FACULTE DES SCIENCES DE TUNIS 2010

FACULTE DES SCIENCES DE TUNIS 2010-2011
Département de physique Série N°3
Section : LASP2 – Module : LASP423
Exercice n°1 :
On considère l’écoulement d’un fluide parfait de masse volumique ρ dont le champ
eulérien des vitesses est noté
)(MV
dans un repère galiléen Oxyz ayant Oz pour axe
vertical ascendant.
1°) Ecrire le vecteur accélération eulérien
)(Ma
de la particule fluide située au point M à
l’instant t. Exprimer
)(Ma
à l’aide du vecteur tourbillon
)(
2
1Vrot 
.
2°) Ecrire l’équation d’Euler gouvernant cet écoulement.
3°) En multipliant scalairement l’équation précédente par le déplacement élémentaire
dl
prise sur une ligne de courant de l’écoulement, montrer que l’on obtient l’équation
suivante :
0.)
2
(2  dl
t
VdP
gz
V
d
où g est l’accélération de la pesanteur et P est la
pression locale.
4°) Dans le cas d’un écoulement irrotationnel et incompressible, montrer que l’on a :
te
C
t
PgzV
2
2
1
Où est le potentiel des vitesses de l’écoulement.
5°) Que devient cette équation si l’écoulement était permanent ?
Exercice n°2:
Le tube de Pitot est un appareil qui permet de mesurer
la vitesse en un point de l’écoulement d’un fluide.
Il est muni d’une prise de pression totale (1) et d’une
prise de pression statique (2), reliées ici à un
manomètre différentiel (voir figure).
L’écoulement amont, supposé permanent et
incompressible, est caractérisé par la vitesse V0 et la
pression P0.
Déterminer la vitesse V0 en fonction de Δh, ρ et ρ’.
Exercice n°3:
Un siphon permet l’écoulement de l’eau d’un réservoir
de grandes dimensions. Il est constitué d’un tuyau de
rayon r dont la partie centrale s’élève à une hauteur d
au-dessus de la surface libre. L’extrémité du tube se
trouve à la hauteur h en dessous de la partie centrale.
A°) Le point A est à la surface de l’eau du réservoir.
Justifier que vA << vC.
B°) Les points A, B et C étant sur une même ligne de
courant, démontrer que la vitesse de vidange en C
est
d)-2g(h = vC
.
C°) Calculer la pression en B.
Exercice n°4 :
Un réservoir d’axe vertical, de forme
cylindrique, de rayon R = 1m et de hauteur l =
3m, contient de l’eau l’eau assimilée à un
fluide parfait, de masse volumique ρ = 103
kg.m-3.
Le réservoir est rempli jusqu’à la cote z = 2,9
m, comptée à partir du fond. L’air extérieur est
à la pression atmosphérique.
1°) Calculer les forces de pression exercées par l’eau sur :
a) La surface du fond du réservoir.
b) La surface latérale du réservoir. (on prendra g = 10m.s-2)
2°) A la cote z = 0,2 m est persé une orifice circulaire de rayon r << R (r=3cm), par lequel
l’eau s’écoule.
a) Déterminer la vitesse de l’eau à la sortie de l’orifice en fonction de la cote z de la
surface libre de l’eau du réservoir.
b) En négligeant l’effet de la contraction du tube de courant à travers l’orifice, exprimer
en fonction de z, le débit volumique qv de l’eau.
c) Calculer le temps mis par l’eau pour que son niveau passe de z1 = 2,9m à z2 = 1,2m.
Exercice n°5 :
Pour mesurer le débit d’eau en écoulement permanent
ascendant dans un tube vertical, on utilise le tube de
Venturi représenté sur la figure ci-contre. Le diamètre du
tube est D = 30
cm et celui du col est d = 15 cm.
On suppose que l’eau est un fluide parfait incompressible
de masse volumique ρ = 10 kg.m-3.
La dénivellation du mercure dans le manomètre
différentiel est h = 35,8 cm.
1°) Montrer que la vitesse dans le col est supérieure à la
vitesse dans le tube.
2°) Déterminer la différence de pression entre les points A et B en fonction du débit
volumique qv, des diamètres d et D, de h’ et de ρ.
3°) En utilisant la loi de l’hydrostatique, montrer que cette différence de pression s’écrit
également sous la forme suivante :
.h)-g(hP-P Hg
'
BA hg
4°) Calculer le débit volumique qv et donner sa valeur numérique.
On donne : distance h’ = 75 cm, masse volumique du mercure ρHg = 13600 kg.m-3,
accélération de la pesanteur g = 10 m.s-2.
z
Eau
o