Université Paris 7 MP3 Algèbre et Analyse pour la Physique L2 TD

Université Paris 7
Algèbre et Analyse pour la Physique
TD PPhX
MP3
L2
Novembre-Décembre 2015
Equations différentielles
Exercice 1. On considère les matrices de coefficients

a
3 0

A1 =
,
A2 = 0
0 4
0
A3 =
1 2
,
0 −1
suivantes :

0 0
2 1 , pour a ∈ R,
0 2


1 2 3
A4 = 0 4 5 .
0 0 6
1. Déterminer toutes les solutions des systèmes d’équations différentielles linéaires Si donnés
par Ẋ = Ai X, pour i = 1, . . . , 4.


x(t)
x(t)
étant une fonction de R dans R2 pour i = 1, 3 et X(t) = y(t) étant
(X(t) =
y(t)
z(t)
une fonction de R dans R3 pour i = 2, 4.)


 
x(t)
1



2. Trouver la solution X(t) = y(t) du système S2 avec condition initiale X(0) = 2.
z(t)
0
3. Déterminer l’ensemble des solutions du système S3 satisfaisant à la condition initiale y(1) =
1. Quelle est la structure de cet ensemble ? (espace vectoriel, espace affine...)
Exercice 2. On veut déterminer la solution du système d’équations différentielles
ẋ = 9x + 16y
ẏ = −x + y
avec conditions initiales x(0) = 2, y(0) = 3.
1) Montrer que x vérifie une équation differentielle de la forme ẍ + a1 ẋ + a0 = 0 (où a0 , a1 sont
des coefficients à déterminer). Donner l’ensemble des solutions de cette équation puis en déduire
la solution du problème initial.
2) On propose une deuxième approche :
9 16
i) trigonaliser la matrice A =
sous la forme A = P T P −1 . (On montrera
−1 1
4
1
en particulier que v1 :=
est un vecteur propre, on choisira v2 :=
et
−1
0
la matrice de passage P = [v1 , v2 ]).
1
x
ii) Montrer que X =
est solution du problème initial ssi Y := P −1 X est
y
solution du système Ẏ = T Y .
iii) Trouver les solutions de Ẏ = T Y .
iv) Résoudre le problème initial.
Exercice
0 3.
x (t)
a)
y 0 (t)
0
x (t)
b)
y 0 (t)
Déterminer toutes les solutions des systèmes d’équations différentielles
= y(t)
= −2x(t) + 3y(t),
= y(t) + sin(t)
= −2x(t) + 3y(t),
2