Séries trigonométriques

Séries trigonométriques
1. Généralités
Définitions 1.1
Soient (an)n et (bn)n deux suitescomplexes.
On appelle série trigonométrique toute série (fn)n de fonctions de  dans  dont le terme général est
défini sur  par fn(t) = an cos nt + bn sin nt (1).
Remarques 1.2


Les séries trigonométriques sont, comme les séries entières, des séries de fonctions d'une forme
particulière.
Avec les notations de la définition 1.1, on a, pour tout réel t, f0(t) = a0 et b0 n'intervient pas.
On supposera donc que b0 = 0.
Propriété 1.3
Le terme général d'une série trigonométrique peut s'écrire :
t, f0(t) = a0 et fn(t) = c n e int + c −n e −int si n  1 (2).
On parle alors de la série (c n e int + c −n e −int ).
Démonstration
int
−int
int
−int
−int
int
Puisque cos nt = e + e et sin nt = e − e = ie − ie , on obtient
2 −int
2
2i
int
−int
int
a n − ib n int a n + ib n −int
e
+
e
ie
−
ie
fn(t) = a n
+ bn
=
e +
e .
2
2
2
2
a n − ib n

 cn =
2
Il suffit donc de poser : a0 = c0, b0 = 0 et 
a
+ ib n si n  1 pour obtenir la forme voulue.
n
 c −n =
2

Remarques 1.4
Avec les notations de la définition et de la propriété :

La forme (2) est appelée la forme complexe de la série trigonométrique et la forme (1) est appelée
la forme réelle même si, rappelons-le, les coefficients an et bn peuvent être complexes.

En cas de convergence, la somme (c n e int + c −n e −int ) peut être notée
nm0

+∞
ce
n
int
.
n=−∞
Cette notation correspond à une série dite à double entrée.
 a n = c n + c −n
On a 
pour n  1. On peut donc facilement passer d'une forme à l'autre.
 b n = (c n − c −n )i
Francis Wlazinski
1

Pour tout entier n, la fonction fn est infiniment dérivable sur  et est 2π-périodique.
En particulier, si la série numérique (an cos nx + bn sin nx) converge pour un réel x et si S est sa
somme, alors la série numérique (an cos n(x + 2π) + bn sin n(x + 2π)) est convergente de même
somme S. Ce que l'on peut aussi traduire aussi par : en cas de convergence, la fonction
S(x) = (c n e int + c −n e −int ) est 2π-périodique.
nm0
2. Convergence
Propriété 2.1
Soient (an)n, (bn)n et (cn)n trois suites complexes.
On considère une série trigonométrique des formes équivalentes (1) ou (2).
La série de terme général | an | + | bn | (pour n  0) et la série de terme général | cn | + | c−n | (pour n  0) sont
de même nature.
En cas de convergence, la série trigonométrique (c n e int + c −n e −int ) est normalement convergente sur .
Remarque 2.2
Les hypothèses de convergence sont vérifiées si les séries a n et b n sont toutes les deux absolument
convergentes ou si les séries c n et c −n sont toutes les deux absolument convergentes.
Démonstration
On a | an | + | bn | = | cn + c−n | + | (cn − c−n)i | ≤ | cn | + | c−n | + | cn − c−n | ≤ | cn | + | c−n | + | cn | + | c−n | ≤ 2(| cn | + | c−n |)
a − ib n
a + ib n
a + bn
a + bn
et | cn | + | c−n | = n
≤ n
+ n
≤ | an | + | bn |.
+ n
2
2
2
2
En cas de convergence, on obtient directement le résultat puisque | an cos nt + bn sin nt | ≤ | an | + | bn | n
et t et puisque les séries (a n cos nt + b n sin nt) et (c n e int + c −n e −int ) sont les mêmes.
Exemple 2.3
La série de terme général n12 cos nx −
Rappel 2.4
1 sin nx est normalement convergente sur .
n3
Règle d'Abel
p
Soit e une suite de nombres complexes telle que, pour tout entier p, la somme S̃ p = e k soit bornée.
k=1
Soit u une suite de nombres positifs, décroissante et qui tend vers 0.
Alors la série e n u n est convergente.
Corollaire 2.5
Soit u une suite de nombres positifs, décroissante et qui tend vers 0.
Pour tout x\ 2, les séries numériques u n e inx , u n cos nx et u n sin nx sont convergentes.
Ce qui signifie que les séries de fonctions u n e inx , u n cos nx et u n sin nx sont simplement
convergentes sur tout intervalle de la forme ]2kπ;(2k + 2)π[ où k.
De plus, la convergence est uniforme sur tout intervalle de la forme [2kπ + α;(2k + 2)π − α] où k et
α vérifie 0 < α < π.
Francis Wlazinski
2
Remarques 2.6



