Lois de probabilité

Lois de
probabilité
I- Loi discrète équirépartie – dénombrement
1- Loi équirépartie
Définition 1 :
Soit un ensemble fini Ω, muni d’une loi de probabilité P. On dit que la loi P est équirépartie (ou que
l’on fait l’hypothèse d’équiprobabilité) lorsque tous les événements élémentaires de Ω ont la même
probabilité. Cette hypothèse entraîne que, si A est un événement de Ω, on a : P(A) = card A
card Ω
2- Adéquation de données à une loi équirépartie
Propriété 1 :
Soit une épreuve conduisant aux issues a1, a2, … , aq.
Expérimentalement, si on répète n fois cette épreuve (n ≥ 100), on obtient les fréquences f1, f2, … , fq
pour chacune des issues. Pour vérifier l’adéquation de ces données à la loi équirépartie sur {a1, a2, … ,
aq}, on calcule le nombre d2 tel que :
q
1 2
d2 = Σ fi – —
q
i=1
La réalisation d’un grand nombre de simulations de cette épreuve conduit à une série statistique de
neuvième décile D9.
- Si d2 ≤ D9, alors les données sont compatibles avec la loi uniforme au seuil de risque 10%.
- Si d2 > D9, alors les données ne sont pas compatibles avec la loi uniforme au seuil de risque 10%.
3- Dénombrement
Propriété 2 :
Calculer des probabilités revient à dénombrer les éléments d’un ensemble. Pour cela, on peut
construire des arbres ou des tableaux, qui organisent les éléments d’un ensemble pour pouvoir les
compter. On rencontre fréquemment les résultats suivants :
- Le nombre de listes à p éléments choisis avec ordre et répétitions possibles dans un ensemble à n
éléments est np.
- Le nombre de listes à p éléments choisis avec ordre mais sans répétition possible dans un ensemble à
n éléments est : n (n – 1) (n – 2) × … × (n – p + 1)
- Le nombre de manières de permuter n éléments distincts est : n (n – 1) (n – 2) × … × 2 × 1
Ce nombre est noté n! (dit « factorielle n »). C’est le produit des n premiers entiers naturels non nuls.
Remarque :
On convient que 0! = 1 et 1! = 1
4- Combinaisons
Théorème 1 :
Une combinaison de p éléments pris parmi n est un sous-ensemble de p éléments pris simultanément
(sans ordre et sans répétition) dans un ensemble à n éléments.
n
Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n se note
ou nCp. On le lit « p parmi n ».
p
n (n – 1) (n – 2) × … × (n – p + 1)
n!
n
=
=
p
p!
p! (n – p)!
Propriétés :
n
n
0 = 1 et
n =1
n
Si p > n,
=0
p
n
Pour tous entiers n et p, avec 0 ≤ p ≤ n, on a p
n
Pour tous entiers n et p, avec 0 ≤ p ≤ n, on a
p
n
= n–p
n–1
n–1
=
+
p–1
p
Théorème 2 : Formule du binôme
Pour tous nombres x et y, réels ou complexes, et tout entier naturel n, on a :
n
n
n
n
(x + y)n = 0 xn + 1 xn-1y + … + n – 1 xyn-1 + n yn
Remarque :
n
Les nombres p sont souvent appelés « coefficients binomiaux » en raison de leur rôle joué dans cette
formule.
II- Loi de Bernoulli et loi binomiale
1- Variable de Bernoulli
Définition 2 :
Soit Ω un ensemble muni d’une loi de probabilité P.
On dit qu’une variable aléatoire X est une variable de Bernoulli lorsque :
- X ne prend que les valeurs 0 et 1
- Il existe un réel p de [0 ; 1] tel que P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 – p
La loi de la variable aléatoire X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.
Cette loi est utilisée pour modéliser une expérience n’ayant que deux issues possibles, l’une interprétée
comme un succès, l’autre comme un échec. Une telle expérience est appelée épreuve de Bernoulli.
Théorème 3 :
L’espérance de X est : E(X) = p
Sa variance est : V(X) = p(1 – p)
Son écart type est : σ (X) = √ p(1 – p)
2- Variable binomiale
Définition 3 :
Lorsque l’on exécute n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune ayant p comme probabilité de
succès, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès sur l’ensemble des n épreuves est
appelée variable aléatoire binomiale de paramètres (n, p).
Théorème et définition 4 :
Pour tout entier naturel k appartenant à {0, 1, …, n}, la loi X appelée loi binomiale de paramètres (n, p)
est donnée par :
n
P(X = k) =
pk (1 – p)n–k
k
Théorème 5 :
L’espérance de X est : E(X) = np
Sa variance est : V(X) = np(1 – p)
Son écart type est : σ (X) = √ np(1 – p)
Remarque :
Une variable de Bernoulli est une variable aléatoire de paramètres (1, p)
III- Lois continues à densité
1- Généralités
Définition 5 :
Soit I un intervalle de IR.
On appelle densité de probabilité sur I toute fonction ƒ définie sur I vérifiant les trois conditions
suivantes :
- ƒ est continue sur I
- ƒ est positive sur I
- ∫I ƒ(x)dx = 1 (l’aire située sous sa courbe C est égale à 1 unité d’aire)
Définition 6 :
On définit la loi de probabilité P de densité ƒ sur l’intervalle I en associant à tout intervalle [α ; β]
β
inclus dans I le réel
P([α ; β]) = ∫ƒ(x)dx
α
On dit que P est une loi de probabilité à densité sur I ou une loi continue sur I.
P([α ; β]) se lit « probabilité de l’intervalle [α ; β] »
2- Deux exemples de lois continues
a- Loi uniforme
Définition 7 :
On appelle loi uniforme sur l’intervalle I = [a ; b] la loi de probabilité continue sur I dont la densité ƒ
1
est la fonction constante égale à
b–a
Pour cette loi, la probabilité d’un intervalle [α ; β] inclus dans I = [a ; b] est égale à :
β
1
β–α
P([α ; β]) = ∫
dx =
α b–a
b–a
b- Loi exponentielle
Définition 8 :
On appelle loi exponentielle de paramètre λ la loi continue admettant pour densité la fonction ƒ définie
sur IR par ƒ(x) = λe-λx où λ est un réel positif fixé.
Pour cette loi, la probabilité d’un intervalle [α ; β] inclus dans IR+ est égale à :
β
β
-λx
P([α ; β]) = ∫λe
dx = [-e-λx]α
α