Chapitre 13 : Lois de probabilité

TS 2012| Chapitre 13 : Lois de probabilité
Chapitre 13 : Lois de probabilité
1- Eléments de combinatoire :
1.1- Combinaisons :
Déf :  est un ensemble de  éléments et  un entier tel que     . Une
combinaison de  éléments est une partie (un sous-ensemble) de  qui contient 
éléments.
Notation : Le nombre de parties (ie de combinaisons) de  éléments d’un ensemble à 
éléments est noté 
 et se lit «  parmi  ». On le note aussi parfois 
.
Pour tout entier    et tout entier tel que     , le nombre de parties de 
éléments parmi  éléments est :
NB : Les calculatrices disposent de fonctions permettant de calculer 
 par ex 
 :
 Casio : 10 (OPTN) F6 F3 (PROB) F3 (nCr) 4 EXE
 TI : 10 (MATH) (Probabilité) (nbrComb) nbrComb (10,4) ENTER
Par exemple, il y a  parties à 5 éléments dans un ensemble de 32 éléments 
Propriétés :
 Pour tous entiers naturels  et  tels que     , on a :
 Pour tous entiers naturels  et  tels que     , on a :
Dém : ROC :
 Démonstration par raisonnement sur le nombre de parties faite en classe…
 Démonstration directe :
1.2- Triangle de Pascal :
La propriété précédente permet de calculer 
 :
p
. n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
1
1
1
 + 
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
7
1
7
21
35
35
21
7
1
8
1
8
28
56
70
56
28
8
1

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1.3- Formule du binôme :
Formule du binôme (dite de Newton) :
Pour tout entier naturel  et tous complexes a, b on a :
Dém : par récurrence
2- Exemples de lois discrètes :
2.1- Loi de Bernoulli :
 Si, lors d’une expérience aléatoire, on ne s’intéresse qu’à la réalisation d’un certain
événement, on dit cette expérience est une épreuve de Bernoulli.
Ex : On lance un dé et on s’intéresse à la sortie du 6. On considère que l’épreuve de
Bernoulli a deux issues possibles généralement notées  (succès) et . La probabilité de 
est notée  et celle de  est notée   .
Modèles : Lancers successifs d’une pièce ou d’un dé, tirages successifs dans une urne, avec
remise, lancer simultané de  pièces.
 Une expérience de Bernoulli d’ordre est la répétition de façon identique et
indépendante, de  épreuves de Bernoulli.
 Dans une épreuve de Bernoulli, notons  la variable aléatoire définie par  
et  . La loi de  est alors appelée loi de Bernoulli :
Son espérance est    .
Sa variance est    .
2.2- Loi binomiale :
 Lors de la répétition de  épreuves de Bernoulli (avec   et  
  ) on note  la variable aléatoire qui donne le nombre de succès  au terme
des  épreuves.  prend les valeurs .
La loi de  est alors donnée pour tout entier    par
 On dit que la loi de probabilité d’une variable aléatoire est une loi binomiale de
paramètres  et  lorsque :
-  prend les valeurs .
- Pour tout entier   ,    
 Son espérance est :  et sa variance  .
Modèles : On rencontre cette fois chaque fois qu’il s’agit de déterminer la probabilité
de réaliser  fois un événement  dans une répétition de  épreuves aléatoires
identiques et indépendantes, caractérisées chacune par deux issues de probabilités 
et  telles que   .
3- Exemple de loi continue : loi uniforme sur [0 ; 1] :
3.1- Loi à densité :
Dans les exemples étudiés jusqu’ici, la variable aléatoire prend un nombre fini de
valeurs . On dit alors que  est discrète.
Il existe cependant des variables aléatoires non discrètes qui prennent toutes les
valeurs d’un intervalle de , borné ou non.

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Ex : On tire sur une cible de m de rayon, sans jamais la manquer. La variable aléatoire
qui donne la distance du point d’impact au centre prend toutes les valeurs de
l’intervalle [0 ; 1]. Autres ex : durée de vie d’un appareil, temps d’attente au guichet…
 Une variable aléatoire  est continue s’il existe une fonction  définie, continue
sur , positive, telle que quel que soit l’intervalle  de ,    soit égale à
. La fonction  est appelée densité de probabilité de la variable
aléatoire .
 En conséquence :
3.2- Loi uniforme :
 Une variable aléatoire  suit une loi uniforme sur l’intervalle    
lorsque sa densité  est la fonction définie sur  par 
 pour     
et   pour tout  hors de .
 On a bien 
.
 Pour tout intervalle    contenu dans  on a :