Déformation dans des fluides
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Déformation dans des fluides 1. élements diagonaux choix de l'origine : r ,t dt A A' : r r v A à t et A' à t + dt ⇒ r =: 0 et v r ,t dt =:0 y y ∂ v y r ,t dry d r y dt ∂ry dry t t dt drx x x [ r d r x v x r d r x x , t d t = r d r x v x r , t d t = 0 (origine) ] ∂ v x r , t ∂ v x r , t drxdt = drx drxdt ∂ rx ∂rx Déformation dans des fluides 2. élements non diagonaux y choix de l'origine : y A à t et A' à t + dt d ≃ tan d t t dt = d r x ,0 x x côté adjacent x d r x ,v y r d r x x ,t d t = d r x , y côté opposé ∂v y r , t dr xdt ∂r x déformation sans modification de volume Tenseur des contraintes composante suivant l'axe des z de la constrainte exercée sur la surface orientée suivant z zz = contrainte normale volume de fluide infinitésimal xz z composante suivant l'axe des x de la constrainte exercée sur la surface orientée suivant z y z = contrainte tangentielle ou de cisaillement y x x Divers régimes d'écoulement N R ≪1 1 N R 47 écoulement laminaire écoulement de recirculation 47 N R ≪ 2000 alleé de Bénard-Von Karman [E. Guyon et al, Hydrodynamique physique] N R 2000 écoulement turbulent Nombre de Reynolds ∂ v ' ' v ' = − ∇ ' p' 1 ∇ ' 2 v '⋅∇ v' ∂t NR Stokes ∂ v ' ' p' 1 ∇ ' 2 v ' = −∇ ∂t NR N R ≪1 matière molle = liquides composés de molécules de tailles mesoscopiques 1 nm l v 1000 nm v 0 lv NR = NR ≫ 1 Euler ∂ v ' ' v ' = − ∇ ' p' v '⋅∇ ∂t aérodynamique v 0, l v = grandes = petite polymères surfactants hélium liquide à très basse T ≈ 0 colloïdes cristaux liquides [Sources : wikipedia (Soft_matter, Aerodynamics, Superfluide) ; www.physics.emory.edu/weeks/lab] Équation de Stokes 2 cylindres coaxiaux remplis d'un fluide visqueux cylindre extérieur mis en rotation lente ligne de colorant rotation en sens inverse [E. Guyon et al, Hydrodynamique physique] résultat après le même nombre de tours : écoulement réversible Animation : http://csmr.as.nyu.edu/object/csmr.hydrev Écoulement de Couette / Poiseuille plaque supérieure Écoulement de Couette plan v0 Fx = A h force nécessaire pour déplacer la plaque supérieure à vitesse v0 plaque inférieure Écoulement de Poiseuille p0 p paroi du tube au repos r R p0 Coordonnées cylindriques : z cos Arrêter l'écoulement de Poiseuille : r r cos y [H. Bruus, Theoretical microfluidics] Fluides visqueux / courant électrique Système de tubes v ≠0 ⋅∇ écoulement n'est pas unidirectionnel ⇒ v v =0 N R ≪1 ⇒ v⋅∇ champ de vitesse v ≠0 N R1 ⇒ v⋅∇ tube 2 tube 1 arrangement en série arrangement parallèle p1=Rh 1 D V 1 p1=Rh 1 D V 1 DV 1 p0 p D V 1 =D V 2 = D V p0 p0 p0 p DV 2 p2=R h 2 D V 2 [H. Bruus, Theoretical microfluidics] p2=R h 2 D V 2 p 1 = p2 = p Circulation sanguine D V = S v = const pression veineuse : 1 kPa pression artérielle : 12.8 kPa système circulatoire veineux système circulatoire artériel v débit cardiaque D V ≃ 5−6 l min S L aorte ≈ 5⋅10−2 m R aorte ≈ 10−2 m L cap ≈ 10−3 m loi de Poiseuille petite circulation (1.5 l de sang) grande circulation (3.5 l de sang) R cap ≈ 4⋅10−6 m Rcap h R aorte h = Lcap R4aorte Laorte R 4 cap ~ 1012 milliards de capillaires pour que DV = const. Force de trainée Premier cas : rs drag F 0 v ● ● sphère se déplace à vitesse v0 fluide au repos Le fluide freine le mouvement. force de trainée = force de résistance au mouvement Deuxième cas : rs 0 v viscosité et densité du fluide ● drag F ● fluide se déplace à vitesse v0 fluide entraîne la sphère La sphère s'oppose à l'écoulement.
