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1 1SMP Cours Physique Chap5 : Mouvement, vitesse et accélération d’un système physique Dans ce chapitre, nous allons parler de cinématique c’est-à-dire que nous allons étudier le mouvement d’un objet (trajectoire, vitesse et accélération) sans se préoccuper des causes de ce mouvement. Nous allons revoir et compléter nos connaissances acquises en classe de seconde. I. Système physique, solide et objet ponctuel (rappels) Pour faire de la physique, il est nécessaire de bien définir l’« objet » que l’on étudie. 1. Systèmes physiques déformables ou indéformables Définition : Nous appellerons ………………………………………………… l’objet ou l’ensemble des objets auxquels on s’intéresse. Le système est dit ………………………………….. s’il conserve la même forme au cours de son mouvement. Dans le cas contraire, il est dit …………………………… Rem : tous les solides étudiés cette année seront supposés indéformables. 2. L’objet ponctuel ou point matériel Les lois de la mécanique exposées par Newton ont été définies pour un objet ponctuel. Qu’est-ce donc que cette « bébête » là ? Un objet ponctuel (ou point matériel) est un système indéformable dont les dimensions sont suffisamment …………………….. dans les conditions d’observation, pour qu’il soit assimilable à un point. Dans la pratique, il suffit que : taille objet distance d’observation / 100 3. Exemples Exo 1 : classez ces systèmes physiques en système déformable (SD), système indéformable (SI) ou objet ponctuel (OP). De la pâte à modeler Une pomme verte qui Une pomme pourrie Une boule de Un satellite en orbite à 36 000 manipulée dans la tombe d’un arbre qui tombe d’un arbre pétanque (billard) km au dessus du sol terrestre main situé à 20 m situé à 1 m située à 15 m Un sprinter observé à 300 m Une pomme verte qui tombe d’un arbre situé à 1 m Un sauteur à la perche observé à 50 m Les molécules d’un gaz contenues dans un récipient rigide La Terre vue du Soleil : rayon(Terre) ≈ 6400 km et distance(Terre/Lune) ≈ 150.106 km) 2 II. Relativité des mouvements ; référentiels http://olical.free.fr/mvt.htm http://www.jf-noblet.fr/mouve2/index.htm Le personnage A est ……………………… par rapport aux personnages B et C liés au 1. Etude d’un exemple même escalator, mais est …………………………………………………. par rapport D au personnage D lié à un autre escalator. 2. Nécessité d’un référentiel A B L’exemple précédent montre que le mouvement d’un objet est ……………………… Pour décrire un mouvement, il faut donc choisir une référence par rapport à C laquelle on étudie le mouvement : c’est le ……………………….. Exo 2 : trouver le référentiel le plus pratique pour étudier le mouvement des objets dans les situations suivantes : Objets / situations Ballon de basket lors Lune vue de la Terre Elève du DFG courant sur un Aiguilles d’un tir à 3 pts escalator (pour aller au Aldi…) d’une montre Référentiel (objet) 3. Les référentiels usuels Le référentiel …………………………….. : la Terre (le sol) ou tout solide lié à la Terre (par exemple le laboratoire). Il est pratique pour étudier la plupart des mouvements se produisant autour de nous. A : latitude du point A à la surface de la Terre Le référentiel ………………………………… : solide imaginaire constitué par le centre du Soleil et trois étoiles très éloignées considérées comme fixes ( . Il est pratique pour étudier les mouvements qui ont lieux dans le système solaire. Le référentiel ……………………………. : solide imaginaire constitué par le centre de la Terre et les trois mêmes étoiles que celles du référentiel héliocentrique. Il est pratique pour étudier les mouvements qui ont lieux dans l’espace mais au voisinage de notre planète. Rem : La Terre n’est pas fixe dans le référentiel géocentrique. vers étoile vers étoile Réf………………………. vers étoile T Réf ………………………………….. vers étoile vers étoile S vers étoile T Ecliptique T Exo 3 : trouver le référentiel le plus pratique pour étudier le mouvement des objets dans les situations suivantes. Objets / situations Référentiel Trajectoire de la Terre autour du Soleil Lancement d’un missile russe sur