PHR 101 ED n 3 Exercice n°1 : Etude d`un mouvement à force

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PHR 101 ED n 3 Exercice n°1 : Etude d’un mouvement à force centrale avec amortissement.
JJG JJJG
Un point P, de masse m, repéré par ses coordonnées polaires r = OP et θ = Ox,OP , se
(
)
déplace sans frottement sur un plan horizontal. Ce point est lancé dans le plan xOy à partir de
JJJG
G
Po, de coordonnées cartésiennes (0, a) dans un champ de force F = − k OP , et subit, en outre,
G
G
une force résistante proportionnelle à sa vitesse : F ' = − b v (b et K sont des constantes
positives ).
G
Dans toutes les questions on négligera le poids P .
1. Etablir en coordonnées polaires (r, θ) les équations différentielles du mouvement de P.
2. En déduire, dans le cas où la vitesse angulaire ω est constante :
a) l’équation horaire r(t) en fonction de a, b, m et t,
b) la vitesse angulaire ω en fonction de K, m et b.
Solution
1. Equations différentielles du mouvement.
On applique dans un référentiel supposé galiléen, la relation de la dynamique au point P :
JJJG
G
G
G
P
+
F
+
F' = ma
N
négligeable
La projection de cette relation dans la base polaire donne :
(
(
)
⎧ − k r − b r = m r − r θ 2
⎛ r − r θ 2 ⎞
⎛ r ⎞
⎛r ⎞
⎪
− k ⎜ ⎟ − b⎜ ⎟ = m ⎜
⎟⎟ ⇒ ⎨
⎜ 2 r θ + r θ
r
θ
θ
⎝0⎠
⎝ ⎠
⎪⎩ − b r θ = m 2 r θ + r ⎝
⎠
)
2.a. Equation horaire.
Comme la vitesse angulaire θ = ω est par hypothèse constante, les équations différentielles
précédentes s'écrivent alors :
(
(
)
⎧⎪− k r − b r = m r − r ω2
r − r ω2
⎪⎧ − k r − b r = m ⇒⎨
⎨
− b r = 2 m r
⎪⎩
⎩⎪ − b r ω = 2 m r ω
)
[1]
[ 2]
Intéressons nous à la relation [2] :
− b r = 2 m r ⇒ − b r = 2 m
1
dr
dr
−b
dt
⇒
=
dt
r
2m
N. FOURATI_ENNOURI
PHR 101 ED n 3 En intégrant ensuite cette relation, et en tenant compte de la condition initiale : t = 0, r = a ,
on en déduit :
ln ⎡⎣ r ( t ) ⎤⎦ = −
bt
+ cste
2m
r (t ) = a e
−
bt
2m
[3]
2.b. Vitesse angulaire.
b2
⎛ b ⎞
D'après [3] : r ( t ) = ⎜ −
r (t)
⎟ r ( t ) et r ( t ) =
4m 2
⎝ 2m ⎠
L'équation
[1]
peut
alors
s'écrire
sous
la
forme
⎛ b2
⎛ b
⎞
2⎞
−k r −b⎜−
−
r
ω
r⎟=m⎜
r
⎟⇒
2
4m
⎝ 2m ⎠
⎝
⎠
2
2
⎛ b
⎞
k
b
−
+
= ⎜
− ω2 ⎟ ⇒
2
2
m 2m
⎝ 4m
⎠
b2
b2
k
ω =
−
+
2
2
4m
2m
m
2
La vitesse angulaire a donc pour expression :
ω=
2
k
b2
−
m 4 m2
[4]
N. FOURATI_ENNOURI
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