Mécanique des Fluides. MI3 TD 2 : diffusion/advection U∞ L

Polytech’Montpellier/ / MI3/
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Mécanique*des*Fluides.*MI3*
TD*2*:*diffusion/advection*
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Ex*1*:*Convection/Diffusion*à*échelle*de*longueur*imposée**
On! considère! une! enceinte! cubique! de! 5! m! de! côté,! remplie! d’air! à! pression!
atmosphérique! et! température! 10°C,! uniformes.! On! cherche! à! chauffer! l’ensemble! de!
l’enceinte!en!imposant!sa!température!à!l’un!de!ses!côtés,!à!T=25°C.!
a) Estimer! le! temps! nécessaire! pour! modifier! la! température! dans! l’ensemble! de!
l’enceinte! uniquement! par! diffusion! par! agitation! moléculaire.! La! diffusivité!
thermique!de!l’air!vaut!a=0,21!cm2.sH1.!Commenter!le!résultat!obtenu.!
b) Pour! accélérer! l’élévation! de! la! température! dans! l’enceinte,! un! radiateur! est!
installé.! La! puissance! du! radiateur! génère! une! mise! en! mouvement! de! l’air! par!
convection.!La!vitesse!moyenne!de!l’air!est!estimée!à!5!cm.sH1.!Quel!est!le!temps!
nécessaire! au! chauffage! de! l’enceinte,! grâce! à! cette! convection!?! Pendant! cette!
durée,!sur!quelle!distance!s’exerce!le!transfert!par!diffusion!?!
c) On!modifie!la!température!de!chauffage!en!imposant!30°C.!Même!question!qu’en!
a!:!estimer!le!temps!nécessaire!pour!modifier!la!température!dans!l’ensemble!de!
l’enceinte!uniquement!par!diffusion!par!agitation!moléculaire.!
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Ex*2*:*Aérodynamique*externe.*Nombre*de*Reynolds*
On! considère! un! écoulement! autour! d’un! objet! de! dimension! caractéristique! L.!
L’écoulement!à!l’infini!est!stationnaire,!de!vitesse!U∞.!
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a) Comparer!les!échelles!de!temps!TA!et!TD!de!transport!advectif!et!de!transfert!
diffusif!à!l’échelle!de!l’objet!:!combien!de!temps!est!nécessaire!à!la!quantité!de!
mouvement! pour! être! transportée!du! bord! d’attaque! au! bord! de! fuite! de!
l’objet!par! advection!?! Par! diffusion!?! On! note! Re=TD/TA.! Quelle! est! sa!
dimension!?!Interpréter!sa!signification.!!
b) Faites! l’application! numérique! pour! U∞=! 10! m.sH1,! L! =! 1! m,! ν=1,5! 10H5! m2.sH1!
(viscosité!cinématique!de!l’air).!Commenter!le!résultat.!
c) On! se! place! dans! la! configuration! du! b).! En! réalité,! l’écoulement! près! de! la!
paroi! de! l’objet! n’est! pas! à! U∞.! L’adhérence! du! fluide! à! la! paroi! entraine!
l’apparition!d’une!zone!proche!paroi!dans!laquelle!les!effets!visqueux!ne!sont!
pas! négligeables.! Trouver! une! expression! simple! donnant! cette! épaisseur! de!
U∞!
L!

Polytech’Montpellier/ / MI3/
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«!couche!limite!»!et!faites!l’application!numérique.!Quelle!est!la!taille!de!cette!
épaisseur!par!rapport!aux!dimensions!du!problème!?!
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Ex*3*:*Diffusion*en*écoulement*de*Couette*
On!considère!une! configuration!d’écoulement! de!Couette.! Deux!plaques!parallèles!sont!
espacées!de!20!cm.!A!l’instant!t=0,!on!met!en!mouvement!de!façon!instantanée!une!des!
parois,!en!translation!uniforme!à!5!m/s.!On!fait!l’expérience!avec!deux!fluides!différents.!
Le! fluide! 1! a! pour! propriétés!:! μ1=0.0001! Pa.s! et! ρ1=1! kg/m3.! Le! fluide! 2! a! pour!
propriétés!:!μ2=0.001!Pa.s!et!ρ2=1000!kg/m3.!!
La! mise! en! mouvement! brusque! de! la! paroi! va! entrainer! peu! à! peu! le! fluide! par!
frottement!des!lignes! fluides! entre! elles,! jusqu’à! ce! qu’un! état!stationnaire! soit! atteint.!
On!a!alors!un!profil!de!vitesse!linéaire!entre!les!deux!parois!(comme!dans!le!cours!C02).!
1) Estimer! le! rapport! entre! les! temps! d’établissement! de! l’écoulement! (temps!
avant!d’atteindre!le!régime!stationnaire)!dans!le!fluide!1!et!dans!le!fluide!2.!!
2) Calculer!la! force! de! frottement! visqueux! exercée! par! le! fluide! (fluide! 1!puis!
fluide!2)!sur!la!plaque!fixe.!On!prendra!une!surface!de!5!m2.!
3) PouvezHvous!dire!quel!fluide!est!le!plus!«!visqueux!»!?!
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Ex*4*(bonus)*:*La*marche*au*hasard*comme*modèle*du*phénomène*de*diffusion**
Tard! dans! la! soirée,! un! homme! part! du! point! O,! au! temps! t=0.! Tous! les! temps! τ,! il!
effectue!des!pas!de!longueur!L.!Mais!à!chaque!pas,!la!direction!est!parfaitement!aléatoire,!
et!donc!indépendante!des!pas!précédents.!!
a) On! souhaite! tout! d’abord! déterminer! quelle! distance! il! peut! espérer! avoir!
parcouru! après! N! pas.! Démontrer! par! récurrence! que! la! distance! moyenne!
entre!le!marcheur!et!son!point!de!départ!évolue!comme!:!
R2(t=N τ )=NL2
!(On!
cherche!le!carré!de!la!distance,!
R2(t)
).!
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b) Mettre!cette!quantité!sous! la!forme!:!
R2(t=N τ )=Dt
.!Quelle! est!la!dimension!
de!D!?!Donner!d’autres!grandeurs!physiques!de!même!dimension.!
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c) Le! résultat! dépendHil! de! la! dimension! de! l’espace! dans! lequel! évolue! notre!
homme!?!Discuter!de!l’analogie!avec!le!phénomène!de!diffusion.!!