Washington Trajet du ballon d’un coup franc de Zidane Trajet Paris / Berlin en avion Mouvement d’un satellite autour de la Terre Arrivée d’une météorite sur la Terre 3 4. Repères d’espace et de temps a) Pour situer la position dans l’espace d’un point d’un objet, on associe au référentiel un repère d’espace. (x, y) y C’est en général un système d’axes (i , j , k ) avec une origine (O). Le point possède alors différentes coordonnées (x, y, z) dans repère choisi. Unité SI d’espace : ………………………….. b) Lorsqu’un objet est en mouvement, les coordonnées de ses différents j points varient dans le temps. Il est alors nécessaire de définir un repère de temps. C’est en général un chronomètre mesurant les durées qui s’écoulent depuis O une origine connue (déclenchement du chrono). i x Ex : position du centre d’inertie du ballon de basket Unité SI de durée : ………………………….. Autres unités : La minute : 1 min = …………… s L’heure : 1 h = ………………. min = ………………………s Le jour solaire : 1 j = ……………. h = ………………. min = ………………………s L’année : 1 an = ……….... j = ……………. h = ………………………. min = …………………………………s c) Un évènement est un fait qui se produit en un lieu donné à un instant précis. Il est donc repéré dans l’espace et dans le temps. Ex : un évènement historique s’est produit le 21 juillet 1969 à 3 h 56 min, lequel et où ? III. Position et trajectoire d’un point mobile 1. Notion de trajectoire d’un point. Définition : La trajectoire d'un point d'un mobile est l'ensemble des ………………………. occupées par ce point lors du…………………………. du mobile. Ex : trace laissée dans la neige par un surfeur, vue de loin. Si la trajectoire du point est une droite, le mouvement du point est ……………………………. Si la trajectoire du point est un cercle, le mouvement du point est ……………………………….. Si la trajectoire du point est une courbe quelconque, le mouvement du point est ………………………….. Exo 4 : un vélo roule en ligne droite à vitesse constante. a) Dessiner en bleu l’allure de la trajectoire de la valve (point A) dans le référentiel terrestre (à gauche). b) Dessiner en bleu l’allure de la trajectoire de la valve (point A) dans le référentiel du vélo (à droite). c) Dessiner en vert l’allure de la trajectoire d’un point du cadre du vélo (point B) dans le référentiel terrestre (à gauche). d) Dessiner en vert l’allure de la trajectoire d’un point du cadre du vélo (point B) dans le référentiel du vélo (à droite). A B Conclusion : La trajectoire d’un point ………………………………...….. du référentiel d’étude. 4 2. Le vecteur position OM (t ) k Pour repérer la position d’un point M dans un référentiel : - on attache à ce référentiel, un repère orthonormé ( O ,i , j , k ), - on précise les coordonnées x, y, z du point M dans ce repère (ce sont aussi les i OM appelé vecteur ……………………… du point M). On peut alors écrire : OM = x * i y * j z * k coordonnées du vecteur ou mieux Rem : x M y z OM (t ) x(t ) * i y(t ) * j z(t ) * k j O = vecteur……………………………….. du point M à l’instant t . OM (t ) varie au cours du mouvement. Rem 2 : x(t), y(t) et z(t) sont appelées ……………………………………….. du mouvement. 3. l’abscisse curviligne On peut repérer la position de M sur sa trajectoire par rapport à une origine I par son I (origine) abscisse curviligne s ou s(t) = IM ≠ IM Exo 5 : sur la figure de droite, dessiner en vert la distance curviligne IM correspondant à l’abscisse curviligne du point M et, en noir, la distance rectiligne IM correspondant à la longueur du segment IM. k Rem : s est une coordonnée qui peut être > 0 ou < 0. O i M j trajectoire Exo 6 : sur la trajectoire de la figure de droite, représenter un point M1 possédant s1 > 0 et un point M2 possédant s2 < 0. IV. Vitesse d’un point mobile 1. Quelques rappels a) Vitesse moyenne Définition : La vitesse moyenne vm entre les instants t1 et t2 est le rapport de la ………………………… d parcourue par la ………………………… t du parcours. Avion franchissant le mur du son (Mach 1) vm = …………………. avec d en mètre (m) ; t en seconde (s) et vm en m/s (ou m.s-1). Rem : l’unité de vitesse la plus couramment utilisée est le kilomètre par heure (km/h) ; c'est l'unité usuelle mais ce n'est pas l'unité légale. Calculer la correspondance entre les deux unités : 1 m/s = …………. km/h et 1 km/h = ……………….