La convergence est donc uniforme sur tout fermé borné (compact) de ]2kπ;(2k + 2)π[ k.
Si x = 2k avec k, alors la série u n e inx est la série numérique u n .
Etant donné la périodicité, il suffit souvent de travailler dans un intervalle de longueur 2π.
Généralement, le plus simple est [0;2π].
Démonstration
p
Remarquons d'abord que u k cos kx = Re
k=0
p
u k e ikx et que u k sin kx = Im
p
u e
k=0
k=1
k=0
La convergence de la série u n e inx implique donc celle des deux autres.
Si x = 2j avec j,
p
e
Si x = (2j1 avec j,
p
e
ikx
=
k=0
Si, ∀j, x  j, alors
p
e
k
ikx
.
= p + 1.
ikx
k=0
p
ikx
p
(−1)
k
= 1 si p est pair et
k=0
= e
k=0
p
e
ikx
= 0 si p est impair.
k=0
−1 = e
e ix/2
e ix − 1
i(p+1)x
i(p+1)x/2
e
% e e ix/2 −
− e −ix/2
i(p+1)x/2
−i(p+1)x/2
= e ipx/2 %
sin
(p + 1)x
2
.
sin x
2
1 .
sin x
2
Si x\ 2, nous sommes donc dans les hypothèses de la règle d'Abel et la série u n e inx converge.
[
Remarquons maintenant que, si x[2kπ + α;(2k + 2)π − α], alors x [kπ + ;(k + 1)π − ] et sin x m sin .
2
2
2
2
2
p
Donc
e
n+p
ikx
[
k=0
1 . Si on pose S n+p =
u k e ikx , en utilisant la substitution d'Abel, on obtient
n
k=n+1
sin 2
1 . Puisque lim u = 0, on en déduit que, pour tout réel ε, on peut trouver un entier N
nd+∞ n
sin 2
n+p
tel que, ∀p ≥ 0, si n ≥ N alors u k e ikx < et ceci pour tout x[2kπ + α;(2k + 2)π − α].
S pn [ 2u n+1 %
k=n+1
Exemples 2.7


