TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE

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TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE
1. TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
Si les angles de deux triangles sont isométriques deux à deux, alors on dit que ces deux triangles
sont semblables.
Dans le cas particulier des triangles rectangles, il suffit donc que l'un des angles aigus du premier
soit isométrique à l'un des angles aigus du second pour que ces deux triangles soient semblables.
On sait que, lorsque les triangles sont semblables, les côtés homologues sont proportionnels.
Ainsi dans notre exemple,
'
c
c
'
b
b
'
a
a==
"
c
c
"
b
b
"
a
a==
"
c
'c
"
b
'b
"
a
'a ==
Par transitivité de l'égalité et par permutation des moyens et des extrêmes, on obtient
"
c
"a
'
c
'a
c
a==
"
c
"b
'
c
'b
c
b==
"
b
"a
'
b
'a
b
a==
Une fois l'angle
α
fixé, ces rapports le sont également.
Par définition, le rapport
"
c
"a
'
c
'a
c
a==
sera appelé sinus de l'angle
α
et noté
α
sin
;
le rapport
"
c
"b
'
c
'b
c
b
== sera appelé cosinus de l'angle
α
et noté
α
cos
;
le rapport
"
b
"a
'
b
'a
b
a==
sera appelé tangente de l'angle
α
et noté
α
tan

2
ou
hypoténuse anglel' à opposée cathète
α
α
=sin
hypoténuse anglel' à adjacente cathète
α
α
=cos
α
α
α
anglel' à adjacente cathète anglel' à opposée cathète
=tan
Les valeurs des fonctions trigonométriques ne dépendent pas du nom donné à l'angle, mais
uniquement de sa mesure !
Exercices :
1. Par construction et par mesure, estimer l'angle dont la tangente vaut 3,5.
2. Même question pour un angle dont le
inus
cos
vaut 0,4.
3. Même question pour un angle dont le sinus vaut 0,7.
4. Par construction et par mesure, estimer
°
°
°
535353 tan,cos,sin .
5. Par des considérations géométriques, établir les valeurs exactes de
α
α
α
tan
,
cos
,
sin
pour
°
=
°
=
°
=
456030
α
α
α
,, .
Quelques propriétés :
- Les cathètes ayant des mesures plus petites que l'hypoténuse, pour tout angle
α
aigu
1
<
α
sin
et
1
<
α
cos
.
- La cathète opposée à l'angle
α
étant adjacente à l'angle
α
−
°
90 et la cathète adjacente à
l'angle
α
étant opposée à l'angle
α
−
°
90 , on a
(
)
αα cossin =−°90
et
(
)
αα sincos =−°90
Il suffit donc de connaître les sinus et les cosinus des angles compris entre 0° et 45° pour
connaître les sinus et les cosinus de tous les angles aigus.
- α
α
α
tan
cos
sin ==⋅== adjacent côté opposé côté
adjacent côté
hypoténuse
hypoténuse
opposé côté
hypoténuse
adjacent côté
hypoténuse
opposé côté

3
Pour tout angle
α
aigu,
α
α
α
cos
sin
tan =
- Par Pythagore
1
,
(
)
(
)
(
)
222
hypoténuseadjacent côtéopposé côté =+
(
)
( )
(
)
( )
1
2
2
2
2
=+ hypoténuse
adjacent côté
hypoténuse
opposé côté
1
22
= +
hypoténuse
adjacent côté
hypoténuse
opposé côté
(
)
(
)
1
22
=+ αα cossin
1cossin
22
=+ αα
- d’où
αα
α
α
α
22
2
2
2
1
coscos
cos
cos
sin =+
α
α
α
2
2
1
1cos
cos
sin =+
α
α
2
2
1
1cos tan =+
Quel que soit l'angle aigu, il suffit de connaître son sinus, son cosinus ou sa tangente pour
connaître les deux autres fonctions trigonométriques.
En résumé, il suffit donc de connaître une des fonctions trigonométriques des angles compris
entre 0° et 45° pour connaître les trois fonctions trigonométriques (sinus, cosinus et tangente) de
tous les angles aigus.
1
PYTHAGORE, mathématicien et philosophe grec (VI
e
siècle avant J-C)