… m/s 1m ...............m ........km .............km / h 1s 3600s ....h 5 b) Ordres de grandeur Exo 7 : voici des ordres de grandeur de quelques vitesses donnés en vrac. Associer à chaque “ situation ” la valeur de la vitesse correspondante après l’avoir convertie en unité légale (S.I) : 56,375 km.h-1 ; 3,0.105 km.s-1 ; 1227,99 km.h-1 (Mach 1,020) ; 37,58 km.h-1 ; 30 km.s-1 ; 251,400 km.h-1 ; 3.103 km.h-1 ; 330 m.s-1. Situations Vitesse Vitesse (SI) * vitesse d’un skieur sur 100 m * vitesse d’un cycliste sur 1h * vitesse d’un athlète sur 100 m * vitesse maximale atteinte sur la Terre par une technologie humaine (voiture) * vitesse moyenne des molécules d’un gaz à 25°C * vitesse moyenne de la Terre autour du Soleil * vitesse du son dans l’air à 0°C * vitesse limite maximale pour toute “ information ” (et vitesse de la lumière dans le vide) Quelques réponses en vidéo : athlète (52 s) : http://www.youtube.com/watch?v=X9isSTi-PIM Vélo (36 s) http://www.youtube.com/watch?v=pVtOPgYyaSo&feature=related VTT sur neige (57 s) : http://www.youtube.com/watch?v=b-FuyNFBHCE&feature=related VTT sur route (avec chute 7 min 21) http://www.youtube.com/watch?v=ikVi-36nYbY Ski (30 s) : http://www.youtube.com/watch?v=dBUHNfwrnmI&feature=related Mur du son explication (US 2 min 31) : http://www.youtube.com/watch?v=-d9A2oq1N38&feature=related Mur du son vidéo (1 min 11) ,: http://www.youtube.com/watch?v=m_SyB7AUh40&feature=related Voiture (Thrust SSC 4 min 48) : http://www.youtube.com/watch?v=LKQ-xj5C2m8 Hommes volants Base jump (US 3 min 45) : http://www.youtube.com/watch?v=I4U6T_BB1N8&feature=related Bilan top 10 : (1 min 37) http://www.youtube.com/watch?v=NsTi81_zf1c c) Importance du référentiel Exo 8 : la vitesse de la voiture est de 90 km/h par rapport au …………… mais de ……… km/h par rapport au train. Phase 1 v = 75 km/h Conclusion : La vitesse d’un objet dépend du ……………………………….... choisi pour la mesurer. v = 90 km/h a a Rem : si dans un exercice le référentiel n’est pas précisé, c’est qu’il s’agit du référentiel terrestre. d) Vitesse instantanée Durant son record du monde, Usain Bolt avait une vitesse moyenne de 37,31 km/h. Cela ne signifie pas qu’à chaque instant de la course, il possédait cette vitesse. A chaque instant de la course, il possédait une vitesse différente qu’on appelle vitesse …………………………… : nulle au début de la course, elle a augmenté au fur et à mesure. C’est ce type de vitesse que mesure le compteur de la voiture ou le radar des gendarmes. Définition : la vitesse instantanée v(t) est la vitesse à un ………………….………. t donné. Sa valeur varie en général tout au long du trajet. Elle est égale à la vitesse moyenne pendant la durée la plus petite possible au voisinage de l’instant t. v=7 v= 6 2. Le vecteur vitesse v(t ) La valeur seule de la vitesse ne suffit pas pour caractériser précisément le mouvement d’un objet, il manque une ………………………. et un …………………. qui sont donnés par le vecteur vitesse. a) Définitions M1 à la date t1 Vecteur vitesse moyenne entre les dates t1 et t2 : …………………… k Ce vecteur possède les mêmes direction et sens que le vecteur …………. Sa signification physique est limitée car le déplacement véritable du mobile se réalise suivant la trajectoire courbe et non suivant le segment M1M2. O i M2 à la date t2 j Si on fait tendre t2 vers t1 , on obtient le vecteur vitesse instantanée à la date t1 : ……………………………………………. Conclusion : Le vecteur vitesse (instantanée) v(t ) d’un point mobile à l’instant t représenté par une flèche et caractérisé par : Son point d’application : le point M, Sa direction : la …………………………………………. à la trajectoire au point M, Son sens : …………………………………………………………… , Sa longueur (ou norme) : proportionnelle à la valeur de la …………………………………………………. . Exo 9 : représenter les vecteurs vitesses aux différents points de la trajectoire dans les 3 cas ci-dessous. Vous respecterez l’échelle