les bornes des zeros d`un polynome en utilisant la methode de

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Résumé :
Dans ce papier, nous allons utiliser la méthode de Dandelin Graeffe et le théorème de Gerschgorin pour améliorer la valeur du
module de la plus grande racine d'un polynôme à coefficients complexes. Même pour certains polynômes jugés « difficiles », la
convergence obtenue en approximant ses racines est relativement rapide.
MSC (2000): 12D10, 34L15, 34L16, 26C05, 26C10.
Mots-clés : Zéros des polynomes, méthode de Dandelin-Graeffe, Théorème de Gerschgorin, Matrice compagnon (de Frobenius),
valeurs propres.
THEOREME DE GERSCHGORIN ET LA METHODE DE DANDELIN-GRAEFFE
Il est bien connu que les zéros du polynôme complexe de degré 
sont les valeurs propres de sa matrice compagnon
soit donc
Il est commode et facile de déterminer des bornes concernant les modules des zéros d'un polynôme en se
référant au résultat bien connu suivant (Voir dans Mignotte ([7]) ou dans Parodi ([9])):
Journal des Sciences
LES BORNES DES ZEROS D'UN POLYNOME EN UTILISANT
LA METHODE DE GRAEFFE SUR LES MATRICES.
1Ismaïla DIOUF, 2Ousmane MOUSSA TESSA, 1Babacar DIAKHATE
1Département Math-info FST-Université Cheikh Anta Diop-DAKAR-SENEGAL
2Département de Mathématiques-Université Abdou Moumouni-NIAMEY  NIGER
* CORRESPONDANCE, E-MAIL:[e-mail]

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Lemme 1 (Théorème de Gerschgorin).
qui sont sur la je colonne exceptés sur la diagonale. Les valeurs propres de A
sont sur la réunion des disques définie par :
Pour notre propos, nous allons utiliser
En analyse numérique, la méthode de Dandelin-Graeffe est utilisée pour le calcul du module de la plus
Rappelons cette méthode : soit P un polynôme
défini par :
où les  sont les racines de P.
Définissons la suite de polynômes (Pm) associée à P telle que
Définition 1. Soit CGm(P) la me puissance de C(P) avec m sous la forme . Nous
Proposition 1. Les valeurs propres de CGm(P) sont les puissances me des racines de P. Plus précisément,
Gm(P).
Démonstration. Soit P un polynôme à coefficients complexes.
Il est clair que les racines de P sont les valeurs propres de C(P). Ainsi, les valeurs propres de  sont
celles de C(P) élevées à la puissance m.
.

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Remarque 1. Dans le théorème ci-dessus, m est sous la forme 
Cela est dû au fait que dans la méthode de Graeffe classique, à chaque étape, les racines obtenues sont les
carrés des précédentes. Néanmoins, ce résultat peut être généralisé au cas m quelconque. En effet, grâce
 à la suivante requiert la multiplication de  par C(P) et
dans ce cas .
Remarque 2. Comme dans la méthode de Graeffe, le module de la plus grande racine z1 de P est
approximativement la racine me de , (voir thèse de I.DIOUF ([2])). Dans le cas des matrices,
. 
suivante : 
Exemple 1. Soit . On a
.
On a donc
sa trace est : 1853024483819138. Ainsi :
Ce qui correspond au résultat escompté (la plus grande racine de P est 3).

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Références:
[1] E. Deutsch,
Bounds for the zeros of polynomials, Amer. Math. Mon. 88 :205-206 (1981).
[2] I. Diouf,
Méthode de Dandelin-Graeffe et Méthode de Baker. Thèses de doctorat,(2007), Université Louis Pasteur.
[3] Méthode de Dandelin-Graeffe revisitée
[4] H. Linden,
Bounds for the Zeros of Polynomials from Eigenvalues and Singular Values of Some Companion
Matrices, Linear Algebra and its applications 271 :41-82 (1998).
[5] M. Marcus, H. Minc,
A survey of matrix theory and matrix inequalities, Dover Publications, Inc., New-York, 2nd ed., 1992.
[6] M. Marden,
The geometry of the zeros of a polynomial in a complex variable, American Mathematical Society, New
York, 1949.
[7] M. Mignotte,
Mathematics for Computer Algebra, Springer Verlag, New York, 1992.
[8] M. Mignotte, D. Stefanescu,
Polynomials - An Algorithmic Approach, Springer Verlag, New York, 1999.
[9] M. Parodi,
La Localisation des valeurs caractéristiques des Matrices et ses Applications, Gauthier-Villars, Paris,
1959.