Chinoiseries

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Tue Dec 23 09 :13 :38 CET 2008. Jean-Marie Didry et Pierre-Yves Gaillard
Chinoiseries
Table des matières
1 Introduction 2
2 Séries de Laurent 3
3 Fractions rationnelles généralisées 4
4 Théorème chinois 6
5 Exponentielle 9
6 Matrices 10
7 Suites récurrentes 11
8 Équations différentielles 12
9 Euclide 13
10 Le cas d’un anneau quelconque 18
11 Reste universel 20
12 Une adjonction 21
13 Wronski 22
1

1 Introduction
Le propos de ce texte est de fournir une formulation commode de certains résultats
folkloriques. Les cinq enoncés principaux sont le théorème 28 page 15, le théo-
rème 30 page 17, le théorème 31 page 17, le théorème 32 page 18, et le théorème
33 page 19.
Par “polynôme” on entend “polynôme à coefficients complexes dans l’indéter-
minée X”.
Nous montrons que
– le calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d’un polynôme par
un polynôme non nul,
– la décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples,
– le calcul d’une suite récurrente,
– l’exponentiation d’une matrice,
– l’intégration d’une équation différentielle ordinaire linéaire d’ordre nà coeffi-
cients constants
résultent d’une formule unique, simple et évidente : c’est la formule (3) page 7,
que nous appelons formule de Taylor-Gauss.
Le corps C(X)des fractions rationnelles et l’anneau Edes fonctions entières
sont deux exemples importants d’anneaux différentiels contenant C[X]. Le sous-
anneau C[X]“contrôle” Edans le sens où toute fonction entière peut être divisée
euclidiennement par un polynôme non nul, le reste étant un polynôme de degré
strictement plus petit que celui du diviseur. Parmi les anneaux jouissant de cette
propriété, il y en a un qui contient tous les autres : c’est l’anneau différentiel
Y
a∈C
C[[X−a]].(1)
Tout C[X]-module de torsion est un module sur l’anneau (1), et cet anneau est
universel pour cette propriété. En particulier tout élément fde (1) peut être évalué
sur une matrice carrée A, la matrice f(A)étant par définition R(A), où Rest le
reste de la division euclidienne de fpar un polynôme non nul annulant A. Comme
il y a une formule évidente pour ce reste (la formule de Taylor-Gauss), le tour est
joué. Un exemple important consiste à prendre pour fla fonction exponentielle,
vue comme l’élément de (1) dont la a-ème composante est la série de Taylor de eX
en a. On retrouve bien sûr la notion habituelle d’exponentielle de matrice, mais
débarrassée de ses complications artificielles.
2

Il est commode d’introduire l’anneau différentiel fourre-tout
Y
a∈C
C((X−a))
qui contient à la fois C(X)et E. Un avantage accessoire de cet anneau est qu’il
court-circuite la construction habituelle (particulièrement peu instructive) du corps
des fractions rationnelles (en tant que corps différentiel) à partir de l’anneau des
polynômes.
2 Séries de Laurent
Soit aun nombre complexe. Une série de Laurent en X−aest une expression
de la forme
f=f(X) = X
n∈Z
fa,n (X−a)n,
où (fa,n)n∈Zest une famille de nombres complexes pour laquelle il existe un entier
natel que n < naimplique fa,n = 0.
On définit les opérations d’addition, multiplication et dérivation sur les séries
de Laurent en X−apar
(f+g)a,n =fa,n +ga,n,
(f g)a,n =X
p+q=n
fa,p ga,q,
(f0)a,n = (n+ 1) fa,n+1,
et on vérifie que ces opérations ont les mêmes propriétés que sur les polynômes.
Théorème 1. Soit fune série de Laurent en X−a. Si f6= 0, alors il existe une
unique série de Laurent gen X−atelle que f g = 1.
Preuve. Exercice.
On pose alors g= 1/f =1
fet h g =h/f =h fsi hest une série de Laurent en
X−a.
3

3 Fractions rationnelles généralisées
Une fraction rationnelle généralisée est une famille f= (fa)a∈Cdont chaque
membre faest une série de Laurent en X−a. Les nombres complexes fa,n
s’appellent les coefficients de f. Les fractions rationnelles généralisées s’addi-
tionnent, se multiplient et se dérivent composante par composante.
À tout polynôme Pest associée la fraction rationnelle généralisée
∞
X
n=0
P(n)(a)
n!(X−a)n!a∈C
.(2)
Comme la somme formelle dans la parenthèse ne contient qu’un nombre fini de
termes non nuls, elle peut être vue comme un polynôme. En tant que telle, elle est
bien sûr égale au polynôme P. Les sommes, produits et dérivées de polynômes
en tant que polynômes coïncident donc avec leurs sommes, produits et dérivées
en tant que fractions rationnelles généralisées. Ces faits nous invitent à désigner
encore par Pla fraction rationnelle généralisée (2).
Nous pouvons alors définir une fraction rationnelle comme étant une fraction
rationnelle généralisée obtenue en divisant un polynôme par un polynôme non
nul. Les sommes, produits et dérivées de fractions rationnelles sont des fractions
rationnelles. Si une fraction rationnelle généralisée non nulle f= (fa)a∈Cest une
fraction rationnelle, alors faest non nulle pour tout a.
Pour toute fraction rationnelle généralisée fet tout nombre complexe aon pose
µ(a, f) := inf {n∈Z|fa,n 6= 0}
avec la convention inf ∅= +∞, et on dit que µ(a, f)est la multiplicité de a
comme zéro, ou racine, de f. On a
µ(a, fg) = µ(a, f) + µ(a, g).
Si µ(a, f)≥0on dit que fest définie en a, et on désigne fa,0par f(a). Si une
fraction rationnelle généralisée fest définie en un nombre complexe a, alors on a
fa=
∞
X
n=0
f(n)(a)
n!(X−a)n.
Toute somme, produit ou dérivée de fractions rationnelles généralisées définies en
aest une fraction rationnelle généralisée définie en a.
4

Pour toute fraction rationnelle généralisée f, tout nombre complexe aet tout
entier µposons
DLµ
a(f) := X
n≤µ
fa,n (X−a)n,
et disons que cette série de Laurent en X−aest le développement limité de f
en aà l’ordre µ. Si fet gsont des fractions rationnelles généralisées définies en
a, on a
DLµ
a(f+g) = DLµ a(f) + DLµ a(g),DLµ a(f g) = DLµ aDLµ a(f) DLµ a(g).
Soient aun nombre complexe, soit µun entier, et soient fet gdeux fractions
rationnelles généralisées.
Exercice 2. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes
1. µ(a, f −g)≥µ,
2. (X−a)−µ(f−g)est définie en a,
3. DLµ−1
a(f) = DLµ−1 a(g).
Si ces conditions sont satisfaites et si fet gsont définies en a, alors on dit que
fet gsont congrues modulo (X−a)µet on écrit
f≡gmod (X−a)µ.
Nous avons donc
DLµ−1
a(f)≡fmod (X−a)µ,
ainsi que
f1≡g1mod (X−a)µ
f2≡g2mod (X−a)µ
⇒
f1+f2≡g1+g2mod (X−a)µ
f1f2≡g1g2mod (X−a)µ.
Exercice 3. Supposons fdéfinie en aet µ≥0. Soit Run polynôme de degré
< µ. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes.
1. R= DLµ−1
a(f),
2. R≡fmod (X−a)µ,
3. (X−a)−µ(f−R)est définie en a.
En d’autres termes f−DLµ−1
a(f)
(X−a)µ,DLµ−1
a(f)
est l’unique couple (q, R)tel que
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