indiquée : 9a) M1 : v1 = 57,6 km/h M2 : v2 = 36,0 km/h Echelle : 1 cm 10 m.s-1 Echelle : 1 cm 5 m.s-1 9c) M1 12 m 9b) M3 M2 : v2 = 57 km/h M1 : v1 = 173 km/h M2 Echelle : 1 cm 20 m.s-1 Vitesse rotation : 8 tours / mn M1 à la date t1 7 b) Propriété fondamentale (démonstration) k O i M2 à la date t2 j Conclusion : Le vecteur vitesse correspond à la …………………………. du vecteur ………………………….. par rapport au temps. c) Coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse Un repère cartésien orthonormé ( O ,i , j , k ) est très pratique pour étudier les mouvements …………………………………. Soient (x, y, z) les coordonnées du vecteur position (et celles du point M) et (vx, vy, vz) les coordonnées du vecteur vitesse dans le repère orthonormé ( O ,i , j , k ). Alors on peut écrire : OM (t ) = x * i y * j z * k et v(t ) = v x * i v y * j v z * k Démonstration : Conclusion : en coordonnées cartésiennes, les coordonnées du vecteur vitesse sont les ……………………………….. par rapport au temps des coordonnées du vecteur position. Rem : la valeur de la vitesse instantanée correspond à la norme du vecteur vitesse : v = ………………………….…………………. d) La base de Frenet La base de Frenet est un repère mobile lié au mouvement de M. C’est un repère privilégié pour étudier les mouvements ………………………….. et ……………………………….. Son origine est ……………………………………………….. (Il se déplace donc avec lui !). Ses axes sont définis par des vecteurs unitaires : , ……………………….. à la trajectoire et dirigé dans le ………………………………………….. - le vecteur n , ……………………….. à la trajectoire (donc perpendiculaire à ) et dirigé vers ………………………. de la concavité de la trajectoire. Exo 10 : représenter les vecteurs et n aux point M et M dans les 2 situations suivantes : - le vecteur 1 2 M1 M2 M2 M1 8 e) Vitesse et base de Frenet vitesse moyenne entre les dates t1 et t2 : M1 à la date t1 Origine I M2 à la date t2 vitesse instantanée en t1 : Conclusion : La vitesse (instantanée) correspond à la dérivée de ………………………………………… par rapport au temps. Dans la base de Frenet, le vecteur vitesse instantanée s’écrit : ……………………………………………………………………. V. 1. Accélération d’un point mobile Quelques rappels a) Accélération moyenne Définition : l’accélération moyenne am pendant la durée t (entre les instants t1 et t2) est le rapport de la ………………………………………………..……… v par la …………………………… t. am = ……………………… avec v en mètre par seconde (m.s-1) ; t en seconde (s) et am en ………………….. Rem : l’accélération correspond au « taux d’accroissement de la vitesse » pendant une durée t. Elle mesure « combien varie la vitesse en 1 s ». v (m/s) Exo 11 : le record du monde du 200 m établi en 2009 par Usain Bolt à Berlin est de 19,19 s. Voici l’allure de la courbe de sa vitesse en fonction du temps : 12,0 10,5 7,0 (I) (II) Décrire le mouvement du coureur pour chaque phase : (I) : (II) : 13,24 0 2,36 8,10 (III) : L’accélération est-elle constante dans la phase (I) ? Si NON, quelle est sa valeur maximum et entre quels instants l’observe-t-on ? La décélération est-elle constante dans la phase (III) ? Si OUI, quelle est sa valeur approximative ? b) (III) temps (s) 19,19 Accélération instantanée Définition : L’accélération instantanée a(t) est l’accélération à un …………………..… t donné. Sa valeur varie en général tout au long du trajet. Elle est égale à l’accélération moyenne pendant la durée la plus petite possible au voisinage de l’instant t. 9 c) Ordres de grandeur Exo 12 : voici des ordres de grandeur de quelques accélérations donnés en vrac et en multiples de g = 9,8 m/s2. Associer à chaque “ situation ” la valeur de l’accélération correspondante : 1 g ; 15 g ; 0,2 g ; 10 000 g ; 0,1 g ; 0,5 g ; 50 g ; 20 g. * chute libre Situations Situations * décollage avion * siège éjectable d’un avion de chasse * ascenseur * mouche * balle de fusil * freinage auto * choc d’une voiture contre un mur à 100 km/h 2. Le vecteur accélération accélération a(t ) accélération Mouvement Mouvement ………………………………… ………………………………… …. …. v(t ) Si le vecteur vitesse varie en norme (valeur) ou en direction, on dit que le point