 3! 1  2  3, 4! 1  2  3  4, 5! 1  2  3  4  5, etc....
Exercice 10
A) Une famille est composée de 10 enfants ; on suppose maintenant que la
probabilité pour un nouveau-né d’être un garçon 0,5 (ce qui est faux, elle est de
0,51 mais on constate qu’il y a plus de femmes que d’hommes sur la Terre).
Quelle est la probabilité que la famille contienne autant de garçons que de
filles ?
Quelle est la probabilité que la famille contienne au moins 4 garçons mais moins
de 7 ?
B) On suppose que les situations météorologiques des différents « 31 décembre
à Paris » sont indépendantes les unes des autres et que la probabilité qu’il neige
le 31 décembre à Paris est toujours égale à 0,20.
Quelle est la probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il y ait
exactement 3 années avec de la neige le 31 décembre à Paris ?
Quelle est la probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il ne neige
jamais le 31 décembre à Paris ?
Quelle est la probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il neige au
moins une fois à Paris le 31 décembre ?
Haut du document
11
11. Variables aléatoires binomiales définition.
Si p est un réel de l’intervalle] 0, 1[et n un entier positif non nul, une variable
aléatoire X est dite binomiale de paramètres (n ; p) lorsque :
1) les valeurs possibles de X sont :
{0, 1, …...n}
2) les probabilités de chacune de ces valeurs sont pour k=0, 1, …...n :
k
5 k
P( X  k )  C k
n  p  (1  p)
n!
k!(n  k )!
0! 1,1! 1, 2! 1  2, 3! 1  2  3, 4! 1  2  3  4, 5! 1  2  3  4  5, etc....
avec C k
n
Vocabulaire
Lorsqu’une variable aléatoire X est binomiale de paramètres (n, p) on dit que X
suit la loi B (n ; p) (ou que B (n ; p) est la loi de X).
Remarque
La loi B (1, p) est la loi de Bernoulli B p .
Exercice 11
X est une variable aléatoire de loi Binomiale B (5 ; 0,4).
1) Quelles sont les valeurs possibles de X ?
2) Donner l’expression en fonction de k de la probabilité pour que X soit égale à
k, indiquer les valeurs possibles de k.
3) Calculer le plus simplement possible la probabilité pour que X soit au moins
égale à 1.
4) Calculer la probabilité pour que X soit au plus égale à 3.
5) Calculer la probabilité pour que X soit égale à moins de 3.
Haut du document
12
12. Espérance mathématique, variance d’une variable aléatoire
binomiale.
Résultats
La variable aléatoire X binomiale suit la loi B (n, p) :
1) Espérance mathématique
2) Variance
E( X)  n  p
V(X)  n  p  (1  p)
3) Ecart type
(X)  n  p  (1  p) .
Remarque
V(X)  E(X)  (1  p)
Précisions
La définition de l’espérance mathématique est dans ce cas:
E(X)  0  P(X  0)  1  P(X  1)  ....  k  P(X  k )  ....  n  P(X  n )
k
n  k  .....
E(X)  0  C 0n p 0 (1  p) n  1  C1n p1(1  p) n 1  ..  k  C k
n p (1  p)
n
0
...  n  C n
n p (1  p)
Des calculs mathématiques donnent E(X)  n  p . [Voir : approfondissement]
La définition de la variance est dans ce cas :
V(X)  0 2 P(X  0)  12 P(X  1)  ..  k 2 P(X  k )  ..  n 2 P(X  n )  E(X)2
k
n  k  .....
V(X)  0 2 C0n p 0 (1  p) n  12 C1n p1(1  p) n 1  ..  k 2C k
n p (1  p)
n
0
2
...  n 2C n
n p (1  p)  n  p
On obtient V(X)  n  p  (1  p) . [Voir : approfondissement]
Exercice 12 X est une variable aléatoire de loi Binomiale B (5 ; 0,4).
Calculer la probabilité pour que X soit égale à son espérance mathématique.
Donner la variance et l’écart type de la variable aléatoire X.
Répondre aux mêmes questions si la loi de X est B (5 ; 0,3).
Haut du document
13
13. Variables aléatoires dénombrables
Les valeurs possibles de la variable aléatoire X sont dénombrables.
1) les valeurs possibles de X sont :
x1, x 2 ,....,x n , x n 1,......
2) les probabilités de chacune de ces valeurs sont pour k  1, 2,..., n, n  1,.....
P( X  x k )
Remarque importante

