champ cylindre

Université d'Angers
S. Chaussedent
Mécanique des Fluides
TD 3
Licence de Physique et Applications
Année 2001-2002
Ex. 3.1
La fonction de courant de l'écoulement plan d'un fluide
incompressible est donnée par l'équation :
32
3yyx 
,
où est en m3.s-1 et x, y sont en m.
1. Tracer la(les) ligne(s) de courant passant par l'origine.
2. Déterminer le débit volumique à travers le segment AB de la
figure 3.1.
Ex. 3.2
L'écoulement plan de la figure 3.2 correspond au potentiel
des vitesses suivant :
cosBlnArr 
,
où A et B sont deux constantes réelles positives. Déterminer
la fonction de courant associée et localiser d'éventuels
points d'arrêt. Caractériser qualitativement cet écoulement en
s'aidant de la représentation qui en est donnée.
Ex. 3.3
Un écoulement plan est réalisé en disposant une source à l'origine des coordonnées dans un
champ dont le potentiel des vitesses
s'écrit :
2cos
2
r
Localiser tout point d'arrêt situé dans
le demi-plan supérieur (
0
).
Caractériser qualitativement cet
écoulement en s'aidant de la
représentation qui en est donnée sur
la figure 3.3.
A(1;0)
B(0;1)
x
y
- Figure 3.1 -
- Figure 3.2 -
-1 -0.5 00.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
- Figure 3.3 -

r0
r
V(r)
Ex. 3.4
On considère la superposition d'un écoulement uniforme dans la direction des x croissants,
avec un vortex centré sur l'origine. La ligne de courant
0
passant par le point de
coordonnées (2;0), déterminer l'équation de cette ligne de courant.
Ex. 3.5
De l'eau s'écoule sur une surface plane avec une vitesse uniforme de 1,5 m.s-1 (voir la figure
3.5). Une pompe aspire l'eau à travers une fente placée dans la surface plane, avec un débit
volumique de 4 l.s-1 par unité de largeur de fente. En supposant l'eau incompressible,
l'écoulement peut être modélisé par la superposition d'un écoulement uniforme et d'un puits.
1. Localiser l'endroit où la vitesse de
l'eau est nulle et déterminer
l'équation de la ligne de courant
passant par ce point.
2. A quelle hauteur H par rapport à la
surface doit se situer une particule
fluide pour ne pas être aspirée par
la pompe ?
Ex. 3.6
On se propose de modéliser l'écoulement généré par un cyclone. Pour
cela, on considère un cylindre de rayon r0 contenant un fluide supposé
parfait et incompressible, en rotation avec une vitesse angulaire constante
. L'extérieur du cylindre est constitué du même fluide qui, par la
rotation du cylindre, est entraîné et forme un écoulement de type
tourbillon libre. On admettra de plus que le mouvement s'effectue dans
un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre.
1. Déterminer le champ de vitesse à l'intérieur du cylindre.
2. Quelle est la fonction de courant ?
3. Le mouvement du fluide interne est-il irrotationnel ?
4. A partir d'une équation indiquant que l'écoulement du fluide externe
est irrotationnel, déterminer le champ de vitesse dans
le domaine
0
rr 
. Tracer la courbe donnant la
vitesse en fonction de r pour
 r0
.
5. Déterminer la circulation de la vitesse sur un cercle centré sur
l'axe du cylindre, et tracer la fonction
)(r
pour
 r0
.
A
H
- Figure 3.5 -