33 Cours - Variables aléatoires

33 Cours - Variables aléatoires - Extraits et Exercices de cours.nb
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Variables aléatoires . Extraits et Exercices de cours.
II) 8) Exercices
a) On note X l’entier choisit au hasard par un ordinateur dans l’intervalle [1, 100]. Calculer P(17 < X < 25)
b) On tire 20 fois de suite une carte dans un jeu de 32 cartes et on note X le nombre total de trèfles tirés. Calculer P(X=5).
c) On choisit un entier au hasard entre 1 et 9 et on note X l’entier choisi. On construit le rectangle de côtés X et 10 - X, on note Y
sa surface. Calculer les lois PX et PY .
d) Dans une classe il y a a 10 garçons et 20 filles. On choisit au hasard un groupe de 5 élèves et on note X le nombre de filles
dans le groupe. Calculer la loi de X.
e) Un joueur ayant un capital de 30 euros lance trois fois de suite deux dés cubiques. A chaque lancer, il gagne 10 euros si la
somme des deux dés est impaire et il perd 10 euros si la somme des deux dés est paire. On note X la somme d’argent restant
après les trois lancers. Calculer PX .
f) Un sac contient 5 jetons numérotés de 1 à 5. On tire simultanément trois jetons et on note X le nombre de jetons impairs.
Déterminer PX .
g) On permute au hasard les lettres du mot mississipi et on note S le nombre de s consécutifs au début du mot obtenu. Déterminer
PS .
h) On tire simultanément 5 boules dans une urne contenant 10 boules numérotées de 1 à 10. On note X le plus grand numéro
parmi les boules tirées. Calculer PX .
i) On lance n fois de suite une pièce équilibrée. On dit qu’il y a un changement dans un lancer si le résultat (PILE ou FACE) est
différent de celui du lancer précédent. On note X le nombre de changements. Déterminer la loi de X.
III) Couples de variables aléatoires
1) Définition
On appelle couple des VAR X et Y , et on note HX, YL l’application Z = HX, YL définie par: Z :
W ö 2
wöHX HwL, Y HwLL
2) Système complet d’événements associé à un couple de variables aléatoires
Soit Z = HX, YL un couple de VAR sur HW, PL telles que X HWL = 8x1 , ..., xn < et Y HWL = 9y1 , ... yp =. Alors:
(1) La famille des nä p événements IHX = xi L › IY = yj MMHi, jLœ81,..,n<ä81,..,p< est un SCE de W associé à Z.
(2) En particulier
S
Hi, jLœ81,..,n<ä81,..,p<
P IHX = xi L › IY = yj MM = 1
3) Loi conjointe d’un couple de variables aléatoires
La loi conjointe des VAR X et Y ou encore la loi du couple Z = HX, YL l’application PZ :
X HWLäY HWL ö Hx,yL öP HHX = xL › HY=yLL
Avec X HWL = 8x1 , ..., xn < et Y HWL = 9y1 , ... yp =, on représente la loi conjointe de X et Y par le tableau de terme général
pi,j = P IHX = xi L › IY = yj MM:
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X\Y
y1
y2
∫
yp
x1
p1,1
p1,2
∫
p1,p
x2
p2,1
p2,2
∫
p2,p
ª
xn
ª
ª
pn,1
pn,2
ª
∫
pn,p
Une urne contient 3 boules indiscernables numérotées de 1 à 3. On tire successivement deux boules avec remise et on note X1 et
X2 les numéros obtenus. On pose enfin X = X1 et Y = min HX1 , X2 L. Déterminer la loi conjointe des lois X et Y .
4) Lois marginales d’un couple de variables aléatoires
Les lois marginales du couple de VAR Z = HX, YL sont les lois de X et de Y .
Soit Z = HX, YL un couple de VAR sur HW, PL.