4
Exercices :
6. Un triangle ABC est rectangle en C. Résoudre ce triangle connaissant :
a)
°
=
=
865754 ,,c
β
b) 30124325 ,a,c
=
=
c)
°
=
=
553548 ,,a
α
d)
°
=
=
3144112 ,,a
β
e) 641322 ,b,a
=
=
7. Un triangle ABC est isocèle en A. Résoudre ce triangle connaissant :
a) 822548 ,a,
=
°
=
α
b) 344103 ,cb,
=
=
°
=
α
c) 58472 ,a,
=
°
=
=
γ
β
d) 718932 ,cb,
=
=
°
=
=
γ
β
8. Connaissant la base
15
=
a et l’angle au sommet
°
=
40
α
d’un triangle isocèle, calculer les
côtés égaux, les hauteurs, le rayon du cercle inscrit, le rayon du cercle circonscrit et l’aire du
triangle.
9. Calculer le périmètre d’un polygone régulier à cinq côtés (pentagone) inscrit dans un cercle de
rayon 2.
10. Un polygone régulier convexe à 15 côtés a une aire égale à 1500. Calculer la longueur de son
côté et le rayon du cercle dans lequel il est inscrit.
11. Un pentagone étoilé régulier est inscrit dans un cercle de rayon 25. Calculer la longueur de
son côté.
12. Un homme aperçoit un arbre vertical sous un angle de 38,6°. Il recule de 25 m et voit l’arbre
sous un angle de 18,3°. Quelle est la hauteur de l’arbre ? On admettra que l’œil est à la
hauteur du pied de l’arbre.
13. Une route s’élève régulièrement en formant avec l’horizontale un angle de 4,5°. Quelle
distance horizontale parcourt-on lorsqu’on a suivi la route durant 6,4 km ? De combien s’est-
on élevé ?
14. La voûte d’un tunnel routier est un arc de cercle d’angle au centre 220°. Calculer le rayon de
cet arc de cercle pour que la largeur de la route soit de 12 m. Calculer la hauteur maximum de
la voûte au-dessus du sol.
15. Deux observateurs situés à la même altitude distants de 1350 m mesurent au même moment
les hauteurs d’un point remarquable d’un nuage situé entre les deux. Ce point est dans le plan
vertical contenant les deux observateurs et les angles d’élévation sont de 65,4° et 76,5°.
Quelle est la hauteur du nuage ?
16. Deux poulies de diamètres 122 cm, respectivement 88 cm, sont reliées par une courroie de
transmission. La distance entre les deux axes des poulies est de 400 cm. Quelle est la
longueur de la courroie ? (2 possibilités)

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2. TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE
Théorème du sinus
Considérons le triangle BOC. D'après une propriété sur les angles inscrits et les angles au
centre, l'angle au sommet O vaut
α
2 .
Le triangle BOC étant isocèle, la médiatrice du côté BC est également bissectrice de l'angle en
O. Par conséquent, le triangle BOA' est rectangle et l'angle BOA' vaut donc
α
.
On peut appliquer les définitions précédentes.
d'où
r
a
r
BC
r
'BA
sin
2
2
1
=== α
ou
α
sin
a
r=2 .
Les angles
γ
β
α
,, étant quelconques, on a
par analogie,
β sin
b
r =2 et
γ sin
c
r =2 .
D'où
r
sin
c
sin
b
sin
a
2===
γβα
appelé théorème du sinus
Remarque :
Dans le triangle ABC, on a r
sin
a
2=
α
Dans le triangle BCD, on a r
sin
a
2=
δ
Donc
α
δ
sinsin
=
.
Mais comme le quadrilatère ABDC est inscrit
dans un cercle, les angles
α
et
δ
sont
supplémentaires, c'est-à-dire
α
δ
−
°
=
180 .
D'où la propriété :
(
)
αα sinsin =−°180
Cette relation permet de déterminer le sinus d'un angle obtus par construction et par mesures.