Résumé : Variables aléatoires / Lois classiques

Mathématiques L3 MIAGE
Résumé : Variables aléatoires / Lois classiques
1 Variables aléatoires
Variable aléatoire Fonction de Ωdans R.
Loi de probabilité d’une variable aléatoire Xsur un univers Ω:
Fonction de Rdans [0; 1],f(x) = P(X=x):
x x1x2. . . xn
P(X=x)p1p2. . . pn
Fonction de répartition de X: Fonction de Rdans [0; 1] définie par F(x) = P(X≤x).
Espérance d’une variable aléatoire X:E[X] = N
P
i=1
(xi×P(X=xi)).
Variance de X: Var(X) = E[(X−E[X])2] = N
P
i=1
(xi−E[X])2×P(X=xi)).
Écart-type de X:σ(X) = pVar(X).
Variable centrée L’espérance est nulle; centrée de X:Y=X−E[X].
Variable réduite L’écart-type vaut 1; réduite de X:Y=X/σ(X).
Variable standardisée La variable est centrée et réduite.
Centrée-réduite de X : Y=X−E[X]
σ(X).
2 Propriétés
•Loi de probabilité et fonction de répartition prennent des valeurs dans [0; 1].
•La somme des cases basses du tableau d’une loi de probabilité vaut 1.
•L’espérance est la moyenne des valeurs (pondérées par les probabilité).
•Théorème de transfert : Xune v.a. et φ:R→Ret Y=φ(X), alors :
E[Y] = E[φ(X)] = X
i
(φ(xi)×P(X=xi)).
•Linéarité de l’espérance : E[aX +bY ] = aE[X] + bE[Y].
•Croissance de l’espérance : X≤Y=⇒E[X]≤E[Y].
•Espérance et valeur absolue : E[X]≤E[|X|].
•La variance est la moyenne des écarts à la moyenne.
•Théorème de König : Var(X) = E[X2]−E[X]2.
•Variance d’une constante : Var(X)=0 ⇐⇒ Xest une constante.
•Pseudo-linéarité de la variance : Var(aX +b) = a2Var(X).
•Linéarité de la variance : si Xet Ysont indépendants alors Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y).

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3 Lois discrètes usuelles
Loi de probabilité Paramètres Notation Valeurs Conditions Proba Espérance Variance
Uniforme - U{1,...,n}{1, . . . , n}P(X=k) = 1
nE[X] = n+ 1 2Var(X) = n2−1
12
Bernouilli p∈]0; 1[ B(p){0,1}P(X= 1) = p,P(X= 0) = 1 −pE[X] = pVar(X) = p(1 −p)
Binomiale n∈N∗,p∈]0; 1[ B(n, p){0, . . . , n}P(X=k) = n
k!pk(1 −p)n−kE[X] = np Var(X) = np(1 −p)
Géométrique p∈]0; 1[ G(p)N∗P(X=n) = p(1 −p)n−1E[X] = 1
pVar(X) = 1−p p2
Poisson λ > 0P(λ)NP(X=n) = e−λλn
n!
E[X] = λVar(X) = λ
4 Mémo maths
•Somme de nombres consécutifs :
n
X
k=1
k=n(n+ 1)
2.
•Somme de carrés :
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6.
•Formule du binôme de Newton :
n
X
k=0 n
k!pkqn−k= (p+q)n.
•Exponentielle : ex=
+∞
X
n=0
xn
n!.