Mécanique des Fluides. MI3 TD 2 : diffusion/advection U∞ L

Polytech’Montpellier MI3 Mécanique des Fluides. MI3 TD 2 : diffusion/advection Ex 1 : Convection/Diffusion à échelle de longueur imposée On considère une enceinte cubique de 5 m de côté, remplie d’air à pression atmosphérique et température 10°C, uniformes. On cherche à chauffer l’ensemble de l’enceinte en imposant sa température à l’un de ses côtés, à T=25°C. a) Estimer le temps nécessaire pour modifier la température dans l’ensemble de l’enceinte uniquement par diffusion par agitation moléculaire. La diffusivité thermique de l’air vaut a=0,21 cm2.s-­‐1. Commenter le résultat obtenu. b) Pour accélérer l’élévation de la température dans l’enceinte, un radiateur est installé. La puissance du radiateur génère une mise en mouvement de l’air par convection. La vitesse moyenne de l’air est estimée à 5 cm.s-­‐1. Quel est le temps nécessaire au chauffage de l’enceinte, grâce à cette convection ? Pendant cette durée, sur quelle distance s’exerce le transfert par diffusion ? c) On modifie la température de chauffage en imposant 30°C. Même question qu’en a : estimer le temps nécessaire pour modifier la température dans l’ensemble de l’enceinte uniquement par diffusion par agitation moléculaire. Ex 2 : Aérodynamique externe. Nombre de Reynolds On considère un écoulement autour d’un objet de dimension caractéristique L. L’écoulement à l’infini est stationnaire, de vitesse U∞. U∞ L a) Comparer les échelles de temps TA et TD de transport advectif et de transfert diffusif à l’échelle de l’objet : combien de temps est nécessaire à la quantité de mouvement pour être transportée du bord d’attaque au bord de fuite de l’objet par advection ? Par diffusion ? On note Re=TD/TA. Quelle est sa dimension ? Interpréter sa signification. b) Faites l’application numérique pour U∞= 10 m.s-­‐1, L = 1 m, ν=1,5 10-­‐5 m2.s-­‐1 (viscosité cinématique de l’air). Commenter le résultat. c) On se place dans la configuration du b). En réalité, l’écoulement près de la paroi de l’objet n’est pas à U∞. L’adhérence du fluide à la paroi entraine l’apparition d’une zone proche paroi dans laquelle les effets visqueux ne sont pas négligeables. Trouver une expression simple donnant cette épaisseur de Polytech’Montpellier MI3 « couche limite » et faites l’application numérique. Quelle est la taille de cette épaisseur par rapport aux dimensions du problème ? Ex 3 : Diffusion en écoulement de Couette On considère une configuration d’écoulement de Couette. Deux plaques parallèles sont espacées de 20 cm. A l’instant t=0, on met en mouvement de façon instantanée une des parois, en translation uniforme à 5 m/s. On fait l’expérience avec deux fluides différents. Le fluide 1 a pour propriétés : μ1=0.0001 Pa.s et ρ1=1 kg/m3. Le fluide 2 a pour propriétés : μ2=0.001 Pa.s et ρ2=1000 kg/m3. La mise en mouvement brusque de la paroi va entrainer peu à peu le fluide par frottement des lignes fluides entre elles, jusqu’à ce qu’un état stationnaire soit atteint. On a alors un profil de vitesse linéaire entre les deux parois (comme dans le cours C02). 1) Estimer le rapport entre les temps d’établissement de l’écoulement (temps avant d’atteindre le régime stationnaire) dans le fluide 1 et dans le fluide 2. 2) Calculer la force de frottement visqueux exercée par le fluide (fluide 1 puis fluide 2) sur la plaque fixe. On prendra une surface de 5 m2. 3) Pouvez-­‐vous dire quel fluide est le plus « visqueux » ? Ex 4 (bonus) : La marche au hasard comme modèle du phénomène de diffusion Tard dans la soirée, un homme part du point O, au temps t=0. Tous les temps τ, il effectue des pas de longueur L. Mais à chaque pas, la direction est parfaitement aléatoire, et donc indépendante des pas précédents. a) On souhaite tout d’abord déterminer quelle distance il peut espérer avoir parcouru après N pas. Démontrer par récurrence que la distance moyenne entre le marcheur et son point de départ évolue comme : R 2 (t = N τ ) = NL2 (On cherche le carré de la distance, R 2 (t) ). b) Mettre cette quantité sous la forme : R 2 (t = N τ ) = Dt . Quelle est la dimension de D ? Donner d’autres grandeurs physiques de même dimension. c) Le résultat dépend-­‐il de la dimension de l’espace dans lequel évolue notre homme ? Discuter de l’analogie avec le phénomène de diffusion.