La série cosnnx converge pour tout x\ 2 et elle diverge pour x = 2k où k.
La série sinnnx converge pour tout x.
En effet, si x = 2k avec k, cette série est la série nulle.
Corollaire 2.8
Soient (an)n, (bn)n et (cn)n trois suites complexes.
On considère une série trigonométrique des formes équivalentes (1) ou (2).
Si les suites de terme général cn et c−n (pour n  0) sont des suites de nombres positifs, décroissantes et
qui tendent vers 0. Alors les séries trigonométriques (a n cos nt + b n sin nt) ou (c n e int + c −n e −int ) sont
simplement convergentes sur tout intervalle de la forme ]2kπ;(2k + 2)π[ où k.
De plus, la convergence est uniforme sur tout intervalle de la forme [2kπ + α;(2k + 2)π − α] où k et
α vérifie 0 < α < π.
Francis Wlazinski
3
3. Somme d'une série trigonométrique et opérateurs
Corollaire 3.1
Soient (an)n, (bn)n et (cn)n trois suites complexes.
a.
Si la série de terme général | cn | + | c−n | (pour n  0) est convergente alors la somme de la série
trigonométrique (c n e int + c −n e −int ) est continue sur .
a'.
Si la série de terme général | an | + | bn | (pour n  0) est convergente alors la somme de la série
trigonométrique (a n cos nt + b n sin nt) est continue sur .
b.
Si les suites de terme général cn et c−n (pour n  0) sont des suites de nombres réels positifs,
décroissantes et qui tendent vers 0, alors la somme de la série (c n e int + c −n e −int ) est continue sur
tout intervalle de la forme ]2kπ;(2k + 2)π[ où k.
b'.
Si les suites de terme général an et bn (pour n  0) sont des suites de nombres positifs,
décroissantes et qui tendent vers 0, alors la somme de la série (a n cos nt + b n sin nt) est continue
sur tout intervalle de la forme ]2kπ;(2k + 2)π[ où k.
c.
Si les séries n cn et n c−n sont absolument convergentes (il en est de même des séries cn et
c−n) alors (c n e int + c −n e −int ) est dérivable sur  et sa dérivée est (inc n e int − inc −n e −int ).
nm0
c'.
nm0
Si les séries n an et n bn sont absolument convergentes alors (a n cos nt + b n sin nt) est
dérivable sur  et sa dérivée est (−na n sin nt + nb n cos nt).
nm0
nm0
d.
Si les séries cn et c−n sont absolument convergentes, alors, pour tout réel x, la série
x
¶(c e
n
x
int
+ c −n e −int )dt converge vers ¶ (c n e int + c −n e −int )dt.
0 nm0
0
d'.
Si les séries an et bn sont absolument convergentes, alors, pour tout réel x, la série
x
¶(a
x
n cos nt + b n sin nt) dt converge vers ¶ (a n cos nt + b n sin nt) dt.
0
0 nm0
Propriété 3.2
Soit a n z n une série entière de rayon de convergence non nul R et de somme S(z).
Alors, r]0;R[, la série trigonométrique a n r n e inx converge normalement sur  vers S(re ix ) .
Démonstration
Pour tout réel x, a n r n e inx [ a n r n et la série a n r n est absolument convergente.
n
De plus, on a r n e inx = (re ix ) .
Remarque 3.3
On peut ainsi former des séries trigonométriques dont la somme est connue et dont on peut séparer la
partie imaginaire et la partie réelle.
Exemple 3.4
Pour tout complexe z tel que | z | < 1, on a 1 + z = 1 + 2z 1 = 1 + 2z z n = 1 + 2 z n .
1−z
1−z
nm0
nm1
ix
ix
En remplaçant z par r e avec r]0;1[ et x, on obtient 1 + re ix = 1 + 2 r n e inx .
1 − re
nm1
ix
(1
+
r
cos
x
+
ir
sin
x)(1 − r cos x + ir sin x)
1
+
re
1
+
r
cos
x
+
ir
sin
x
De plus,
=
=
