PHR 101 ED n 3 Exercice n°1 : Etude d’un mouvement à force centrale avec amortissement. JJG JJJG Un point P, de masse m, repéré par ses coordonnées polaires r = OP et θ = Ox,OP , se ( ) déplace sans frottement sur un plan horizontal. Ce point est lancé dans le plan xOy à partir de JJJG G Po, de coordonnées cartésiennes (0, a) dans un champ de force F = − k OP , et subit, en outre, G G une force résistante proportionnelle à sa vitesse : F ' = − b v (b et K sont des constantes positives ). G Dans toutes les questions on négligera le poids P . 1. Etablir en coordonnées polaires (r, θ) les équations différentielles du mouvement de P. 2. En déduire, dans le cas où la vitesse angulaire ω est constante : a) l’équation horaire r(t) en fonction de a, b, m et t, b) la vitesse angulaire ω en fonction de K, m et b. Solution 1. Equations différentielles du mouvement. On applique dans un référentiel supposé galiléen, la relation de la dynamique au point P : JJJG G G G P + F + F' = ma N négligeable La projection de cette relation dans la base polaire donne : ( ( ) ⎧ − k r − b r = m r − r θ 2 ⎛ r − r θ 2 ⎞ ⎛ r ⎞ ⎛r ⎞ ⎪ − k ⎜ ⎟ − b⎜ ⎟ = m ⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎨ ⎜ 2 r θ + r θ r θ θ ⎝0⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎩ − b r θ = m 2 r θ + r ⎝ ⎠ ) 2.a. Equation horaire. Comme la vitesse angulaire θ = ω est par hypothèse constante, les équations différentielles précédentes s'écrivent alors : ( ( ) ⎧⎪− k r − b r = m r − r ω2 r − r ω2 ⎪⎧ − k r − b r = m ⇒⎨ ⎨ − b r = 2 m r ⎪⎩ ⎩⎪ − b r ω = 2 m r ω ) [1] [ 2] Intéressons nous à la relation [2] : − b r = 2 m r ⇒ − b r = 2 m 1 dr dr −b dt ⇒ = dt r 2m N. FOURATI_ENNOURI PHR 101 ED n 3 En intégrant ensuite cette relation, et en tenant compte de la condition initiale : t = 0, r = a , on en déduit : ln ⎡⎣ r ( t ) ⎤⎦ = − bt + cste 2m r (t ) = a e − bt 2m [3] 2.b. Vitesse angulaire. b2 ⎛ b ⎞ D'après [3] : r ( t ) = ⎜ − r (t) ⎟ r ( t ) et r ( t ) = 4m 2 ⎝ 2m ⎠ L'équation [1] peut alors s'écrire sous la forme ⎛ b2 ⎛ b ⎞ 2⎞ −k r −b⎜− − r ω r⎟=m⎜ r ⎟⇒ 2 4m ⎝ 2m ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 ⎛ b ⎞ k b − + = ⎜ − ω2 ⎟ ⇒ 2 2 m 2m ⎝ 4m ⎠ b2 b2 k ω = − + 2 2 4m 2m m 2 La vitesse angulaire a donc pour expression : ω= 2 k b2 − m 4 m2 [4] N. FOURATI_ENNOURI de :