mobile M est soumis à une accélération que l’on peut représenter par un vecteur. Exo 13 : tracer 2 vecteurs vitesses à 2 instants différents du mouvement sans se préoccuper de l’échelle et compléter les trous. a) Accélération ? OUI ou NON ? Accélération ? OUI ou NON ? ………………………………… ………………………………… …. Définitions k Vecteur accélération moyenne entre les dates t1 et t2 : ……………… Ce vecteur possède les mêmes direction et sens que le vecteur …………… Tracer le vecteur …. M1 à la date t1 v2 - v1 au point M2. O i v1 j M2 à la date t2 v2 Si on fait tendre t2 vers t1 , on obtient le vecteur accélération instantanée à la date t1 : …………………………………… D’après une démonstration identique à celle concernant le vecteur vitesse, on peut retenir : Conclusion : Le vecteur accélération correspond à la …………………………. du vecteur ……………………… par rapport au temps. Démonstration : Conclusion : le vecteur accélération correspond aussi à la …………………………………………………..…………... du vecteur ……………………… par rapport au temps. 10 Exo 14 : représenter les vecteurs accélération moyenne entre les dates t1 et t2 au milieu du segment [M1M2] de la trajectoire dans les 3 cas ci-dessous. Vous choisirez une échelle appropriée pour ce vecteur. ATTENTION : Les valeurs de 14a) v v2 v1 ne s’obtiennent que par mesure graphique et non par un simple calcul ! M1 : v1 = 57,6 km/h M2 : v2 = 36,0 km/h Echelle vitesse : 1 cm 10 m.s-1 t = t2 – t1 = 0,74 s 14b) Echelle vitesse : 1 cm 20 m.s-1 t = t2 – t1 = 1,88 s M2 : v2 = 57 km/h M1 : v1 = 173 km/h 14c) M1 Echelle vitesse : 1 cm 5 m.s-1 Arc M1M2 = 2/5 tour Vitesse rotation : 8 tours / mn 12 m M2 11 b) Coordonnées cartésiennes du vecteur accélération Soient (x, y, z) les coordonnées du vecteur position (et du point M), (vx,vy, vz) les coordonnées du vecteur vitesse et (ax, ay, az) les coordonnées du vecteur accélération dans le repère orthonormé ( O ,i , j , k ). Alors on peut écrire : OM (t ) = x * i y * j z * k et v(t ) = v x * i v y * j v z * k et a(t ) = a x * i a y * j a z * k Démonstration : Conclusion : en coordonnées cartésiennes, les coordonnées du vecteur accélération sont les …………………………. des coordonnées du vecteur vitesse ou les ………………………………………………. des coordonnées du vecteur position par rapport au temps. Rem : la valeur de l’accélération instantanée correspond à la norme du vecteur accélération : a = ………………………………. c) Accélération et base de Frenet M à la date t n Accélération instantanée de M à la date t : Décomposer le vecteur a en une composante tangentielle suivant et une composante normale suivant n. a Dans la base de Frenet, le vecteur accélération (instantanée) s’ecrit : On démontre que : a = …………………………. et an = ……………………………… est le rayon de courbure de la trajectoire au point M. Il correspond au rayon du cercle auquel on peut assimiler la trajectoire atour de M. M1 Exo 15 : représenter les cercles tangents à la trajectoire aux points M1, M2 et M3, puis compléter les trous : Si la trajectoire est rectiligne, → …………… Si la trajectoire est circulaire, = ………………. M3 M2 Exo 16 : a) Une voiture de sport accélère de 0 à 100 km/h en ligne droite en 5,72 s, calculer a et an. b) Une voiture prend un rond point à la vitesse constante de 40 km/h, calculer a et an (diamètre rond point = 18 m). 12 Rem 1 : mouvements accélérés et décéléré : Si v …………………………, dv/dt > 0 donc a > 0 : la composante tangentielle Si v …………….……, dv/dt < 0 donc a < 0 : la composante tangentielle de a est dans le sens ……………….…...... de celui . Rem 2 : an = v2 / est toujours ……………..