33 Cours - Variables aléatoires

Variables aléatoires . Extraits et Exercices de cours.
II) 8) Exercices
a) On note X l’entier choisit au hasard par un ordinateur dans l’intervalle [1, 100]. Calculer P(17 < X < 25)
b) On tire 20 fois de suite une carte dans un jeu de 32 cartes et on note X le nombre total de trèfles tirés. Calculer P(X=5).
c) On choisit un entier au hasard entre 1 et 9 et on note X l’entier choisi. On construit le rectangle de côtés X et 10 - X, on note Y
sa surface. Calculer les lois P
X
et P
Y
.
d) Dans une classe il y a a 10 garçons et 20 filles. On choisit au hasard un groupe de 5 élèves et on note X le nombre de filles
dans le groupe. Calculer la loi de X.
e) Un joueur ayant un capital de 30 euros lance trois fois de suite deux dés cubiques. A chaque lancer, il gagne 10 euros si la
somme des deux dés est impaire et il perd 10 euros si la somme des deux dés est paire. On note X la somme d’argent restant
après les trois lancers. Calculer P
X
.
f) Un sac contient 5 jetons numérotés de 1 à 5. On tire simultanément trois jetons et on note X le nombre de jetons impairs.
Déterminer P
X
.
g) On permute au hasard les lettres du mot mississipi et on note S le nombre de s consécutifs au début du mot obtenu. Déterminer
P
S
.
h) On tire simultanément 5 boules dans une urne contenant 10 boules numérotées de 1 à 10. On note X le plus grand numéro
parmi les boules tirées. Calculer P
X
.
i) On lance n fois de suite une pièce équilibrée. On dit qu’il y a un changement dans un lancer si le résultat (PILE ou FACE) est
différent de celui du lancer précédent. On note X le nombre de changements. Déterminer la loi de X.
III) Couples de variables aléatoires
1) Définition
On appelle couple des VAR X et Y, et on note
H
X,Y
L
l’application Z=
H
X,Y
L
définie par: Z:W ö 
2
wö
H
X
H
w
L
,
Y
H
w
L
L
2) Système complet d’événements associé à un couple de variables aléatoires
Soit Z=
H
X,Y
L
un couple de VAR sur
H
W,P
L
telles que X
H
W
L
=
8
x
1
, ..., x
n
<
et Y
H
W
L
=
9
y
1
, ... y
p
=
. Alors:
(1) La famille des näp événements
I
H
X=x
i
L
›
I
Y=y
j
M
M
H
i
,
j
L
œ
8
1
,
..
,
n
<
ä
8
1
,
..
,
p
<
est un SCE de W associé à
Z
.
(2) En particulier S
H
i,j
L
œ
8
1,..,n
<
ä
8
1,..,p
<
P
I
H
X=x
i
L
›
I
Y=y
j
M
M
=1
3) Loi conjointe d’un couple de variables aléatoires
La loi conjointe des VAR X et Y ou encore la loi du couple Z=
H
X,Y
L
l’application P
Z
:X
H
W
L
äY
H
W
L
ö
H
x,y
L
öP
H
H
X=x
L
›
H
Y=y
L
L
Avec X
H
W
L
=
8
x
1
, ..., x
n
<
et Y
H
W
L
=
9
y
1
, ... y
p
=
, on représente la loi conjointe de X et Y par le tableau de terme général
p
i
,
j
=P
I
H
X=x
i
L
›
I
Y=y
j
M
M
:
33 Cours - Variables aléatoires - Extraits et Exercices de cours.nb 1/3

