Exercice n°4

FACULTE DES SCIENCE DE TUNIS 2011/2012
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE Série n°1
LFPH2
TRAVAUX DIRIGES DE MECANIQUE DES FLUIDES
Exercices n°1 :
Soit une grandeur G associée à une particule fluide, représentant une grandeur scalaire
ou vectorielle (température, vitesse, etc.…). Montrer que les variations dans le temps sont
déterminées par l’équation :
)(. Ggradv
t
G
Dt
DG 
Exercice n°2 :
On considère un fluide en écoulement bidimensionnel dont le champ des vitesses est
donné dans un repère cartésien (Oxyz) par :
21
0000 .2.1,)(   smetsmvuavecuvutuv yx
1) Cet écoulement est-il stationnaire ? Ce fluide est-il compressible ?
2) Déterminer les lignes de courant à t = t0.
3) Déterminer la trajectoire de la particule qui se trouve à l’origine O à t = 0.
Exercices n°3 :
Le champ de vitesse d’un écoulement fluide, en un point M (OM= r) repéré par ses
coordonnées cylindriques (r, ө, z) dans la base
),,( kuur
est radial :
r
u
r
k
v 
où k est une constante positive, fonction du débit volumique de la source.
1- Caractériser l’écoulement.
2- Cet écoulement admet-il un potentiel des vitesses ? Si oui, le calculer.
3- Déterminer l’équation des lignes de courant.
4- Tracer l’allure des lignes de courant.
On donne : en coordonnées cylindriques, pour un vecteur
A
radial, on donne l’expression des
opérateurs :
k
A
r
u
z
A
Arotet
r
rA
r
Adiv  1)(1
Exercice n°4
On considère l’écoulement bidimensionnel d’un fluide défini en coordonnées
Lagrangiennes par :
x =x0ekt
y =y0e-kt
Où k, x0 et y0 sont des constantes positives.
1. Déterminer l’équation de la trajectoire d’une particule fluide.
2. Trouver les composantes de la vitesse.
3. a) Le régime de l’écoulement est-il stationnaire ou instationnaire ?
3. b) L’écoulement est il compressible ou incompressible ?
4. déterminer le champ des vecteurs accélérations
a
.
5. Déterminer l’équation des lignes de courant.

Exercice n°5
On étudie deux écoulements plans stationnaires d’un fluide parfait, notés (E1) et (E2),
dont les champs de vitesse locale au point M(x, y, z) sont respectivement :
1
V
(
2
3xyvx
,
yxvy2 3
,
0
z
v
) et
2
V
(
yxvx2 3
,
2
3xyvy
,
0
z
v
)
1°) Déterminer l’équation cartésienne et la forme des lignes de courant du fluide pour chacun
des deux écoulements (E1) et (E2).
2°) Déterminer les équations paramétriques x(t) et y(t), pour l’écoulement (E1) de la
particule P du fluide de coordonnées ( x0, y0 ,0 ) à l’instant t = 0 et que l’on suit dans son
mouvement (description lagrangienne).
3°) Exprimer la vitesse instantanée
)(tvp
de la particule P et l’accélération
)(ta
de cette
particule dans l’écoulement (E2), à l’aide des constantes x0 et y0, à partir de la description
lagrangienne.
4°) Retrouver l’accélération a de la particule du fluide de l’écoulement (E2) en utilisant une
description eulérienne : on se place au point d’observation M fixe.
Exercice n°6
L’écoulement plan d’un fluide incompressible autour du point d’arrêt O obéit au
champ des vitesses
V
(vx = x, vy = y) dans le plan (x O y) où et sont deux
constantes réelles positives, indépendantes du temps et (x, y) sont les coordonnées
cartésiennes d’un point M.
1°) Déterminer le potentiel des vitesses
,xy
en M(x, y) à l’aide de la seule constante .
2°) Etablir les équations paramétriques x(t) et y(t) de la particule fluide qui était située en M0
(x0, y0) à l’instant t = 0.
3°) La fonction courant
),( yx
de l’écoulement plan est définie par
V
=
rot
(
z
U
).
a) Etablir les relations entre les dérivées partielles premières de φ et de .
b) Vérifier que le Laplacien de la fonction courant est nul.
c) Déterminer la fonction courant
),( yx
et tracer les lignes de courant après avoir
montré qu’elles se confondent avec les courbes
),( yx
= Cte.