Cosinus et sinus d`une somme et d`une différence...et conséquences

Décombre d'une première S – Cosinus et sinus d'une somme et d'une différence...et conséquences - Un doc de Jérôme ONILLON Page 1 sur 2
Cosinus et sinus d'une somme
Dans tout ce qui suit, α et β sont deux réels quelconques.
Dans ce premier paragraphe, nous allons chercher à exprimer les cosinus et sinus de la
somme
α + β
en fonction de ceux de α et β.
Pour y parvenir, transportons-nous dans le plan que nous supposons muni d'un repère
orthonormé direct
(
)
O; ,
i j
, et plus précisément plaçons-nous sur le cercle
trigonométrique. Sur ce dernier, nous définissons les points suivants :
 A est le point du cercle
trigonométrique associé au réel α.
Donc une mesure de l'angle orienté
(
)
,OA
i est α.
 B est l'image du point A par la
rotation de centre O et d'angle β.
Donc une mesure de l'angle orienté
(
)
(
)
(
)
,OB ,OA OA, OB
= +i i
est
α + β
.
 C est l'image du point A par la
rotation de centre O et d'angle
2
π
.
Donc une mesure de l'angle orienté
(
)
OA, OC
est
2
π
.
Et une mesure de l'angle orienté
(
)
(
)
(
)
,OC , OA OA, OC
= +i i est
2
π
α +
.
Plaçons-nous dans le repère orthonormé direct
(
)
O; ,
i j
. Dans celui-ci :
 Le point A étant associé au réel α sur le cercle trigonométrique, il a pour
coordonnées
(
)
(
)
(
)
cos ;sin
α α
. Donc
(
)
(
)
OA cos sin
= α × + α ×
i j
.
 B qui est associé au réel
α + β
, a pour coordonnées
(
)
(
)
(
)
cos ;sin
α + β α + β
.
Donc
(
)
(
)
OB cos sin
= α + β × + α + β ×
i j
.
 C associé au réel
2
π
α +
, a pour coordonnées cos ;sin
2 2
π π
α + α + .
Donc
( ) ( )
OC cos sin sin cos
2 2
π π
= α + × + α + × = − α × + α ×
i j i j
Changeons de repère ! Plaçons-nous dans le repère orthonormé direct
(
)
O;OA, OC
.
Dans le repère polaire associé
(
)
O;OA
, le point B a pour coordonnées polaires
(
)
1;
β
.
En effet, le vecteur
OB
a pour norme 1 et une mesure de l'angle orienté
(
)
OA,OB
est β.
Il vient alors :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Or OA et OC ont été exprimés en fonction de et
OA
OB 1 cos OA sin OC cos OA sin OC
cos cos sin sin sin
= × β × + β × = β × + β ×
= β × α × + α × + β × − α
i j
i j
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) (
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
OC
cos
cos .cos cos .sin sin . sin sin .cos
cos .cos sin .sin cos .sin sin .cos
× + α ×
= β α × β α × + β − α × + β α ×
β α − α β × + α β + α β ×
i j
i + j i j
= i j
Donc, dans le repère
(
)
O; ,
i j
, les coordonnées du point
(
)
(
)
(
)
B cos ;sin
α + β α + β
s'écrivent aussi :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
cos sin
cos .cos sin .sin ;cos .sin sin .cos
α+β α+β
α β − α β α β + α β
Nous venons d'obtenir les formules que nous recherchions !
Théorème : cosinus et sinus d'une somme (formules d'addition)
Pour tous réels α et β, nous avons :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
cos cos .cos sin .sin
sin sin .cos cos .sin
α + β = α β − α β
α + β = α β + α β
A partir de ces deux formules, nous pouvons trouver celles donnant les cosinus et sinus
d'une différence. Car soustraire, c'est ajouter l'opposé ! Ainsi :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Car cosinus est paire et sinus impaire...
cos cos cos .cos sin .sin
cos .cos sin . sin cos .cos sin .sin
α −β = α + −β = α −β − α −β
= α β − α − β = α β + α β
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Car cosinus est paire et sinus impaire...
