electromagnétisme et formes différentielles

ELECTROMAGNÉTISME ET
FORMES DIFFÉRENTIELLES
S. Fumeron
Groupe de travail sur les espaces courbes
11/06/14

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Ces notes sont consacrées aux formes différentielles et à leurs applications dans
le domaine de l’électromagnétisme. Elles n’ont pas l’ambition de détailler de fa-
çon exhaustive tous les aspects mathématiques et physiques (on consultera pour
cela les références bibliographiques), mais de donner les outils permettant de
calculer les équations de Maxwell dans des espaces courbes. Je tiens à remer-
cier tout particulièrement Thomas Chambrion de l’Institut Elie Cartan pour sa
disponibilité et toutes ses explications éclairantes. Tout retour constructif (noti-
fication d’erreurs typographiques, suggestions diverses...) sera le bienvenu.

Table des matières
1 Rappels introductifs 5
1.1 Généralités .............................. 5
1.2 Décomposition d’Helmholtz-Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Formes différentielles dans l’espace euclidien 13
2.1 Réinterprétation des grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Forme différentielle de degré p . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Produit extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 L’opérateur ⋆deHodge ....................... 21
2.2.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Action de ⋆sur les 0-,1-, 2- et 3-formes . . . . . . . . . . . 22
2.2.3 Utilisation pour les relations constitutives . . . . . . . . . 24
2.3 Dérivation extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Cohomologie de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3 Unification des formules de l’analyse vectorielle . . . . . . 31
2.3.4 Réécriture de la théorie de Maxwell . . . . . . . . . . . . 33
3 Formes différentielles en dimension 4 37
3.1 Electromagnétisme en espace-temps de Minkowski . . . . . . . . 37
3.1.1 Opérateurs .......................... 37
3.1.2 Equations du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.3 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Analyse des symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Dualité de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Inversion de couplage de jauge . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Etude d’un exemple : les dislocations cosmiques . . . . . . . . . . 47
3.3.1 Les dislocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 Action du Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.3 Correspondance entre formes et champ électromagnétique
usuel.............................. 49
3.3.4 Relation de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.5 Relation de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
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4TABLE DES MATIÈRES
4 Conclusion 55

Chapitre 1
Rappels introductifs
"Une longue revue de l’histoire de l’humanité montrera sans le moindre doute
que la découverte par Maxwell des lois de l’électrodynamique est l’évènement le
plus important du 19ème siècle." R.P. Feynman [1]
1.1 Généralités
L’électromagnétisme occupe un statut tout à fait à part dans l’histoire des
sciences, car elle est à la fois le point de départ des théories relativistes (problème
de l’Ether... auquel on doit la mise au point de l’interféromètre de Michelson)
et la première théorie des champs à avoir été quantifiée avec succès. En effet,
l’électrodynamique classique formulée par James Clerk Maxwell 1dès 1873 est
l’archétype des théories de champ : elle considère que les interactions entre des
particules chargées se font par l’intermédiaire d’un système physique, le champ
électromagnétique, qui emplit tout l’espace et qui possède un nombre infini de
degrés de liberté (i.e. les valeurs du champ en tout point et à tout instant). L’ob-
jectif d’une théorie de champ est d’obtenir des équations qui décrivent comment
des sources chargées (distributions statiques, courants) pilotent la dynamique
du champ et comment en retour le champ modifie la dynamique de ces mêmes
charges.
Dans la matière, l’électrodynamique classique se résume à 7 équations. Dans
le système d’unités SI, les 4 premières équations, dites équations de Maxwell,
1. L’histoire de la physique retient de Maxwell une immense contribution théorique en élec-
tromagnétisme et physique statistique, alors qu’à l’université de Cambridge (où il a découvert
ses fameuses équations), il occupait le poste de professeur de physique expérimentale.
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