3 Fractions rationnelles généralisées
Une fraction rationnelle généralisée est une famille f= (fa)a∈Cdont chaque
membre faest une série de Laurent en X−a. Les nombres complexes fa,n
s’appellent les coefficients de f. Les fractions rationnelles généralisées s’addi-
tionnent, se multiplient et se dérivent composante par composante.
À tout polynôme Pest associée la fraction rationnelle généralisée
∞
X
n=0
P(n)(a)
n!(X−a)n!a∈C
.(2)
Comme la somme formelle dans la parenthèse ne contient qu’un nombre fini de
termes non nuls, elle peut être vue comme un polynôme. En tant que telle, elle est
bien sûr égale au polynôme P. Les sommes, produits et dérivées de polynômes
en tant que polynômes coïncident donc avec leurs sommes, produits et dérivées
en tant que fractions rationnelles généralisées. Ces faits nous invitent à désigner
encore par Pla fraction rationnelle généralisée (2).
Nous pouvons alors définir une fraction rationnelle comme étant une fraction
rationnelle généralisée obtenue en divisant un polynôme par un polynôme non
nul. Les sommes, produits et dérivées de fractions rationnelles sont des fractions
rationnelles. Si une fraction rationnelle généralisée non nulle f= (fa)a∈Cest une
fraction rationnelle, alors faest non nulle pour tout a.
Pour toute fraction rationnelle généralisée fet tout nombre complexe aon pose
µ(a, f) := inf {n∈Z|fa,n 6= 0}
avec la convention inf ∅= +∞, et on dit que µ(a, f)est la multiplicité de a
comme zéro, ou racine, de f. On a
µ(a, fg) = µ(a, f) + µ(a, g).
Si µ(a, f)≥0on dit que fest définie en a, et on désigne fa,0par f(a). Si une
fraction rationnelle généralisée fest définie en un nombre complexe a, alors on a
fa=
∞
X
n=0
f(n)(a)
n!(X−a)n.
Toute somme, produit ou dérivée de fractions rationnelles généralisées définies en
aest une fraction rationnelle généralisée définie en a.
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