sin sin sin .cos cos .sin
sin .cos cos . sin sin .cos cos .sin
α −β = α + −β = α −β + α −β
= α β + α − β = α β − α β
O
A
B
C
⊕
⊕⊕
⊕
i
j
β
α
(
)
cos
α + β
(
)
sin
α + β
(
)
cos
β
(
)
sin
β

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Théorème : cosinus et sinus d'une différence
Pour tous réels α et β, nous avons :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
cos cos .cos sin .sin
sin sin .cos cos .sin
α −β = α β + α β
α −β = α β − α β
En s'appuyant sur ces formules et les valeurs remarquables des fonctions
trigonométriques, nous pouvons calculer les valeurs des cosinus et sinus de
12 3 4
π π π
= −
.
cos cos cos .cos sin .sin
12 3 4 3 4 3 3
1 2 3 2 2 6
2 2 2 2 4
π π π π π π π
= − = +
+
= × + × =
sin sin sin .cos sin .cos
12 3 4 3 4 3 3
3 2 1 2 6 2
2 2 2 2 4
π π π π π π π
= − = −
−
= × − × =
Formules de duplication des cosinus et sinus
On appelle ainsi les formules des cosinus et sinus du double. Pour tout réel α, nous avons :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
cos 2. cos cos .cos sin .sin cos sin α = α + α = α α − α α = α − α
De plus, comme
( ) ( )
2 2
cos sin 1
α + α =
    , alors il vient :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
cos 2. 1 sin sin 1 2 sin
cos 2. cos 1 cos 2 cos 1
α = − α − α = − × α
α = α − − α = × α −
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
sin 2. sin sin .cos cos .sin 2.sin .cos
α = α + α = α α + α α = α α
Théorèmes : formules de duplication des sinus et cosinus
Pour tout réel α, nous avons :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
cos 2. cos sin 2 cos 1 1 2 sin
α = α − α = × α − = − × α
(
)
(
)
(
)
sin 2. 2.sin .cos
α = α α
Des deux dernières formules de duplication du cosinus, on déduit :
Théorème : deux formules pour déterminer les cosinus et sinus de la moitié
Pour tout réel α, nous avons :
( )
(
)
2
1 cos 2.
cos
2
+ α
α =
( )
(
)
2
1 cos 2.
sin
2
− α
α =
Avec ces deux formules, nous pouvons déterminer les cosinus et sinus de
8
π
α =
.
22 2 2
1 cos 2 1 cos 1
2 2
8 4 2 2
cos
8 2 2 2 2 4
π π
    +
+ × + +
π +
= = = = =
22 2 2
1 cos 2 1 cos 1
2 2
8 4 2 2
sin
8 2 2 2 2 4
π π
    −
− × − −
π −
= = = = =
Comme
8
π
appartient à l'intervalle
0;
2
π
, alors ses cosinus et sinus sont positifs. Ainsi :
2 2
cos 8 4
π +
  =
2 2
sin
8 4
π −
  =
Tangentes d'une somme, d'une différence et d'un double
Pour tous réels α et β non congrus à
2
π
modulo π (ainsi que leur somme), nous avons:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
sin sin .cos cos .sin
cos cos .cos sin .sin
sin .cos cos .sin sin sin
cos .cos cos .cos cos cos
cos .cos sin .sin sin sin(b)
1
cos .cos cos
tan
tan tan
1 ta
.cos cos
n t
cos
an
α +β α β + α β
= =
α +β α β − α β
α β α β α β
+ +
α β α β α β
= = =
α β α β α
− − ×
α β α β α
α +β
α + β
− α ×
β
β
On en déduit alors :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Car tangente est une fonction impaire
tan tan
tan 1 tan tan
tan tan
tan 1 tan tan
α + −β
= α + −β = =
− α × −β
α − β
α −β
+ α × β
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
tan tan
tan 1 tan tan
2 tan
tan 2.
1 tan
α + α
= α + α = =
−
× α
−
α × α
α
α
On divise
numérateur
et dénominateur
par cos(a).cos(b)