Licence de Physique 2014-15
L3 Mécanique
L3 Physique et Applications Mécanique des fluides
Examen
Mardi 6 Janvier 2015
Durée: 3h. Sans documents. Calculettes autorisées.
Barème indicatif: I= 7, II= 7 et III= 6 points/20. Tous les résultats doivent être justifiés
par un raisonnement. Vérifiez les dimensions de tous vos résultats. Tout résultat
numérique devra être donné avec une unité.
N.B.: Lorsqu’il est demandé d’exprimer fen fonction de aet bil faut comprendre exprimer
fen fonction notamment de aet b. Autrement dit, selon les cas, d’autres grandeurs pourront
intervenir dans l’expression de f.
On donne: p0= 105Pa (pression atmosphérique), ρ= 103kg/m3(masse volumique de l’eau),
ρa'ρ/800 (masse volumique de l’air), g= 9,8m/s2(accélération de la pesanteur) et R= 8,3
J/K (constante des gaz parfaits).
En coordonnées cylindriques on rappelle le gradient d’une fonction scalaire U:
−→
∇U=∂U
∂r ,1
r
∂U
∂ϕ ,∂U
∂z .
I- Oscillations dans l’atmosphère
On s’intéresse aux perturbations générées par les écoulements ou le relief dans la basse atmosphère
terrestre (altitude inférieure à 10 km). Pour simplifier, on supposera que l’atmosphère est un gaz
parfait hydrostatique, isotherme de température Tet de masse molaire M= 29 g. On néglige les
effets de la viscosité dans l’air. Pour décrire l’atmosphère on se place dans le référentiel terrestre
supposé galiléen muni d’un repère cartésien Oxyz où Oz est l’axe vertical orienté vers le haut de
l’atmosphère. Au niveau du sol (z= 0) la pression et la masse volumique sont notées paet ρa
respectivement (à T= 300 K).
1) a) Rappeler la loi de l’hydrostatique des fluides. Montrer que la pression pne dépend que de
z.
b) Soient deux altitudes z1et z2de pressions p1et p2: sachant que z2> z1, la pression p1
est-elle inférieure ou supérieure à p2? (on raisonnera simplement à partir de dp)
Dans l’atmosphère pression et masse volumique sont reliées par la relation p=ρ c2
soù csest la
vitesse du son qui est constante dans le cas isotherme. La masse volumique ρdépend donc
de z.
2) En utilisant la loi des gaz parfaits, exprimer csen fonction de R,Tet M. Calculer alors cs
pour T= 300 K.
3) A partir de la loi hydrostatique, déterminer le profil vertical de pression p(z)en fonction de
paet H=c2
s/g. En déduire le profil de masse volumique ρ(z)en fonction de ρaet H. Quelle est
la signification de H? Calculer H.
On s’intéresse à présent au comportement d’une particule de fluide de volume dτ =dx dy dz (voir
figure). A l’équilibre, l’altitude du centre de masse de la particule est z0et sa masse dm =ρ0dτ.
On notera ρ0et p0les pression et masse volumique de l’atmosphère en z=z0.
4) Quelles sont les forces agissant sur la particule fluide dm ? Représentez les vecteurs corre-
spondants sur un schéma.
Sans perturber l’équilibre de l’atmosphère ni la particule fluide (sa masse et son volume sont
donc conservés), on déplace la particule verticalement de z0vers z0+(voir figure) puis on la
lâche.