On a toujours :
P( X  x k )  1
k 1
Explication


N
 P(X  x k )  Lim N   P(X  x k )  1
k 1
k 1
N
P(X  x k ) P(X  x1 )  P(X  x 2 )  ...  P(X  x N ).
k 1

Exemple On sait :
1  q  q 2  .....  q N 1 
1 qN
si q  1.
1 q
1

1 
1 1
1
1
11 1
1
1  1
2N



 .. 
  

 .. 


2 2 2 23
2 N 2  2 2 2 23
2 N 1  2  1  1
2


Donc :
1
1 



 1 1

2N


1 
 2k  lim N   2  22  23  ..  2 N   lim N  1  2 N   1
1
1
1
1
Si les valeurs possibles de X sont x1, x 2 ,....,x n , x n 1,.... on peut avoir :
N
1
P( X  x k ) 
pour k  1, 2,....,n, n  1,...donc :
P(X  x k )  1.
k
2
k 1
Exercice 13
1  2 k
Vérifier que si on suppose que P(Y  y k )     pour k  1, 2, ....on est en
3 3
présence d’une variable aléatoire Y qui admet les valeurs y1, y 2 ,.., y k ,..avec les
probabilités ainsi définies. Haut du document

14
14. Espérance mathématique, variance d’une variable aléatoire
dénombrable.
1) les valeurs possibles de X sont : x1, x 2 ,....,x n , x n 1,......
2) les probabilités de chacune de ces valeurs sont pour k  1, ., n, .. : P(X  x k )

N
3) Si
x k  P(X x k )  Lim N 
x k  P(X x k ) existe
k 1
k 1
cette limite est l' espérance mathématiq ue de X : E(X).

E ( X) 
x k  P(X x k )
k 1
4) Si E(X) existe et si




N
2
( x k  E(X)) P(X x k )  Lim
( x k  E(X)) 2 P(X x k ) existe
N 
k 1
k 1
cette limite est la variance de X : V(X).

V( X) 
( x k  E(X)) 2  P(X x k )
k 1
La variance existe si et seulement si

N
2
x k P(X  x k )  Lim
x k 2P(X  x k ) existe
N
k 1
k 1
Formule de la Variance


2
V(X)  
x k P(X  x k )  [E(X)]2


k 1

Exercice 14 On connaît les formules suivantes (voir approfondissement) :



q
1
1 q
k
k

1
Si q  1 :
q 
;
kq

;
k 2q k 1 
1 q
(1  q) 2 k 1
(1  q)3
k 1
k 1
Soit : 0  p  1, q  1  p. Les valeurs de la variable aléatoire X sont : 1,.., k,.. avec :
P(X  1)  p, P(X  2)  pq, P(X  3)  pq 2 ,.....P(X  k )  pq k 1,....











1
q
P(X  k)  1, E(X)  ,V(X) 
p
p2
k 1
Haut du document
Vérifier que
15
15. Variable aléatoire de POISSON
Soit  un réel positif, une variable aléatoire X est dite de Poisson de paramètre
 lorsque :
1) les valeurs possibles de X sont :
{0, 1, …...n, n+1,……}
(L’ensemble des valeurs de X est l’ensemble N des entiers positifs ou nul).
2) les probabilités de chacune de ces valeurs sont pour k=0, 1, …...n :
k  
P( X  k ) 
e .
k!
Vocabulaire
Lorsqu’une variable aléatoire X est de Poisson de paramètre  on dit que X suit
la loi P (ou que P est la loi de X).
Remarque
On a bien défini une variable aléatoire, à savoir :

P(X  k )  1
k 0
Vérification :

