Université Paris 7 MP3 Algèbre et Analyse pour la Physique L2 TD

Université Paris 7 MP3
Algèbre et Analyse pour la Physique L2
TD PPhX Novembre-Décembre 2015
Equations différentielles
Exercice 1. On considère les matrices de coefficients suivantes :
A1=3 0
0 4, A2=
a0 0
0 2 1
0 0 2
,pour a∈R,
A3=1 2
0−1, A4=
1 2 3
0 4 5
0 0 6
.
1. Déterminer toutes les solutions des systèmes d’équations différentielles linéaires Sidonnés
par ˙ X=AiX, pour i= 1,...,4.
(X(t) = x(t)
y(t)étant une fonction de Rdans R2pour i= 1,3et X(t) = 
x(t)
y(t)
z(t)
étant
une fonction de Rdans R3pour i= 2,4.)
2. Trouver la solution X(t) = 
x(t)
y(t)
z(t)
du système S2avec condition initiale X(0) = 
1
2
0
.
3. Déterminer l’ensemble des solutions du système S3satisfaisant à la condition initiale y(1) =
1. Quelle est la structure de cet ensemble ? (espace vectoriel, espace affine...)
Exercice 2. On veut déterminer la solution du système d’équations différentielles
˙x= 9x+ 16y
˙y=−x+y
avec conditions initiales x(0) = 2,y(0) = 3.
1) Montrer que xvérifie une équation differentielle de la forme ¨x+a1˙x+a0= 0 (où a0, a1sont
des coefficients à déterminer). Donner l’ensemble des solutions de cette équation puis en déduire
la solution du problème initial.
2) On propose une deuxième approche :
i) trigonaliser la matrice A=9 16
−1 1 sous la forme A=PTP−1. (On montrera
en particulier que v1:= 4
−1est un vecteur propre, on choisira v2:= 1 0et
la matrice de passage P= [v1, v2]).
1

ii) Montrer que X=x
yest solution du problème initial ssi Y:= P−1Xest
solution du système ˙ Y=T Y .
iii) Trouver les solutions de ˙ Y=T Y .
iv) Résoudre le problème initial.
Exercice 3. Déterminer toutes les solutions des systèmes d’équations différentielles
a) x0(t) = y(t)
y0(t) = −2x(t)+3y(t),
b) x0(t) = y(t) + sin(t)
y0(t) = −2x(t)+3y(t),
2