1 − re ix 1 − r cos x − ir sin x (1 − r cos x − ir sin x)(1 − r cos x + ir sin x)
2
2
(1 + ir sin x) − r cos 2 x 1 − r 2 + 2ir sin x
.
=
=
1 + r 2 − 2r cos x
(1 − r cos x) 2 + r 2 sin 2 x
Francis Wlazinski
4
On a donc :
ix
1 − r2
1 + 2 r n cos nx = Re 1 + 2 r n e inx = Re 1 + re ix =
et
1 − re
1 + r 2 − 2r cos x
nm1
nm1
ix
2r sin x
1 + 2 r n sin nx = Im 1 + 2 r n e inx = Im 1 + re ix =
2 − 2r cos x .
1
−
re
1
+
r
nm1
nm1
4. Développement en série trigonométrique
Propriété 4.1
Soient (an)n, (bn)n et (cn)n trois suites complexes.
On considère une série trigonométrique des formes équivalentes (1) ou (2).
Si cette série converge uniformément sur  et si S est sa somme i.e S(x) = (c n e inx + c −n e −inx ) x,
nm0
alors on a :
2
ck = 1
2
a.
¶ S(t)e
1
ak = 1
bk = c.
dt ∀k.
0
2
a0 = 1
2
b.
−ikt
¶ S(t) dt
2
0
¶ S(t) cos kt dt si k  1.
0
2
¶ S(t) sin kt dt.
0
Remarque 4.2
On peut remplacer les intégrales de 0 à 2π par des intégrales de a à a + 2π quel que soit le réel a.
En effet, si g est une fonction 2π-périodique intégrable sur , en utilisant le changement de variable
2+a
u = t − 2π, pour tout réel a, on a
2+a
Donc
¶
0
2
a
0
¶
a
g(t) dt = ¶ g(u) du.
2
g(t) dt = ¶ g(t) dt + ¶ g(t) dt +
a
2+a
¶
0
a
2
a
2
0
0
0
0
g(t) dt = − ¶ g(t) dt + ¶ g(t) dt + ¶ g(t) dt =
2
¶ g(t) dt.
Démonstration
a.
Remarquons en premier lieu que, pour tout couple d'entiers relatifs (p,q), on a :
2
Si p  −q, alors
¶e
2
¶ 1 dt = 2.
e dt =
ipt iqt
0
2
0
2
¶e
¶e
e dt =
ipt iqt
i(p+q)t
1 e i(p+q)t
dt = p +
q
2
1 − 1 = 0.
= p+
q p+q
0
0
Si S(x) = (c n e inx + c −n e −inx ), alors, pour tout entier relatif k, S(x)e −ikx = (c n e inx e −ikx + c −n e −inx e −ikx ).
Si p  −q, alors
0
nm0
nm0
2
Donc,
¶ S(t)e
2
−ikt
dt =
¶ (c e
n
0 nm0
0
b.
a0 = c0 = 1
2
2
0
¶e
+ c −n e −inx e −ikx ) dx = ¶ (c n e inx e −ikx + c −n e −inx e −ikx ) dx
nm0 0
2
inx −ikx
e
dx + c −n
0
2
¶ S(t)e
0
b k = (c k − c −k )i = i
2
Francis Wlazinski
e
¶e
−inx −ikx
e
2
dx = c k
0
¶e
ikx −ikx
e
dx = 2c k .
0
¶ S(t) dt.
a k = c k + c −k = 1
2
c.
inx −ikx
2
= cn
nm0
2
−ikt
dt + 1
2
2
¶ S(t)e
0
−ikt
2
¶ S(t)e dt = 1
ikt
0
dt − i
2
0
¶ S(t) e
0
2
¶ S(t)e
2
ikt
1
dt = 2
it
+ e −ikt dt si k  1.
2
¶ S(t) e
0
it
− e −ikt dt.
2i
5
Corollaire 4.3
Soient (an)n, (bn)n et (cn)n trois suites complexes.
On considère une série trigonométrique des formes équivalentes (1) ou (2).
On suppose que cette série converge uniformément sur  et que S est sa somme.
Si S est paire, alors b n = 0 et c −n = c n pour tout entier n.
Si S est impaire, alors a n = 0 et c −n = −c n pour tout entier n.
Démonstration
1
D'après la remarque, en prenant a = − π, on obtient b k = ¶ S(t) sin kt dt et a k = 1
−
Si S est paire, la fonction t x S(t) sin kt est impaire donc b k = 0.
Si S est impaire, la fonction t x S(t) cos kt est impaire donc a k = 0.
¶ S(t) cos kt dt si k  1.
−
5. Séries de Fourier
Définition 5.1
Soit f une fonction définie sur ,2π-périodique et continue par morceaux.
On appelle série de Fourier de f la série trigonométrique des formes équivalentes (1) ou (2) dont les
coefficients (appelés coefficients de Fourier de f) vérifient :
2
1
a.
ck =
¶ f(t)e −ikt dt ∀k.
2 0
b.
1
ak = c.
2
a0 = 1
2
1
bk = ¶ f(t) dt
2
0
¶ f(t) cos kt dt si k  1.
0
2
¶ f(t) sin kt dt.
0
Remarque 5.2
Les problèmes qui se posent à nous sont les suivants :