AA

 k
k  



P( X  k ) 
e
e
.
k!
k!
k 0
k 0
k 0
On sait que :
 k
N k
 k






 lim N 
 e donc :e
 1 AA
k!
k!
k!
k 0
k 0
k 0
(Voir approfondissement)
Exercice 15
Y est une variable aléatoire de Poisson de paramètre 2.
1) Quelles sont les valeurs possibles de Y ?
2) Donner l’expression en fonction de k de la probabilité pour que Y soit égale à
k, indiquer les valeurs possibles de k.
3) Calculer la probabilité pour que Y soit au moins égale à 1.Calculer la
probabilité pour que Y soit au plus égale à 3.Calculer la probabilité pour que Y
soit égale à moins de 3. Haut du document







16
16. Espérance mathématique, variance d’une variable aléatoire de
POISSON
Résultats
La variable aléatoire de Poisson X suit la loi P .
1) Espérance mathématique
2) Variance
E ( X)  
V( X)  
3) Ecart type
(X)   .
Remarque importante
Si X suit une loi de Poisson de paramètre  :
  0 et E(X)  V(X)   (X)  E(X)
Lorsque l’espérance mathématique est identique à la variance, on soupçonne
une loi de Poisson dont le paramètre est donné par l’espérance mathématique.
Vocabulaire
Si X suit la loi de Poisson de paramètre  on dit aussi « X est la variable
aléatoire de Poisson d’espérance mathématique  ou de moyenne  .
Exercice 16
1) Y est une variable aléatoire de Poisson d’espérance mathématique 2, donner
la variance et l’écart de Y.
2) Quelle devrait être l’espérance mathématique d’une variable aléatoire Z de
Poisson qui vérifie P( Z  0)  0,2 ?
3) Quelle devrait être la variance d’une variable aléatoire T de Poisson telle que
P(T  1)  0,75 ?
Haut du document
17
17. Espérance mathématique : justification dans le cas de Poisson
Soit  un réel positif, la variable aléatoire X est de Poisson de paramètre  :
1) les valeurs possibles de X sont :
{0, 1, ……n, n+1,……}
(L’ensemble des valeurs de X est l’ensemble N des entiers positifs ou nul).
2) les probabilités de chacune de ces valeurs sont pour k=0, 1, ……n :
k  
P( X  k ) 
e .
k!
E ( X)  
AA Vérification :
Espérance mathématiq ue

 k 1
 k
k  






E(X) 
kP (X  k ) 
k e
e 
.e 
k!
(k  1)!
k!
k 0
k 1
k 1
k 0
puisque k    k 1





On sait que :
 k

 e .
k!
k 0

On obtient après simplification E(X)   AA
Exercice 17


k
Pour k  0,1,.....: v k 
vérifier :
k (k  1) v k 
k (k  1) v k  2e 
k!
k 0
k 2


3
k (k  1)(k  2) v k   .
k (k  1)( k  2)..(k  n ) v k n 1e  si n  3,4,..
k 0
k 0

La loi X est P , vérifier
k (k  1)( k  2)..(k  n )P(X  k ) n 1si: n  1,2,3,4,..
k 0




Haut du document

18
18. La variance : justification dans le cas de Poisson.
V(X)   si la loi de X est P
 

 





2
2
2
V( X)  
k P(X  k )   (E(X))  
k P(X  k )   (E(X)) 2




 k 0

 k 1

AA Vérification


2
 k 2  k P(X  k )  kP (X  k ) puisque k 2  k 2  k  k
k P( X  k ) 


k 0
k 0



k
k
2
2






k P( X  k ) 

ke
 k  k e


k!
k!
k 0
k 0
k 0


 

 

k
k    
k
k 



e 
k (k  1)

k e 
k (k  1)

k 
k!
k! 
k!
k! 


k 0
k 1
 k 0

 k 2

puisque k 2  k  k (k  1)  0 si k  0 ou 1.











