II. Repérage d`un orbite

ING 2 – Conception des systèmes Spatiaux – Guillaume Dérien – 2006
Conception Générale des Systèmes Spatiaux
I. QUELQUES RAPPELS
II. REPERAGE D’UN ORBITE
On utilise pour cela 3 angles.
i = inclinaison
Ω = longitude (ascension droite du nœud ascendant)
ω = Argument du périgée.
L’inclinaison est mesurée positivement dans le centre trigonométrique.
Donc : O°< i < 180°
On note :
 Orbite polaire si i = 90°
 Orbite rétrograde si 90° < i < 180°
 Orbite équatoriale si i = 180° ou i = 0°
Plan équatorial
i
Ω
A
P
Centre de l’astre céleste
considéré
O
C
Demi grand axe (a)
Grand axe (2a)
||oc|| = c = a . e
Apogée
Périgée

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O
N
: nœud descendant
Ω : nœud ascendant
Plan orbital
Droite d’intersection du plan orbital
avec le plan équatorial
Droite en question = Ligne des noeuds
Plan équatorial
Ω
γ 2000
Ω
Longitude du nœud
ascendant

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En synthèse, pour repérer un satellite dans l’espace intersidéral, on a besoin de :
 a = ½ grand axe de la conique.
 e = excentricité de la conique.
 i = inclinaison du plan de la trajectoire
 Ω = longitude de l’ascension droite du nœud ascendant.
 ω = argument du périgée.
 la date de passage en un point de la trajectoire.
 v = anomalie vraie
 E = anomalie excentrique
 M = anomalie moyenne
III. LE MOUVEMENT KEPLERIEN D’UN MOBILE AU VOISINAGE D’UN
CORPS CELESTE
A. Enoncé des lois de Kepler
1ère loi : La trajectoire est une conique dont un des foyers est occupé par le centre du corps céleste.
2ème loi : L’aire balayé, par unité de temps, par le rayon vecteur joignant le centre du corps céleste au
mobile est constante.
3ème loi : Dans le cas d’un orbite elliptique, le carré de la période (= temps mis par le satellite pour
décrire une orbite) varie proportionnellement au cube du ½ grand axe.
Plan de l’écliptique
ETE
Printemps
Hiver
Orbite Terre / Soleil
A l’infini : Point Vernal noté γ2000

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B. Equations fondamentales du mouvement
3.GM mr
Fr
avec G : constante
Gravitationnelle
GM
4.1
3
r
Fm
r
4.2
F m accélération
3
r
r
Ur
4.3
V
: vitesse du satellite
r V c
Vecteur constant 4.4
Equations du mouvement :
2
²²²
11
². 0
d r d U
r
dt dt r r
d d U
r
r dt dt r r
4.5
².d r C cst
dt
4.6
Conservation du moment cinétique :
. .cosC C r v rV
4.7 ! A savoir !
2ème loi de Képler :
2dA Cdt
4.8
Energie totale
Energie cinétique par unité de temps Energie potentielle
²
2
Vcste W
r
4.9
Equation de la trajectoire :
²²² dx x
dC
4.10
La solution générale s’écrit :
0
cos ² xA C
4.11
avec
1
xr
0
1 cos( )
²
p
re
C
p
e Ap
4.12
p = paramètre de la conique
e = excentricité de la conique
θ0 = Argument du périastre
1 cos
p
rev
4.13 : Pour toutes les trajectoires
sauf balistiques
1 cos
p
re
4.14 : Pour les trajectoires
Balistiques
Nature de la conique
Vp = vitesse au périgée
1
C
Vp rp
p
rp e
(au périgée)
Donc :
(1 )e
Vp C
4.15
Donc on obtient :
2²
²1 ²
C
eW
4.16
A l’injection :
²
2
I
V
WrI
Une ellipse pour e < 1 quand W<0
2
I
VrI
4.17
Une parabole pour e = 1 quand W=0
Une hyperbole pour e > 1 quand W>0
Vitesse de libération :
2
L
VrI
4.17
Dans le cas d’une orbite circulaire :
S
F
O

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2
²
² sin² 1 cos
II
II
rV
e
4.18
Excentricité circulaire  e=0
Formules particulières aux trajectoires elliptiques
1²
1 cos
ae
rev
4.20
4.21
4.22
4.
1²
1²
3
²²
1²2
p
ae
ep
ce
b a c
p
be
Relations remarquables
Au périgée et à l’apogée, la pente de la vitesse est
nulle
4.24
a a p p
c rV r V  
On a donc :
2
apa
p
r
Vp r r a
Va r
4.25
ap
ap
rr
err
Au périgée : v = anomalie vrai = 0
1² 1
1
pae
r a e
e
A l’apogée : v = π
1 ² 1 ² 1
1 cos 1
aa e a e
r a e
ee
1
1
a
p
r a e
r a e
4.26
p
(1 ²) d'où e²-1=- a
² ² 2 ²
4.2
on a alors - ²
2
La formule 4.9 devient :
V²
W= 22 7
p a e
c c c
pW
aa
Wa
ra
1 cosr a e E
4.28
cos
cos 1 cos
ve
Eev
4.29
sin
sin 1 ² 1 cos
v
Ee
ev
4.30
cos
cos 1 cos
Ee
veE
4.31
1 ² sin
sin 1 cos
eE
veE
4.32
3
2a T
4.34
Formules diverses :
² 1 sin
sin 1 cos
1²
1 cos
e EdE
vdv eE
e
dv dE
eE
² 1 ² sin
2
1²
()
2p
ae
A E e E
ae
A t t
A O’ C O H P
r’
S’
A
A O’ C O H P
r’
r
S
S’
Angle v ou
anomalie vraie
Cercle principal
Angle E ou anomalie
excentrique