Etant donné un réel x0, la série de Fourrier d'une fonction f converge-t-elle en x0?
Si oui, quel rapport y-a-t-il entre la somme de la série et f (x0)?
Lemme 5.3
Soit f une fonction définie sur ,2π-périodique et continue par morceaux.
Les coefficients de Fourier de f vérifient : nd+∞
lim a n = nd+∞
lim b n = nd+∞
lim c n = nd+∞
lim c −n = 0.
b
Plus généralement, lim
d+∞
¶ f(t)e
a
b
it
dt = lim
d+∞
¶ f(t) cos t dt =
a
b
lim
d+∞
¶ f(t) sin t dt = 0
a,b.
a
Notation 5.4
Si les limites existent, on note f (t0 + 0) = lim
f (t) et f (t0 − 0) = lim
f (t).
tdt
tdt
0
t>t 0
Francis Wlazinski
0
t<t 0
6
Propriété 5.5
Théorème de Dirichlet
Soit f une fonction définie sur ,2π-périodique et continue par morceaux.
f(x 0 + h) − f(x 0 + 0)
f(x 0 + h) − f(x 0 − 0)
Si les limites lim
et lim
existent et sont finies, alors la série de
hd0
h
hd0
h
h>0
h<0
Fourier de f converge en x0 et a pour somme 1 [f(x 0 − 0) + f(x 0 + 0) ] en ce point.
2
Remarque 5.6
En particulier, si f est dérivable en x0, alors la série de Fourier de f converge vers f (x0) au point x0.
Démonstration
Soient (cn)n les coefficients de Fourier de f.
2
p
p
1
ikx 0
On pose [Sp(f)](x0) = c k e = ¶ f(t)e −ikt dt e ikx0
k=−p
k=−p 2 0
2
2
p
p
= 1 ¶ f(t)e −ikt e ikx 0 dt = 1 ¶ f(t) e −ik(t−x 0 ) dt.
2 0 k=−p
2 0
k=−p
En utilisant le changement de variable u = t − x0, on obtient :
2+x 0
p
[Sp(f)](x0) = 1 ¶ f(u + x 0 ) e −iku du
2 x 0
k=−p
= 1
2
p
¶ f(u + x ) e
0
−
−iku
car u x f(u + x 0 )
du
k=−p
e
−iku
est 2π-périodique.
k=−p
p
Si u = 2jπ avec j, alors
p
e
−iku
= 2p + 1.
k=−p
p
Si u  2jπ pour tout j, alors
e
2p
−iku
= e −ipu e −iku = e −ipu % e ipu %
k=−p
k=0
sin
(2p + 1)u
(2p + 1)u
sin
2
2
.
=
u
u
sin
sin
2
2
(2p + 1)u
sin
2
De plus, lim
= 2p + 1.
ud0
sin u
2
p
L'application u x e −iku est une fonction paire continue en 0 et donc sur [−π;π].
On a ¶
k=−p
p
p
e
−iku
du =
0 k=−p
=
¶e
−iku
du =
k=−p 0
−1 p
¶ cos ku + i sin ku du
k=−p 0
p
¶ cos ku + i sin ku du + ¶ 1 du + ¶ cos ku + i sin ku du
k=−p 0
p k=1 0
p 0
= ¶ cos(−ku) + i sin(−k)u du + + ¶ cos ku + i sin ku du
k=1 0
p
p
k=1 0
= + ¶ cos ku − i sin ku du + ¶ cos ku + i sin ku du
k=1 0
p k=1 0
= + ¶ cos ku du
=+
k=1 0
p
k=−p
En particulier, 2π =
p
¶e
− k=−p
Francis Wlazinski
1 sin ku
k
−iku
du =
¶
−
0
=
sin
(2p + 1)u
2
du.
sin u
2
7
(2p + 1)u
sin
f(x 0 − 0) + f(x 0 + 0)
f(x 0 − 0) + f(x 0 + 0)
2
[Sp(f)](x0) −
= 1 ¶ f(x 0 + u)
du −
u
2
2
2 −
sin
2
(2p + 1)u
sin
f(x 0 − 0) + f(x 0 + 0)
2
du −
% 2
= 1 ¶ f(x 0 + u)
u
2 −
2
sin
2
(2p
+
1)u
(2p + 1)u
sin
sin
f(x
−
0)
+
f(x
+
0)
0
0
2
2
= 1 ¶ f(x 0 + u)
du −
%¶
du
u
2 −
2
sin u
sin
−
2
2
(2p
+
1)u
sin
f(x 0 − 0) + f(x 0 + 0)
2
= 1 ¶ f(x 0 + u) −
%
du
2 −
2
sin u
2
(2p
+
1)u
(2p + 1)u
sin
sin
f(x
+
u)
−
f(x
−
0)
f(x
+
u)
−
f(x
+
0)
0
0
0
0
2
2
= 1 ¶
%
du + ¶
%
du
u
u
2 −
2
2
sin
sin
−
2
2
(2p + 1)u
f(x 0 + u) − f(x 0 − 0)
% sin
du = 0.
u
2
2 sin
−
2
f(x 0 − 0) + f(x 0 + 0)
lim [Sp(f)](x0) =
Donc pd+∞
.
2
Or, d'après le lemme, pd+∞
lim
¶
Propriété 5.7
Théorème de Parseval
Soit f une fonction définie et continue par morceaux sur [−π;π].
Soient (an)n, (bn)n et (cn)n les suites complexes des coefficients de Fourier de f.
Alors :
¶ f(t)
−
Francis Wlazinski
2
+∞
+∞
dt = 2 c 0 + 2 ( c n + c −n ) = 2 a 0 + ( a n + b n ) .
2
n=1
2
2
2
2
2
n=1
8