…………. : la composante normale que n a est dans le ………….. sens que . a n est toujours dans le ……………….. sens vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire. Rem3 : dans la base de Frenet, la valeur de l’accélération (instantanée) correspond encore à la norme du vecteur accélération : a = …………………………………………. VI. Principaux mouvements 1. Mouvement d’un point mobile a) Quelques définitions (rappels) Exo 17 : associer à chaque définition ci-dessous un mot choisi dans la liste suivante : uniforme, rectiligne, curviligne, circulaire, accéléré, ralenti ou retardé ou décéléré. Se dit du mouvement d’un point d’un objet dont la vitesse augmente. ……………………………………………………. Se dit du mouvement d’un point d’un objet évoluant dans un plan à distance constante d’un point fixe. ………………… Se dit du mouvement d’un point d’un objet dont la vitesse diminue. …………………………………………………….. Se dit du mouvement d’un point d’un objet dont la trajectoire est une droite……………………………………………… Se dit du mouvement d’un point d’un objet dont la vitesse reste constante. ………………………………………………. Se dit du mouvement d’un point d’un objet dont la trajectoire est courbe ………………………………………………… Exo 18 : caractériser les différents mouvements suivants en 2 mots : Mouvement : ……………….............................. ……………………………….… ………………………….......... b) Nature du mouvement Démonstration (1SMP uniquement) : dans la base de Frenet, le produit scalaire des deux vecteurs Conclusion : Si Si Si a et v a et v a et v a et v s’écrit : a * v > 0 d (v2) / dt > 0 donc v2 …... donc v ….. : le mouvement est ……………………… ont le sens contraire, a * v < 0 d (v2) / dt < 0 donc v2 …... donc v ….. : le mouvement est ………………...… sont perpendiculaires, a * v = 0 d (v2) / dt = 0 donc v2 …..................……… donc v ……………..……….. : ont le même sens, le mouvement est ………………...……………… 13 M1 M3 Exo 19 : caractériser le mouvement du point mobile sur sa trajectoire aux 3 points considérés. a a a M2 2. Mouvement des solides http://www.ostralo.net/3_animations/swf/mouvements.swf Il existe des mouvements de plusieurs sortes différentes : - en ligne droite, comme une pomme qui tombe d’un arbre lorsqu’il n’y a pas de vent ou un train qui démarre, - plus compliqué, comme une voiture qui prend un virage ou la Lune autour de la Terre, - encore plus complexe comme le déplacement d’un sauteur à la perche… a) Mouvement de translation A à la date t Définition: Un solide possède un mouvement de B reste ……………………….. à lui Quels que soient t et t’ et les points A et B choisis : même au cours du mouvement. A’ à la date t’ translation si tout segment du solide B’ [AB] // [A’B’] et AA’ = BB’ Exemples : Ex1 : translation ………………………… Ex2 : translation ………………………… Ex3 : translation ………………………… Droite décrite par A A Cercle décrit par A A A courbe quelconque décrite par A Rem : au cours d’un mouvement de translation, les trajectoires des différents points d’un solide sont ………………………….... b) Mouvement de rotation autour d’un axe fixe Définition : O2 M2 Un solide possède un mouvement de rotation autour d’un axe fixe si le mouvement de chacun de ses points est un ………………………………………… centré sur l’axe de rotation. O1 M1 14 Exemples : Ex1: rotation de la Terre autour de l’axe ………………………. Ex2 : rotation d’une porte autour d’un axe passant par ………. ……………………………………. gonds (charnières) 3. Mouvement complexe Les mouvements de translation et de rotation sont deux mouvements simples. Dans le cas le plus général, le mouvement d’un solide est plus complexe. Un mouvement complexe peut toujours se décomposer en un mouvement simple du centre d’inertie G (ou centre de gravité) du solide et un mouvement de rotation des autres points du solide autour d’un axe passant par G. Exemples : Ex1: jet d’une pièce de monnaie Ex2 : cylindre du rouleau compresseur Exo 20 : classez ces mouvements en mouvement de translation (T), de rotation autour d’un axe fixe (R) dont vous indiquerez l’axe ou mouvement complexe (C). Justifier vos réponses par des petits schémas simples. - Le mouvement de la valve d’une roue de vélo - La chute d’une pomme un jour de grand vent - L’ouverture d’une porte - La chute d’une pierre au fond d’un puits - Le déplacement d’un train en ligne droite - Le déplacement d’un cheval de bois sur un manège - Le mouvement de la nacelle d’une grande roue - Le mouvement d’un ballon de rugby au cours d’un « drop » - Le déplacement d’un tronc d’arbre qui roule sur le sol 15 VII. Mouvements rectilignes 1. Mouvement d’un point mobile a) Généralités : Le mouvement d’un point est rectiligne si sa trajectoire est une …………………………… O (origine) v = v x * i = ………………….. a = a x * i = ………………….. = ………………………….. v a i OM = x * i M (x, t) Conditions initiales (C.I) : à t = 0, x = x0 et vx = vx0 Rem : x, vx et ax peuvent être > 0, < 0 ou = 0. Dans notre exemple, x ………., vx ………… et ax ……….. b) Mouvement rectiligne uniformément varié Un mouvement est uniformément varié si son accélération est ……………………………… Démonstration : Conclusion : pour un mouvement rectiligne uniformément varié : ax = cte (1) / vx = ax*t + vx0 (2) / x = ½ ax*t2 + vx0*t + x0 (3) c) Mouvement rectiligne uniforme Un mouvement est uniforme si sa vitesse est ………………………………………… (1) ax = dvx / dt = ………….. (2) …………………………………. et (3) ………………………………………….. d) Exo 21 : 1. Une voiture, au hasard une Renault Clio grise, accélère avec une accélération régulière de 4,50 m.s-2 a. Au départ immobile, quelle durée met la voiture pour passer de 0 à 100 km/h ? On donnera 3 chiffres significatifs. b. Au départ immobile, en combien de temps la voiture parcourt-elle 100 m ? 500 m ? On donnera 3 chiffres significatifs. c. Quelle doit être sa vitesse initiale en km/h pour que la voiture parcoure 500 m en 10 s avec la même accélération ? On donnera 3 chiffres significatifs. 2. La voiture, lancée à 130 km/h freine avec une décélération de composante – 2,6 m.s-2 a. Calculer la durée totale du freinage ainsi que la distance de freinage. b. Calculer la valeur de son accélération en multiple de g pour que la voiture s’arrête au bout de 4,5 s ? Calculer alors la nouvelle distance de freinage. 16 2. Mouvement d’un solide en translation Exo 22 : représenter les trajectoires des points A, B et C ainsi que les vecteurs vitesse des 3 points aux 2 instants considérés (échelle : 1 cm 10 m.s-1). t1 : v1 = 10 m/s Conclure : dans un mouvement de translation, tous les points d’un solide t2 : v2 = 15 m/s A possède à chaque instant …………………………………… vecteur vitesse : (……………..direction, …………………..sens et …………….. norme). B v A (t ) = vB (t ) = vC (t ) = v(t ) qui est appelé vecteur vitesse du solide (tout entier). Rem : en général le vecteur vitesse du solide varie au cours du mouvement sauf dans un seul cas particulier : lequel ? ………………………………………….. C ………………………………………………………………………………. VIII. Mouvements circulaires 1. Mouvement d’un point mobile : http://phet.colorado.edu/en/simulation/rotation a) Généralités : Le mouvement d’un point est circulaire si sa trajectoire est un …………………………………. b) Vitesse angulaire moyenne M2 (t2) On considère un point M situé en M0 à t = 0 puis en M1 à t1 après avoir parcouru l’angle 1 puis en M2 à t2 après avoir parcouru l’angle 2. 1 et 2 sont appelées abscisses ………………..………. du point mobile M. 2 R M1 (t1) Leur unité SI est le …………………. Pendant la durée t = t2 – t1 le segment OM a effectué une rotation d’angle O 1 M0 (t = 0) ………………….. Définition : la vitesse angulaire moyenne m entre les instants t1 et t2 est le rapport de l’ …………………………………. 2 - 1 par la …………………………… t = t2 – t1 mise pour effectuer cette rotation. m = …………………………….. = …………………………… Avec = 2 - 1 en radians (rad) ; t en seconde (s) et m en rad.s-1 Exo 23 : calculer la valeur de la vitesse angulaire moyenne si 1 = 20 ° et 2 = 70 ° avec t1= 2 s et t2 = 12 s. Donner le résultat en ° / s. Interprétation du résultat : La vitesse angulaire moyenne représente …………………….. dont le mobile tourne, en moyenne en ……….…………… 17 Rem : l’unité légale d’angle est le ………………. de symbole : ………… Mais on utilise souvent les degrés ou les tours pour caractériser une rotation. Il faut donc bien savoir « jongler » avec ces unités différentes. tour 1/8 degrés radians 120 1 tour = ……………. degrés (°) = …………… radians (rad). 1/2 270 Exo 24 : compléter le tableau à droite. 