3. Espérance mathématique d`une variable aléatoire finie

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Variables aléatoires
1. Définition élémentaire ....................................................................................... 1
2. Le prix de vente d'un billet de la tombola ......................................................... 2
3. Espérance mathématique d’une variable aléatoire finie ................................... 3
4. La variable aléatoire centrée associée à une variable aléatoire finie ................ 4
5. Variance d’une variable aléatoire finie ............................................................. 5
6. Une utilisation de l’écart type ........................................................................... 6
7. Variables aléatoire finies : exercices. ................................................................ 7
8. Variable aléatoire de Bernoulli ......................................................................... 8
9. Une situation binomiale .................................................................................... 9
10. Situation binomiale (cas général) .................................................................. 10
11. Variables aléatoires binomiales définition. ................................................... 11
12. Espérance mathématique, variance d’une variable aléatoire binomiale. ...... 12
13. Variables aléatoires dénombrables ................................................................ 13
14. Espérance mathématique, variance d’une variable aléatoire dénombrable. . 14
16. Espérance mathématique, variance d’une variable aléatoire de POISSON .. 16
17. Espérance mathématique : justification dans le cas de Poisson .................... 17
18. La variance : justification dans le cas de Poisson. ........................................ 18
19. Les lois de Poisson et les lois des accidents .................................................. 19
20. Variable aléatoire normale (première approche, des explications suivent). . 20
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minutes de travail (exercice compris), sauf les inscriptions comprises entre deux
rectangles rouges ou roses qui nécessitent un supplément de 15 minutes de
travail (roses un peu moins).
Les exercices soulignés sont un plus compliqués que les autres.
Les solutions des exercices seront proposées ultérieurement.
Tout le monde doit pouvoir effectuer les exercices non soulignés et comprendre
ce qui n’est pas borné par des rectangles colorés.

1
1. Définition élémentaire
Une variable aléatoire est un nombre inconnu sur lequel on a deux types
d’informations :
Type I
Toutes les valeurs possibles de ce nombre.
Type II
Les probabilités de chacune de ces valeurs ou, pour n’importe quel intervalle, les
probabilités de les situer dans cet intervalle.
Exemple 1 : tombola
Voici l’inventaire des valeurs possibles des billets d’une tombola :
Valeur du billet en Euro
Nombre de billets correspondant à la
valeur
200
1
50
3
10
15
0
100
X représente la valeur du billet que vous allez acheter.
X est une variable aléatoire, les deux types d’informations qui la concernent
peuvent être résumés dans le tableau suivant qui définit la loi de X:
Valeur possible de X : xi
Probabilité correspondante: P(X= xi)
200
1119
50
3119
10
15119
0
100119
Remarque importante
1)
4
xX(P)
3
xX(P)
2
xX(P)
1
xX(P 
.
.4nici
n
1i 1)
i
xX(P 
Exercice 1 Calculer la probabilité pour que X soit au moins égale à 10.Calculer
la probabilité pour que X soit au plus égale à 50. Calculer la probabilité pour que
X égale à moins de 50.
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2
2. Le prix de vente d'un billet de la tombola
Question
Quel doit être le prix de vente d’un billet pour que la recette permette de payer
les gains sans aucun bénéfice pour les organisateurs de la tombola (tous les
billets sont supposés vendus)?
Réponse
Il faut encaisser, pour rembourser les billets, le capital suivant :
0 Euro100+10 Euro15+50 Euro3+200 Euro1.
Il y 119 billets à vendre : le prix du billet est donc :
(0Euro100+10 Euro15+50 Euro3+200 Euro1)119
Ce qui s’écrit :
Euros
119
1
.200
119
3
.50
119
15
.10
119
100
.0 
On obtient
119
500
.
Remarque
Les valeurs possibles de X sont en Euros
200
4
x,50
3
x,10
2
x,0
1
x: 
avec
les probabilités correspondantes:
.
119
1
)
4
xX(P,
119
3
)
3
xX(P,
119
15
)
2
xX(P,
119
100
)
1
xX(P 
Le prix de vente du billet en Euros est donné par :
4
1i )
i
xX(P
i
x
.
On note
 4
1i )
i
xX(P
i
x)X(E
. E(X) est l'espérance mathématique de la
variable aléatoire représentant la valeur d'un billet de la tombola.
Remarque
On vient de calculer la moyenne de la série statistique qui prend les valeurs (0,
10, 50,200) avec les effectifs respectifs (100, 15, 3,1).
Exercice 2 On décide de supprimer tous les billets valant 0 Euro de la tombola
de l'exemple 1. Calculer le prix de vente du billet pour cette nouvelle situation.
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3. Espérance mathématique d’une variable aléatoire finie
Lorsque l'ensemble des valeurs possibles de la variable aléatoire est un ensemble
fini, la variable aléatoire est dite "finie".
Les valeurs possibles d’une variable aléatoire X sont notées par exemple :
)
i
xX(Pet
n
x,.....
2
x,
1
x
désigne la probabilité pour X d'être égale à
1,2,...n.ipour
i
x
Remarque importante.
On a toujours
ni
1i 1)
i
xX(P:
.
Définition
 n
0i )
i
xX(P
i
x)X(E
Ce nombre s’appelle l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
Le prix du billet d’une tombola est l’espérance mathématique de la variable
aléatoire qui est définie par cette tombola.
Vocabulaire
Espérance mathématique se dit parfois : Moyenne, valeur prévisionnelle, etc.
Exercice 3 Voici une variable aléatoire X (les caractéristiques sont réunies dans
le tableau suivant) :
i
Valeur possible de X : xi
P(X= xi)
1
2
0.10
2
3
0.40
4
6
1) Donner la valeur de
)6X(P 
2) Calculer l’espérance mathématique de X.
3) La variable aléatoire Y prend la valeur
2
)X(E
i
x
lorsque X prend la
valeur
.
i
x
Réunir les caractéristiques de Y dans un tableau et calculer l'espérance
mathématique E(Y) de Y.
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4
4. La variable aléatoire centrée associée à une variable aléatoire
finie
Définition
Si X est une variable aléatoire finie on lui associe alors la variable aléatoire
finie
)X(EXT 
.
On retranche à chaque valeur possible l’espérance mathématique.
T est souvent nommée « variable aléatoire centrée associée à la variable
aléatoire X ».
Description
Soient
n
x,.....,
2
x,
1
x
l’ensemble des valeurs possibles de X.
Les valeurs possibles de T sont
)X(E
n
x),.....,X(E
2
x),X(E
1
x
.
Pour
).
i
xX(P))X(E
i
xT(P:n,....,2,1i 
Propriété
Pour n’importe quelle variable aléatoire finie X
0)T(E, 
si T est la variable
aléatoire centrée associée à X.
Preuve de la propriété
.01)X(E)X(E)T(E
:1
n
1i
)
i
xX(P)X(Eet)X(E)
i
xX(P
n
1i i
x
n
1i
)
i
xX(P)X(E)
i
xX(P
n
1i i
x)T(E
)
i
xX(P
n
1i
))X(E
i
x(
n
1i
))X(E
i
xT(P))X(E
i
x()T(E
Vocabulaire
Une variable aléatoire finie est dite centrée si son espérance mathématique est
nulle.
Exercice 4
Soit Y la variable aléatoire dont les valeurs possibles sont
.
3
x,
2
x,
1
x
On sait que Y est centrée et d’autre part que
2
2
x,1
1
x
avec les probabilités
suivantes
40,0)
2
xX(P,50,0)
1
xX(P 
. Trouver la valeur de
.
3
x
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