Chapitre 13 : Lois de probabilité

Dém : ROC :
Chapitre 13 : Lois de probabilité
 Démonstration par raisonnement sur le nombre de parties faite en classe…
 Démonstration directe :
1- Eléments de combinatoire :
1.1- Combinaisons :
Déf :
est un ensemble de
éléments et
un entier tel que
. Une
(
)
(
combinaison de éléments est une partie (un sous-ensemble) de qui contient
éléments.
Notation : Le nombre de parties (ie de combinaisons) de éléments d’un ensemble à
éléments est noté ( ) et se lit «
parmi
». On le note aussi parfois
Pour tout entier
et tout entier
éléments parmi éléments est :
tel que
.
(
) (
)
(
)
(
(
)
) (
(
(
)
)
(
, le nombre de parties de
(
( )
(
)
(
(
( )
)
)
(
(
)
)
)
)
)
) (
) (
(
(
) (
(
(
)
)
)
(
) (
(
)
) (
(
)
)
)
( )
)
1.2- Triangle de Pascal :
La propriété précédente permet de calculer ( ) :
NB : Les calculatrices disposent de fonctions permettant de calculer ( ) par ex (
 Casio : 10 (OPTN) F6
F3 (PROB) F3 (nCr) 4 EXE
 TI : 10 (MATH) (Probabilité) (nbrComb) nbrComb (10,4)
Par exemple, il y a
):
ENTER
parties à 5 éléments dans un ensemble de 32 éléments (
Propriétés :
 Pour tous entiers naturels
et
tels que
(
 Pour tous entiers naturels
(
et
)
, on a :
( )
tels que
)
TS 2012| Chapitre 13 : Lois de probabilité
(
, on a :
)
( )
p
. n
)
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
7
1
7
21
35
35
21
7
1
8
1
8
28
56
70
56
28
8
(
)+ (
8
)
( )
( )
1
Son espérance est ( )
1.3- Formule du binôme :
Formule du binôme (dite de Newton) :
Pour tout entier naturel
(
et tous complexes a, b on a :
)
∑( )
(
)
( ( ))
2.1- Loi de Bernoulli :
 Si, lors d’une expérience aléatoire, on ne s’intéresse qu’à la réalisation d’un certain
événement, on dit cette expérience est une épreuve de Bernoulli.
Ex : On lance un dé et on s’intéresse à la sortie du 6. On considère que l’épreuve de
Bernoulli a deux issues possibles généralement notées (succès) et ̅. La probabilité de
est notée et celle de ̅ est notée
.
Modèles : Lancers successifs d’une pièce ou d’un dé, tirages successifs dans une urne, avec
remise, lancer simultané de pièces.
 Une expérience de Bernoulli d’ordre
indépendante, de épreuves de Bernoulli.
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.
est alors donnée pour tout entier
)
par
( )
(
)
 On dit que la loi de probabilité d’une variable aléatoire est une loi binomiale de
paramètres et lorsque :
prend les valeurs
.
-
Pour tout entier
 Son espérance est : ( )
,
(
)
( )
et sa variance ( )
(
)
.
Modèles : On rencontre cette fois chaque fois qu’il s’agit de déterminer la probabilité
de réaliser
fois un événement dans une répétition de
épreuves aléatoires
identiques et indépendantes, caractérisées chacune par deux issues de probabilités
et telles que
.
est la répétition de façon identique et
 Dans une épreuve de Bernoulli, notons la variable aléatoire définie par ( )
et ( ̅)
. La loi de est alors appelée loi de Bernoulli :
)
)
 Lors de la répétition de épreuves de Bernoulli (avec ( )
et ( ̅)
) on note la variable aléatoire qui donne le nombre de succès au terme
des épreuves. prend les valeurs
.
(
2- Exemples de lois discrètes :
(
2.2- Loi binomiale :
La loi de
Dém : par récurrence
(
Sa variance est ( )
.
3- Exemple de loi continue : loi uniforme sur [0 ; 1] :
3.1- Loi à densité :
Dans les exemples étudiés jusqu’ici, la variable aléatoire prend un nombre fini de
valeurs
. On dit alors que est discrète.
Il existe cependant des variables aléatoires non discrètes qui prennent toutes les
valeurs d’un intervalle de , borné ou non.
Ex : On tire sur une cible de m de rayon, sans jamais la manquer. La variable aléatoire
qui donne la distance du point d’impact au centre prend toutes les valeurs de
l’intervalle [0 ; 1]. Autres ex : durée de vie d’un appareil, temps d’attente au guichet…
 Une variable aléatoire est continue s’il existe une fonction définie, continue
sur , positive, telle que quel que soit l’intervalle de , (
) soit égale à
∫
( )
. La fonction
est appelée densité de probabilité de la variable
aléatoire .
 En conséquence :
(
(
)
(
)
∫
∫
( )
)
( )
(
)
3.2- Loi uniforme :
 Une variable aléatoire
lorsque sa densité
et ( )
suit une loi uniforme sur l’intervalle
est la fonction définie sur
pour tout
hors de
.
 On a bien ∫
 Pour tout intervalle
(
)
( )
contenu dans
∫
( )
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par ( )
∫
.
on a :
(
pour
)