On note X HWL = 8x1 , ..., xn < et Y HWL = 9y1 , ... yp = , pi,j = P IHX = xi L › IY = yj MM
Alors les lois marginales sont données par:
p
(1) " i œ 81, ..., n<, PHX = xi L = S pi,j (somme de la ième ligne du tableau)
j=1
n
(2) " j œ 81, ..., p<, PIY = yj M = S pi,j (somme de la jème colonne du tableau)
i=1
Et donc: la loi du couple de VAR Z = HX, YL permet de calculer les lois des VAR X et Y , mais les lois des VAR X et Y ne
permettent pas de calculer la loi du couple Z = HX, YL
D’où l’appellation lois marginales car on retrouve ces lois dans les “marges” du tableau.
p
p
Comme IY = yj Mjbp est un SCE, alors PHX = xi L = S PIHX = xi L › IY = yj MM d’où pi • = S pi,j et idem pour l’autre.
j=1
X\Y
1
1
Avec l’exemple du 3)
2
3
Loi de Y
Loi de X :
xi
1
2
3
pi•
1
3
1
3
1
3
3
9
1
9
1
9
5
9
j=1
2
3
0
0
2
9
1
9
3
9
Loi de X
3
9
3
9
3
9
0
1
9
1
9
et loi de Y :
, donc les lois marginales de X et Y sont:
yj
1
2
3
p• j
5
9
3
9
1
9
5) Exercice
Une urne contient n boules indiscernables numérotées de 1 à n. On tire deux boules et on note X et Y le plus petit et le plus
grand numéro des deux boules. Déterminer la loi du couple (X, Y):
a) Lorsque les tirages se font avec remise.
b) Lorsque les tirages se font sans remise.
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6) Lois conditionnelles
Soient X et Y deux VAR sur HW, PL. On note X HWL = 8x1 , ..., xn < et Y HWL = 9y1 , ... yp = . Alors:
Soit j œ 81, ..., p< tel que P IY = yj M > 0. La loi conditionnelle sachant Y = yj de X est l’application
X HWL ö A:
xi öPY=y HX=xi L =
j
P IHX =xi L › IY=yj MM
P IY=yj M
On définit de même la loi conditionnelle de Y sachant X = xi lorsque P HX = xi L > 0 .
Avec l’exemple du 3), la loi de X sachant Y=1 est :
xi
1
2
3
PY=1 IX = xi M
3
5
1
5
1
5
IV) Variables aléatoires indépendantes
5) Exercices
a) Montrer que: si X ~ B Hn, pL et Y ~ B Hm, pL sont des VAR indépendantes, alors X + Y ~ B Hn + m, pL
b) On lance 4 fois une pièce équilibrée et on note X et Y le nombre total de PILE et de FACE obtenus. Les VAR X et Y sontelles indépendantes ?
c) Soient X et Y deux VAR indépendantes suivant la même loi de Bernouilli B(p).
a) Déterminer la loi du couple (S, D) = (X + Y, X - Y)
b) Les variables S et D sont-elles indépendantes ?
d) Soient X et Y deux VAR indépendantes suivant la loi binomiale BHn, 1 ê 2L. Calculer PHX + Y = nL.
V) Espérance d’une variable aléatoire
5) Exercices
a) Soit X une VAR telle que X ~ B Hn, pL. calculer E J
1
N et E IX 2 M.
X+1
b) Inégalité de Markov: Soit X une VAR positive. Démontrer que " l > 0, PH X r lL b
1
E HXL. (Majorer l P H X r lL).
l
VI) Variance et écart type d’une variable aléatoire
6) Exercices
a) On dispose d’un dé cubique truqué dont la probabilité d’apparition d’un chiffre est proportionnel à ce chiffre.
a) Calculer l’espérance et la variance de X .
b) Comparer P H X - E HXL
r 2L et
1
V HXL. L’inégalité de Bienaymé - Chebychev est-elle performante dans cet exemple ?
4
b) On réalise 100 fois la même expérience dont la probabilité de succès est p = 0.6, et on suppose que les expériences sont
indépendantes. On note X le nombre total de succès. Minorer P(50 < X < 70).