Remarque
k (k  1)
1
k
1

, 
k!
(k  2)! k! (k  1)!
Donc

 k 2
 k 1 



 2

2


k P( X  k )  e  

(k  2)!
(k  1)! 

k 0
k 1
 k 2

 k
 k


 
 2


 e 

k!
k! 

k 0 
 k 0

 k

2
2
donc
k P(X  k )     puisque
 e .
k!
k 0
k 0
 



2
V(X)  
k P(X  k )   (E(X))2  2    2   puisque E(X)  . AA


 k 0


Exercice 18 X suit la loi P , vérifier :
k 3P(X  k )  3  32   .
k 1
Haut du document









19
19. Les lois de Poisson et les lois des accidents
On note X le nombre d’accidents qui se produiront demain dans une ville.
Théoriquement les valeurs possibles de X peuvent être tous les entiers naturels
de l’ensemble N : 0,1,2,....,n, n  1,.....
Un modèle adapté à cette situation est donné par la loi de Poisson de
paramètre  où  représente le nombre d’accidents moyen par jour dans cette
ville.
X représente le nombre d’accidents qui se produiront demain dans la ville, on
suppose souvent que X suit la loi de Poisson de paramètre  (le nombre moyen
d’accidents par jour).
Exercice 19
On suppose que le nombre X d’accidents qui peuvent se produire dans un
système donné suit une loi de Poisson dont le paramètre est le nombre moyen
d’accidents.
On note f ()  P(X  2) si X suit la loi P .
1) Etudier la fonction f.
2) Donner une valeur approchée à une décimale du maximum du nombre moyen
d’accidents pour qu’il y ait une probabilité supérieure à 0,90 que le nombre
d’accidents qui se produiront ne dépasse pas 2.
3) Avec la valeur ainsi trouvée, donner la probabilité qu’il se produise au moins
un accident et la probabilité qu’il se produise au moins 2 accidents.
Haut du document
20
20. Variable aléatoire normale (première approche, des explications
suivent).
On donne le réel m et le réel positif (non nul)  ; m peut être nul.
Une variable aléatoire X est dite Normale de paramètres (m,) lorsque les
valeurs possibles de X sont tous les réels et si on a :
 x  m
P( X  x )  
.



On dit que la loi de X est la loi Normale de paramètres (m,).
On dit aussi que la loi de X est la loi Normale de moyenne m et d’écart type .
On dit aussi que X suit la loi Normale de moyenne m et d’écart type , etc...
Signification de la fonction 
Si la variable aléatoire T est normale de paramètre m=0, =1, Y est dite
« Variable aléatoire Y normale centrée réduite » (centrée parce que m=0, réduite
parce que =1). Dans ce cas la probabilité P (Tt) se note (t).
Les valeurs de (t) sont données pour les valeurs positives de t dans la table de
la loi normale centrée réduite dite souvent « Table de Gauss ».
Pour les valeurs de t négatives on utilise la formule :
(t)=1(t).
(Voir le Formulaire de Mathématiques)
Remarque
Si la loi de X suit est Normale alors pour tout réel x : P(X  x)  0.
Il n’est donc pas faux d’affirmer :
P(X  x )  P(X  x ), P(X  x )  P(X  x )
P(a  X  b)  P(a  X  b)  P(a  X  b)  P(a  X  b).
Probabilité d’être situé dans un intervalle
P(a  X  b)  P(X  b)  P(X  a ).
Exercice 20
On sait : (0)  0,5 (1)  0,8413 (Voir le Formulaire de mathématiques).
1) La température T au mois de janvier suit la loi Normale de moyenne 0 et
d’écart type 5. Calculer P(T  5), P(T  0), P(T  5), P(5  T  5) .
2) La taille d’une fourmi est une variable aléatoire F qui suit la loi Normale de
moyenne 1cm et d’écart type 0,1cm. Calculer la probabilité pour que la taille
d’une fourmi choisie au hasard soit dans l’intervalle 0,9; 1,1 .
3) La taille d’un humain (adulte) est une variable aléatoire H qui suit la loi
Normale de moyenne 170cm et d’écart type 10 cm. Calculer la probabilité pour
que la taille d’un tel humain choisi au hasard soit dans l’intervalle 160; 180  .
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