Exercice n°2

FACULTE DES SCIENCE DE TUNIS
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
LFPH2
2009/2010
Série n°2
TRAVAUX DIRIGES DE MECANIQUE DES FLUIDES
z
Exercice n°1 :
On considère un récipient cylindrique de diamètre
D = 2R = 1m et de hauteur H = 2m, partiellement rempli
d’un liquide sur une hauteur h = 1,5 m. Le récipient est
mis en rotation uniforme autour de son axe vertical Oz à la
vitesse angulaire  rad.s-1. Le repère R (O, z, θ, r) est
lié au récipient.
1/ Ecrire l’équation de l’hydrostatique dans le repère R lié
au récipient tournant.
2/
a/ En résolvant l’équation de l’hydrostatique,
montrer que la surface libre du liquide est donnée, dans le
plan vertical, par l’équation suivante :
z  z0 
2
H
r2
h
O
2g
Où g= 10 m.s-2 est l’accélération de la pesanteur.
b/ Exprimer z1  z(r  R) en fonction de h, R,  et g. En déduire l’expression de z0.
c/ Calculer numériquement z0 et z1.
d/ Représenter l’allure de la courbe z(r).
3/
a/ Quelle vitesse angulaire 0 peut-on atteindre sans que le liquide déborde du
récipient ?
b/ Calculer numériquement z0 et z1 dans ces conditions et conclure.
4/ A quelle vitesse angulaire 1 faut-il faire tourner le récipient pour que le centre O de son
fond soit découvert ? Calculer z1 et conclure.
5/ Lorsque la vitesse angulaire vaut 2 = 20 rad.s-1, calculer la surface découverte Sf du fond.
Exercice n°2
On considère l’écoulement bidimensionnel d’un fluide défini en coordonnées
Lagrangiennes par :
x =x0ekt
y =y0e-kt
Où k, x0 et y0 sont des constantes positives.
1.
2.
3.
3.
Déterminer l’équation de la trajectoire d’une particule fluide.
Trouver les composantes de la vitesse.
a) Le régime de l’écoulement est-il stationnaire ou instationnaire ?
b) L’écoulement est il compressible ou incompressible ?
4. déterminer le champ des vecteurs accélérations a .
5. Déterminer l’équation des lignes de courant.
Exercice n°3
On étudie deux écoulements plans stationnaires d’un fluide parfait, notés (E1) et (E2),
dont les champs de vitesse locale au point M(x, y, z) sont respectivement :
2
2
et
V2 ( v x  3 x 2 y , v y  3xy2 , v z  0 )
V1 ( v x  3xy , v y  3x y , v z  0 )
1°) Déterminer l’équation cartésienne et la forme des lignes de courant du fluide pour chacun
des deux écoulements (E1) et (E2).
2°) Déterminer les équations paramétriques x(t) et y(t), pour l’écoulement (E1) de la
particule P du fluide de coordonnées ( x0, y0 ,0 ) à l’instant t = 0 et que l’on suit dans son
mouvement (description lagrangienne).
3°) Exprimer la vitesse instantanée v p (t ) de la particule P et l’accélération a(t ) de cette
particule dans l’écoulement (E2), à l’aide des constantes x0 et y0, à partir de la description
lagrangienne.
4°) Retrouver l’accélération a de la particule du fluide de l’écoulement (E2) en utilisant une
description eulérienne : on se place au point d’observation M fixe.
Exercice n°4
L’écoulement plan d’un fluide incompressible autour du point d’arrêt O obéit au
champ des vitesses V (vx =  x, vy =  y) dans le plan (x O y) où  et  sont deux
constantes réelles positives, indépendantes du temps et (x, y) sont les coordonnées
cartésiennes d’un point M.
1°) Déterminer le potentiel des vitesses   x, y  en M(x, y) à l’aide de la seule constante  .
2°) Etablir les équations paramétriques x(t) et y(t) de la particule fluide qui était située en M 0
(x0, y0) à l’instant t = 0.
3°) La fonction courant  ( x, y ) de l’écoulement plan est définie par V = rot ( U z ).
a) Etablir les relations entre les dérivées partielles premières de φ et de .
b) Vérifier que le Laplacien de la fonction courant est nul.
c) Déterminer la fonction courant  ( x, y ) et tracer les lignes de courant après avoir
montré qu’elles se confondent avec les courbes  ( x, y ) = Cte.