PHR 101 ED n 3 Exercice n°1 : Etude d`un mouvement à force

PHR101EDn3
1 N. FOURATI_ENNOURI
Exercice n°1 : Etude d’un mouvement à force centrale avec amortissement.
Un point P, de masse m, repéré par ses coordonnées polaires r = OP et
()
Ox,OPθ= JJG JJJG, se
déplace sans frottement sur un plan horizontal. Ce point est lancé dans le plan xOy à partir de
Po, de coordonnées cartésiennes (0, a) dans un champ de force FkOP=−
J
JJG
G
, et subit, en outre,
une force résistante proportionnelle à sa vitesse : F' bv=−
G
G
(b et K sont des constantes
positives ).
Dans toutes les questions on négligera le poids P
G
.
1. Etablir en coordonnées polaires (r,
θ ) les équations différentielles du mouvement de P.
2. En déduire, dans le cas où la vitesse angulaire
ω est constante :
a) l’équation horaire r(t) en fonction de a, b, m et t,
b) la vitesse angulaire ω en fonction de K, m et b.
Solution
1. Equations différentielles du mouvement.
On applique dans un référentiel supposé galiléen, la relation de la dynamique au point P :
N
négligeable
PFF'ma++=
J
JJG
G
G
G
La projection de cette relation dans la base polaire donne :
(
)
()
2
2
022
kr br m r r
r
rrr
kb m
rrr br m r r
⎧−− = −θ
⎛⎞
−θ
⎛⎞
⎛⎞ ⎪
−− = ⇒
⎜⎟
⎨
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
θθ+ θ
−
θ= θ+ θ
⎝⎠ ⎝⎠ ⎪
⎝⎠
⎩
2.a. Equation horaire.
Comme la vitesse angulaire θ=ω
 est par hypothèse constante, les équations différentielles
précédentes s'écrivent alors :
()
(
)
[]
[]
2
21
22
2
kr br m r r
kr br m r r
br mr
br mr
⎧
⎧−− = −ω
−− = −ω
⎪⎪
⇒
⎨⎨
−=
−ω= ω
⎪⎪
⎩⎩
Intéressons nous à la relation [2] :
22 2
dr dr b
br mr br m dt
dt r m
−
−= ⇒−= ⇒ =

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2 N. FOURATI_ENNOURI
En intégrant ensuite cette relation, et en tenant compte de la condition initiale : t = 0, r = a ,
on en déduit :
()
2
bt
ln r t cste
m
⎡⎤
=− +
⎣⎦
()
2
bt
m
rt ae
−
= [3]
2.b. Vitesse angulaire.
D'après [3] :
() () () ()
2
2
bb
rt rt etrt rt
2m 4m
⎛⎞
=− =
⎜⎟
⎝⎠
L'équation [1] peut alors s'écrire sous la forme de :
kr−b
br
2m
−− 2
2
b
mr
4m
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠ r−2
22
2
22
22
222
kb b
m2m 4m
bbk
4m 2m m
⎛⎞
ω
⇒
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−+ = −ω⇒
⎜⎟
⎝⎠
ω= − +
La vitesse angulaire a donc pour expression :
2
2
4
kb
mm
ω= − [4]