1,34 c) Vitesse angulaire instantanée Définition : la vitesse angulaire instantanée (t) est la vitesse angulaire à un ………………….. t donné. Sa valeur varie en général au cours du mouvement. Elle est égale à la vitesse angulaire moyenne pendant la durée la plus petite possible au voisinage de l’instant t. Si on fait tendre t2 vers t1 , on obtient la vitesse angulaire instantanée à la date t1 : ………………………………………… Mathématiquement, (t) = ………………... Conclusion : La vitesse angulaire (instantanée) correspond à la dérivée de …………………………………………… par rapport au temps. d) Accélération angulaire D’après une démonstration identique à celle concernant l’accélération linéaire, on peut définir : Définition : l’accélération angulaire (t) correspond à la …………………………. de la vitesse angulaire par rapport au temps, donc à la ………………………………………………………….. de l’abscisse angulaire par rapport au temps. Mathématiquement, (t) = ………………............................................................ e) Unité = …………………………… Relation entre vitesse et vitesse angulaire M2 (t2) Exo 25 : choisir la bonne réponse à l’aide des figures à droite : L’écart d’angle entre M1 et M2 correspond à : 1 / 2 1 tour de cercle correspond à un écart d’angle de : 360 / 2 - 1 / 1 / 2 / radians. 2 R M1 (t1) La distance parcourue pour un point qui fait un tour de cercle dont le rayon est R, correspond au périmètre du cercle (Umfang des Kreisses). Sa valeur est : d = 2R R O R/2 / 1 Par analogie, la distance parcourue pour un point qui fait un arc de cercle M1M2 dont le rayon est R est alors : d = 2R R R / Si cette distance est parcourue pendant la durée t = t2 – t1, la vitesse moyenne du point est vm = ce qui correspond à : m * R t On a donc la relation : v m 2 * R t R t / m * R / m * R t / * R t / / R m vm m * R / vm R m M0 (t = 0) 18 Cette relation reste valable si les instants t1 et t2 sont très rapprochés, c’est-à-dire pour les vitesses instantanées. Conclusion : Dans un mouvement circulaire de rayon R : ……………………………………… f) v(t1) Mouvement circulaire uniforme v(t2) Puisque la vitesse est constante, la relation précédente montre que la vitesse angulaire est aussi ……………………………. . Et donc l’accélération angulaire est ……………………. Dans la base de Frenet, a = ……………………….…… et an = …………………………….. v(t4) v(t3) Généralisation : un point en mouvement circulaire uniforme subit une accélération centri ………………… c’est-à-dire dirigée vers le …………………………………. du cercle de valeur an = ……………….. = ……………….. Rem : bien que la vitesse du mobile soit constante, celui-ci subit quand même une accélération ! Cela vient du fait que la direction du vecteur vitesse varie même si sa norme ne varie pas. Cette accélération permet au mobile de rester sur sa trajectoire circulaire. Le mouvement se reproduit donc à intervalles de temps réguliers, on dit que c’est un mouvement …………………………….. Définition : la période T correspond à la durée pour effectuer ……………………………….. Rem : v = Unité : …………………… distance d parcourue ..................... (pour un tour de rayon R) = *R d’après la relation précédente d’où : durée t du parcours T (rad / s) = 2 (rad ) formule bien pratique à retenir… T (s) Définition : La fréquence f correspond au nombre de périodes par seconde. C’est aussi le nombre de tours effectués en une ………………… L’unité légale de fréquence est le ………………………. f(Hz) = Symbole : ………………… ( rad / s ) 1 = T (s) 2 ( rad ) Exo 26 : compléter le tableau suivant : situations Disque vinyle tournant à 45 tr/mn Période (s) Fréquence (Hz) Aiguille indiquant les secondes sur une montre Protons dans le LHC au CERN de Genève 91 ms pour effectuer un cercle de 27 km de circonférence Rotation de la Terre autour de l’axe des pôles 23 h 56 mn 04 s 19 2. Mouvement d’un solide en rotation autour d’un axe fixe Puisque le solide est indéformable, pendant la même durée, tous les points Paris du solide tournent d’un angle ….................................... et possèdent donc la ……………………………..vitesse angulaire. Exo 27 : la période de rotation de la Terre (rayon R T = 6,4.103km) autour de l’axe des pôles, dans le référentiel géocentrique, est de 23 h 56 mn 04 s. Calculer la valeur de la vitesse d’un point situé : a) Sur l’équateur, b) À la latitude de Paris soit 49 ° Nord, c) Au pôle sud. = 49 ° Conclusion : Tous les points d’un solide en rotation possèdent la même ………………………………………………. mais généralement pas la même ……………………………………………………………..
