FACULTE DES SCIENCE DE TUNIS DEPARTEMENT DE PHYSIQUE LFPH2 2011/2012 Série n°1 TRAVAUX DIRIGES DE MECANIQUE DES FLUIDES Exercices n°1 : Soit une grandeur G associée à une particule fluide, représentant une grandeur scalaire ou vectorielle (température, vitesse, etc.…). Montrer que les variations dans le temps sont déterminées par l’équation : DG G v.grad (G ) Dt t Exercice n°2 : On considère un fluide en écoulement bidimensionnel dont le champ des vitesses est donné dans un repère cartésien (Oxyz) par : v (u0 t )u x v0u y , avec u0 v0 1m.s 1 et 2m.s 2 1) Cet écoulement est-il stationnaire ? Ce fluide est-il compressible ? 2) Déterminer les lignes de courant à t = t0. 3) Déterminer la trajectoire de la particule qui se trouve à l’origine O à t = 0. Exercices n°3 : Le champ de vitesse d’un écoulement fluide, en un point M (OM= r) repéré par ses coordonnées cylindriques (r, ө, z) dans la base (ur , u , k ) est radial : k v u r où k est une constante positive, fonction du débit volumique de la source. r 1- Caractériser l’écoulement. 2- Cet écoulement admet-il un potentiel des vitesses ? Si oui, le calculer. 3- Déterminer l’équation des lignes de courant. 4- Tracer l’allure des lignes de courant. On donne : en coordonnées cylindriques, pour un vecteur A radial, on donne l’expression des opérateurs : divA A 1 A 1 (rA) et rot A u k r r z r Exercice n°4 On considère l’écoulement bidimensionnel d’un fluide défini en coordonnées Lagrangiennes par : x =x0ekt y =y0e-kt 1. 2. 3. 3. Où k, x0 et y0 sont des constantes positives. Déterminer l’équation de la trajectoire d’une particule fluide. Trouver les composantes de la vitesse. a) Le régime de l’écoulement est-il stationnaire ou instationnaire ? b) L’écoulement est il compressible ou incompressible ? 4. déterminer le champ des vecteurs accélérations a . 5. Déterminer l’équation des lignes de courant. Exercice n°5 On étudie deux écoulements plans stationnaires d’un fluide parfait, notés (E1) et (E2), dont les champs de vitesse locale au point M(x, y, z) sont respectivement : 2 2 et V2 ( v x 3 x 2 y , v y 3xy2 , v z 0 ) V1 ( v x 3xy , v y 3x y , v z 0 ) 1°) Déterminer l’équation cartésienne et la forme des lignes de courant du fluide pour chacun des deux écoulements (E1) et (E2). 2°) Déterminer les équations paramétriques x(t) et y(t), pour l’écoulement (E1) de la particule P du fluide de coordonnées ( x0, y0 ,0 ) à l’instant t = 0 et que l’on suit dans son mouvement (description lagrangienne). 3°) Exprimer la vitesse instantanée v p (t ) de la particule P et l’accélération a(t ) de cette particule dans l’écoulement (E2), à l’aide des constantes x0 et y0, à partir de la description lagrangienne. 4°) Retrouver l’accélération a de la particule du fluide de l’écoulement (E2) en utilisant une description eulérienne : on se place au point d’observation M fixe. Exercice n°6 L’écoulement plan d’un fluide incompressible autour du point d’arrêt O obéit au champ des vitesses V (vx = x, vy = y) dans le plan (x O y) où et sont deux constantes réelles positives, indépendantes du temps et (x, y) sont les coordonnées cartésiennes d’un point M. 1°) Déterminer le potentiel des vitesses x, y en M(x, y) à l’aide de la seule constante . 2°) Etablir les équations paramétriques x(t) et y(t) de la particule fluide qui était située en M 0 (x0, y0) à l’instant t = 0. 3°) La fonction courant ( x, y ) de l’écoulement plan est définie par V = rot ( U z ). a) Etablir les relations entre les dérivées partielles premières de φ et de . b) Vérifier que le Laplacien de la fonction courant est nul. c) Déterminer la fonction courant ( x, y ) et tracer les lignes de courant après avoir montré qu’elles se confondent avec les courbes ( x, y ) = Cte.