Résumé : Variables aléatoires / Lois classiques

Mathématiques
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Résumé : Variables aléatoires / Lois classiques
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Variables aléatoires
Variable aléatoire Fonction de Ω dans R.
Loi de probabilité d’une variable aléatoire X sur un univers Ω :
x
Fonction de R dans [0; 1], f (x) = P(X = x) :
P(X = x)
x1
x2
...
xn
p1
p2
...
pn
Fonction de répartition de X : Fonction de R dans [0; 1] définie par F (x) = P(X ≤ x).
Espérance d’une variable aléatoire X : E[X] =
Variance de X : Var(X) = E[(X − E[X])2 ] =
Écart-type de X : σ(X) =
N
P
(xi × P(X = xi )).
i=1
N
P
(xi − E[X])2 × P(X = xi )).
i=1
Var(X).
p
Variable centrée L’espérance est nulle; centrée de X : Y = X − E[X].
Variable réduite L’écart-type vaut 1; réduite de X : Y = X/σ(X).
Variable standardisée La variable est centrée et réduite.
Centrée-réduite de X : Y =
2
X − E[X]
.
σ(X)
Propriétés
• Loi de probabilité et fonction de répartition prennent des valeurs dans [0; 1].
• La somme des cases basses du tableau d’une loi de probabilité vaut 1.
• L’espérance est la moyenne des valeurs (pondérées par les probabilité).
• Théorème de transfert : X une v.a. et φ : R → R et Y = φ(X), alors :
E[Y ] = E[φ(X)] =
X
(φ(xi ) × P(X = xi )).
i
• Linéarité de l’espérance : E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ].
• Croissance de l’espérance : X ≤ Y =⇒ E[X] ≤ E[Y ].
• Espérance et valeur absolue : E[X] ≤ E[|X|].
• La variance est la moyenne des écarts à la moyenne.
• Théorème de König : Var(X) = E[X 2 ] − E[X]2 .
• Variance d’une constante : Var(X) = 0 ⇐⇒ X est une constante.
• Pseudo-linéarité de la variance : Var(aX + b) = a2 Var(X).
• Linéarité de la variance : si X et Y sont indépendants alors Var(X +Y ) = Var(X)+Var(Y ).
Lois discrètes usuelles
Loi de probabilité
Paramètres
Notation
Valeurs
Uniforme
-
U{1,...,n}
{1, . . . , n}
Bernouilli
p ∈]0; 1[
B(p)
{0, 1}
Conditions Proba
P(X = k) =
1
n
P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 − p
Espérance
E[X] =
n+1
2
Variance
Var(X) =
n2 − 1
12
E[X] = p
Var(X) = p(1 − p)
E[X] = np
Var(X) = np(1 − p)
Mathématiques
3
!
Binomiale
n ∈ N∗ , p ∈]0; 1[
B(n, p)
{0, . . . , n}
Géométrique
p ∈]0; 1[
G(p)
N∗
λ>0
P(λ)
N
Poisson
4
P(X = k) =
n k
p (1 − p)n−k
k
P(X = n) = p(1 − p)n−1
P(X = n) = e−λ
λn
n!
E[X] =
1
p
E[X] = λ
Var(X) =
1−p
p2
Var(X) = λ
Mémo maths
• Somme de nombres consécutifs :
n
X
k=1
• Somme de carrés :
n
X
k2 =
k=1
n(n + 1)
.
2
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
• Formule du binôme de Newton :
n
X
k=0
• Exponentielle : ex =
k=
!
n k n−k
p q
= (p + q)n .
k
+∞
X
xn
.
n!
n=0
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