X \ Y y
1
y
2
∫y
p
x
1
p
1,1
p
1,2
∫p
1,p
x
2
p
2,1
p
2,2
∫p
2,p
ª ª ª ª
x
n
p
n,1
p
n,2
∫p
n,p
Une urne contient 3 boules indiscernables numérotées de 1 à 3. On tire successivement deux boules avec remise et on note X
1
et
X
2
les numéros obtenus. On pose enfin X=X
1
et Y=min
H
X
1
,X
2
L
. Déterminer la loi conjointe des lois X et Y.
4) Lois marginales d’un couple de variables aléatoires
Les lois marginales du couple de VAR Z=
H
X,Y
L
sont les lois de X et de Y .
Soit Z=
H
X,Y
L
un couple de VAR sur
H
W,P
L
.
On note X
H
W
L
=
8
x
1
, ..., x
n
<
et Y
H
W
L
=
9
y
1
, ... y
p
=
,
p
i
,
j
=P
I
H
X=x
i
L
›
I
Y=y
j
M
M
Alors les lois marginales sont données par:
(1) "iœ
8
1, ..., n
<
,P
H
X=x
i
L
= S
j=
1
p
p
i,j
(somme de la i
ème
ligne du tableau)
(2) "jœ
8
1, ..., p
<
,P
I
Y=y
j
M
= S
i
=
1
n
p
i,j
(somme de la
j
ème
colonne du tableau)
Et donc: la loi du couple de VAR Z=
H
X,Y
L
permet de calculer les lois des VAR X et Y, mais les lois des VAR X et Y ne
permettent pas de calculer la loi du couple Z=
H
X,Y
L
D’où l’appellation lois marginales car on retrouve ces lois dans les “marges” du tableau.
Comme
I
Y=yj
M
jbp est un SCE, alors P
H
X=xi
L
= S
j=1
p
P
I
H
X=xi
L
›
I
Y=yj
M
M
d’où
p
i•= S
j=1
p
pi,j et idem pour l’autre.
Avec l’exemple du 3)
X \ Y 1 2 3 Loi de X
1
3
9
0 0
3
9
2
1
9
2
9
0
3
9
3
1
9
1
9
1
9
3
9
Loi de Y
5
9
3
9
1
9
, donc les lois marginales de X et Y sont:
Loi de X :
x
i
123
p
i •
1
3
1
3
1
3
et loi de Y :
y
j
123
p
• j
5
9
3
9
1
9
5) Exercice
Une urne contient
n
boules indiscernables numérotées de 1 à
n
. On tire deux boules et on note X et Y le plus petit et le plus
grand numéro des deux boules. Déterminer la loi du couple (X, Y):
a) Lorsque les tirages se font avec remise.
b) Lorsque les tirages se font sans remise.
33 Cours - Variables aléatoires - Extraits et Exercices de cours.nb 2/3

6) Lois conditionnelles
Soient X et Y deux VAR sur
H
W,P
L
. On note X
H
W
L
=
8
x
1
, ..., x
n
<
et Y
H
W
L
=
9
y
1
, ... y
p
=
. Alors:
Soit jœ
8
1, ..., p
<
tel que P
I
Y=y
j
M
>0. La loi conditionnelle sachant Y=y
j
de X est l’application
A:X
H
W
L
ö
x
i
öP
Y=yj
H
X=x
i
L
=
P
I
H
X=xi
L
›
I
Y=yj
M
M
P
I
Y=yj
M
On définit de même la loi conditionnelle de Y sachant X=x
i
lorsque P
H
X=x
i
L
>0 .
Avec l’exemple du 3), la loi de X sachant Y=1 est :
x
i
1 2 3
P
Y=1
I
X=x
i
M
3
5
1
5
1
5
IV) Variables aléatoires indépendantes
5) Exercices
a) Montrer que: si X~B
H
n,p
L
et Y~B
H
m,p
L
sont des VAR indépendantes, alors X+Y~B
H
n+m,p
L
b) On lance 4 fois une pièce équilibrée et on note X et Y le nombre total de PILE et de FACE obtenus. Les VAR X et Y sont-
elles indépendantes ?
c) Soient X et Y deux VAR indépendantes suivant la même loi de Bernouilli B(p).
a) Déterminer la loi du couple (S, D) = (X + Y, X - Y)
b) Les variables S et D sont-elles indépendantes ?
d) Soient X et Y deux VAR indépendantes suivant la loi binomiale B
H
n, 1
ê
2
L
. Calculer P
H
X+Y=n
L
.
V) Espérance d’une variable aléatoire
5) Exercices
a) Soit X une VAR telle que X~B
H
n,p
L
. calculer E
J
1
X
+
1
N
et E
I
X
2
M
.
b) Inégalité de Markov: Soit X une VAR positive. Démontrer que " l > 0, P
H
Xrl
L
b
1
l
E
H
X
L
. (Majorer lP
H
Xrl
L
).
VI) Variance et écart type d’une variable aléatoire
6) Exercices
a) On dispose d’un dé cubique truqué dont la probabilité d’apparition d’un chiffre est proportionnel à ce chiffre.
a) Calculer l’espérance et la variance de X.
b) Comparer P
H
X-E
H
X
L
r2
L
et
1
4
V
H
X
L
. L’inégalité de Bienaymé - Chebychev est-elle performante dans cet exemple ?
b) On réalise 100 fois la même expérience dont la probabilité de succès est p = 0.6, et on suppose que les expériences sont
indépendantes. On note X le nombre total de succès. Minorer P(50 < X < 70).
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