Université d'Angers S. Chaussedent Mécanique des Fluides TD 3 Licence de Physique et Applications Année 2001-2002 Ex. 3.1 La fonction de courant de l'écoulement plan d'un fluide incompressible est donnée par l'équation : y B(0;1) 3x 2 y y 3 , où est en m3.s-1 et x, y sont en m. 1. Tracer la(les) ligne(s) de courant passant par l'origine. 2. Déterminer le débit volumique à travers le segment AB de la figure 3.1. A(1;0) x - Figure 3.1 - Ex. 3.2 L'écoulement plan de la figure 3.2 correspond au potentiel des vitesses suivant : A ln r Br cos , où A et B sont deux constantes réelles positives. Déterminer la fonction de courant associée et localiser d'éventuels points d'arrêt. Caractériser qualitativement cet écoulement en s'aidant de la représentation qui en est donnée. - Figure 3.2 - Ex. 3.3 Un écoulement plan est réalisé en disposant une source à l'origine des coordonnées dans un 1 champ dont le potentiel des vitesses s'écrit : 0.8 r 2 cos 2 Localiser tout point d'arrêt situé dans 0.6 le demi-plan supérieur ( 0 ). Caractériser qualitativement cet 0.4 écoulement en s'aidant de la représentation qui en est donnée sur 0.2 la figure 3.3. 0 -1 -0.5 0 - Figure 3.3 - 0.5 1 Ex. 3.4 On considère la superposition d'un écoulement uniforme dans la direction des x croissants, avec un vortex centré sur l'origine. La ligne de courant 0 passant par le point de coordonnées (2;0), déterminer l'équation de cette ligne de courant. Ex. 3.5 De l'eau s'écoule sur une surface plane avec une vitesse uniforme de 1,5 m.s -1 (voir la figure 3.5). Une pompe aspire l'eau à travers une fente placée dans la surface plane, avec un débit volumique de 4 l.s-1 par unité de largeur de fente. En supposant l'eau incompressible, l'écoulement peut être modélisé par la superposition d'un écoulement uniforme et d'un puits. 1. Localiser l'endroit où la vitesse de l'eau est nulle et déterminer l'équation de la ligne de courant passant par ce point. H 2. A quelle hauteur H par rapport à la A surface doit se situer une particule fluide pour ne pas être aspirée par la pompe ? - Figure 3.5 - Ex. 3.6 On se propose de modéliser l'écoulement généré par un cyclone. Pour cela, on considère un cylindre de rayon r0 contenant un fluide supposé parfait et incompressible, en rotation avec une vitesse angulaire constante . L'extérieur du cylindre est constitué du même fluide qui, par la rotation du cylindre, est entraîné et forme un écoulement de type tourbillon libre. On admettra de plus que le mouvement s'effectue dans un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre. 1. Déterminer le champ de vitesse à l'intérieur du cylindre. 2. Quelle est la fonction de courant ? 3. Le mouvement du fluide interne est-il irrotationnel ? 4. A partir d'une équation indiquant que l'écoulement du fluide externe est irrotationnel, déterminer le champ de vitesse dans le domaine r r0 . Tracer la courbe donnant la vitesse en fonction de r pour 0 r . r0 5. Déterminer la circulation de la vitesse sur un cercle centré sur l'axe du cylindre, et tracer la fonction (r ) pour 0 r . r V(r)