les bornes des zeros d`un polynome en utilisant la methode de

Journal des Sciences
LES BORNES DES ZEROS D'UN POLYNOME EN UTILISANT
LA METHODE DE GRAEFFE SUR LES MATRICES.
1
Ismaïla DIOUF, 2Ousmane MOUSSA TESSA, 1Babacar DIAKHATE
Département Math-info FST-Université Cheikh Anta Diop-DAKAR-SENEGAL
2
Département de Mathématiques-Université Abdou Moumouni-NIAMEY – NIGER
1
* CORRESPONDANCE, E-MAIL:[email protected]
Résumé :
Dans ce papier, nous allons utiliser la méthode de Dandelin Graeffe et le théorème de Gerschgorin pour améliorer la valeur du
module de la plus grande racine d'un polynôme à coefficients complexes. Même pour certains polynômes jugés « difficiles », la
convergence obtenue en approximant ses racines est relativement rapide.
MSC (2000): 12D10, 34L15, 34L16, 26C05, 26C10.
Mots-clés : Zéros des polynomes, méthode de Dandelin-Graeffe, Théorème de Gerschgorin, Matrice compagnon (de Frobenius),
valeurs propres.
THEOREME DE GERSCHGORIN ET LA METHODE DE DANDELIN-GRAEFFE
Il est bien connu que les zéros du polynôme complexe de degré
sont les valeurs propres de sa matrice compagnon
soit donc
Il est commode et facile de déterminer des bornes concernant les modules des zéros d'un polynôme en se
référant au résultat bien connu suivant (Voir dans Mignotte ([7]) ou dans Parodi ([9])):
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Lemme 1 (Théorème de Gerschgorin).
Soit A
(aij) une matrice carrée d’ordre n et notons par CSj
la somme des coefficients de la matrice A
qui sont sur la je colonne exceptés sur la diagonale. Les valeurs propres de A
sont sur la réunion des disques définie par :
Il est clair qu’on a les mêmes résultats si l’on considère les lignes et non pas les colonnes de A.
Pour notre propos, nous allons utiliser
En analyse numérique, la méthode de Dandelin-Graeffe est utilisée pour le calcul du module de la plus
grande racine d’un polynôme à coefficients complexes. Rappelons cette méthode : soit P un polynôme
défini par :
où les
sont les racines de P.
Définissons la suite de polynômes (Pm) associée à P telle que
Notons P0
P et, si le polynôme Pm s’écrit sous la forme
Alors le polynôme Pm 1 peut s’écrire comme suit :
Définition 1. Soit CGm(P) la me puissance de C(P) avec m sous la forme
. Nous
appellerons matrice de graffe d’ordre m la matrice
Proposition 1. Les valeurs propres de CGm(P) sont les puissances me des racines de P. Plus précisément,
le polynôme caractéristique de CGm(P) est exactement la transformée de Graeffe d’ordre m de P notée
Gm(P).
Démonstration. Soit P un polynôme à coefficients complexes.
Il est clair que les racines de P sont les valeurs propres de C(P). Ainsi, les valeurs propres de
sont
celles de C(P) élevées à la puissance m.
Or Gm(P) admet pour racines celles de P élevées à la puissance m ([3]). Il s’ensuit que les valeurs propres
de CGm(P) sont les racines de Gm(P) d’où le résultat.
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Remarque 1. Dans le théorème ci-dessus, m est sous la forme
Cela est dû au fait que dans la méthode de Graeffe classique, à chaque étape, les racines obtenues sont les
carrés des précédentes. Néanmoins, ce résultat peut être généralisé au cas m quelconque. En effet, grâce
aux matrices, passer d’une étape
dans ce cas
à la suivante requiert la multiplication de
par C(P) et
.
Remarque 2. Comme dans la méthode de Graeffe, le module de la plus grande racine z1 de P est
approximativement la racine me de
, (voir thèse de I.DIOUF ([2])). Dans le cas des matrices,
l’approximation peut être faite en considérant la trace de
. Autrement dit, on a l’approximation
suivante :
Exemple 1. Soit
. On a
A l’aide d’un logiciel de calcul (exple sage), on calcule facilement
.
On a donc
sa trace est : 1853024483819138. Ainsi :
Ce qui correspond au résultat escompté (la plus grande racine de P est 3).
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Références:
[1] E. Deutsch,
Bounds for the zeros of polynomials, Amer. Math. Mon. 88 :205-206 (1981).
[2] I. Diouf,
Méthode de Dandelin-Graeffe et Méthode de Baker. Thèses de doctorat,(2007), Université Louis Pasteur.
[3] Méthode de Dandelin-Graeffe revisitée
[4] H. Linden,
Bounds for the Zeros of Polynomials from Eigenvalues and Singular Values of Some Companion
Matrices, Linear Algebra and its applications 271 :41-82 (1998).
[5] M. Marcus, H. Minc,
A survey of matrix theory and matrix inequalities, Dover Publications, Inc., New-York, 2nd ed., 1992.
[6] M. Marden,
The geometry of the zeros of a polynomial in a complex variable, American Mathematical Society, New
York, 1949.
[7] M. Mignotte,
Mathematics for Computer Algebra, Springer Verlag, New York, 1992.
[8] M. Mignotte, D. Stefanescu,
Polynomials - An Algorithmic Approach, Springer Verlag, New York, 1999.
[9] M. Parodi,
La Localisation des valeurs caractéristiques des Matrices et ses Applications, Gauthier-Villars, Paris,
1959.
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