Exercices Algèbre

Infty08
Groupes , action d’un groupe sur un ensemble
1 - On considère G un groupe . Montrer l’équivalence entre :
i - G est fini .
ii - L’ensemble des sous-groupes de G est fini .
i ⇒ ii est clair puisque (G) , l’ensemble des parties de G est fini .
ii ⇒ i : Par contraposée ; supposons G infini et montrons qu’il admet une infinité de sous-groupe . Pour a dans G ,
notons [a] le sous-groupe engendré par a . Deux cas se présentent alors :
Soit la famille
[]
()
a
aG
∈constitue une famille infinie de sous-groupes de G , dans quelle cas le résultat est établi .
Soit la famille
[]
()
a
aG
∈constitue une famille finie de sous-groupes . Comme
[]
aG
aG
∈=
et que G est infini , il existe a ∈
G tel que [a] soit infini . Alors d’après le cours , [a] est isomorphe à . Comme admet un infinité de sous-groupe
( ils sont de la forme n , n ∈ ) , on en déduit que [a]et par suite G admet une infinité de sous-groupe .
L’équivalence se trouve alors établie .
2 - Soient G un groupe noté multiplicativement , a et b deux éléments de G . Démontrer que :
(a1
2
=
et ab a b
23
=
) ⇒ ( b5=1 ) .
On a aa
=
−
1
, donc ab a b
32
=; on en déduit , en multipliant par l’égalité ab a b
23
=que :ab b a
55
=, ou encore que
b5commute avec a . En élevant l’égalité ab a b
23
=à la puissance 5 , il vient : ab a b
10 15
=; comme a commute avec b5, a
commute avec b10 , d’où on en déduit que : bb
10 15
=, ou encore : b51
=.
3 - On se propose d’établir le théorème de Lagrange :
Soient G un groupe fini noté multiplicativement et H un sous-groupe de G ; alors le cardinal de H divise le
cardinal de G .
a - On fait opérer H sur G par translation , c’est à dire on pose :
∀∈ ∀∈ =
a H, x G : ax a.x .
On noteOxl’orbite de x ; montrer que l’ensemble des orbites constitue une partition de G .
b - Montrer que chaque orbite a le même cardinal que H et conclure .
Quelques applications classiques du théorème de Lagrange .
c - Montrer que tout groupe de cardinal p , avec p premier est cyclique , donc isomorphe à p.
d - Montrer que tout groupe de cardinal pn, avec p premier et n ≥ 1 admet au moins un sous-groupe de
cardinal p .
e - Etablir le « petit » théorème de Fermat
a - Chaque élément de G appartient à son orbite . Considérons et ’ deux orbites distinctes ; alors elles sont
disjointes . En effet , il est facile de voir que si un élément a∈∩
OO'
, on a : Oa==
OO
'
. Ainsi l’ensemble des orbites
constitue une partition de G .
b - Les translations étant injectives de H dans G , il en découle que pour tout x dans G , l’application de H dans
Ox:aaxax
→=
.
réalise une bijection . On voit alors que :CardO CardH
x=, pour tout x dans G .
Ce qui précède montre que : CardG N Card H
=× , où N désigne le nombre d’orbite dans G .
c - Supposons donc G de cardinal p , et considérons a un élément de G distinct de e , l’élément neutre . Alors [a] est
un sous-groupe de G distinct de {e} . Son cardinal est donc un diviseur de p , distinct de 1 . p étant premier , on en
déduit que Card [a] = p , ou encore que : G = [a] qui est cyclique .
d - Supposons G de cardinal pn, et considérons a un élément de G distinct de e . Le cours assure que ([a], .) est
isomorphe à
()
/q , où q est le cardinal de [a] . D’après Le théorème de Lagrange , q divise pn, d’où on peut
écrire :qp kn
k
=≤≤
,1 . Mais
()
/pkadmet des sous-groupes de cardinal p : si k = 1 , on prend
()
/p ;
si k > 1 ,
[]
()
p
k
−
+
1
,
convient . Le résultat en découle alors .
e - Soit p un entier premier . Alors / p est un corps , d’où
()
{}
()
/\,p0
×est un groupe ;

Infty08
pour tout a≠0, si n = Card [a] , où [a] désigne le sous-groupe multiplicatif engendré par a , on a d’après le cours
an=1; d’après le théorème de Lagrange , n divise p - 1, d’où : ap−=
11, ou encore :aa p
=, pour tout a ∈/ p .
4 On considère la partie
{}
A (1,2),(2,3),...,(n 1,n)
=−
du groupe symétrique Sn.
a - Montrer que A engendre Sn.
b - Montrer que le résultat ne subsiste plus s’il on retire un élément à A .
c - Reprendre l’exercice avec
{}
n)(1,(1,3),...,(1,2),A =.
d - On suppose n > 2 . Peut-on trouver un ensemble A de n - 2 transpositions qui engendre Sn?
a - Les transpositions engendrent le groupe symétrique ; il suffit donc de montrer que chaque transposition peut
s’écrire comme produit d’ éléments de A . Considérons donc (i , j) , i < j une transposition de Sn . On vérifie
facilement que : ( , ) ( , )( , )...( , )( , )...( , )ij ii i i j j j j ii
=+++ − −− +
112 1 21 1
. Le résultat en découle alors .
b - Considérons A’ la partie obtenue de A en retranchant la transposition (, )kk
+
1. Posons alors
{}
Bk
=
12, ,..., ; on
vérifie que tous les éléments de A’ laisse B stable . Si (, )kk
+
1appartenait au sous-groupe engendré par A’ , il
laisserait également B stable ; Or l’image de k par (, )kk
+
1est k + 1 ∉ B . En conclusion A’ n’engendre pas Sn.
c - La méthode est analogue : il suffit de remarquer que pour une transposition de Sn , (i , j) , i < j on a :
(,) (,)(,)(,)ij i j i
=111. Donc A est une partie génératrice de Sn.
Enfin considérons A’ la partie obtenue de A en retranchant la transposition (1, k) , k > 1 . Il est facile de contrôler
que tous les éléments du sous-groupe engendré par A’ laisse fixe le singleton {k} .
Par suite , ce sous-groupe est distinct de Sn , c’est à dire A’ n’engendre pas Sn.
d - La réponse est non . Considérons A un ensemble de transpositions qui engendre Sn.
Montrons que A a au moins n - 1 éléments . Fixons nous un élément τ111
=
(,)ijde A . A engendre Sn, donc
possède un élément τ2qui ne laisse pas stable la partie
{}
ij
11
,.τ
2
s’écrit
()
ij
22
,avec
{}
iij
211
∈
,
et
{}
jij
211
∉
,
. Supposons
avoir déterminé s < n - 1 transpositions de A ,
{}
ττ
1
,..., stelles que :
{}{}
τ
ppp p p p p
i j avec i i j j et j i j j
=∈ ∉
−−
( , ) , ,..., , ,...,
11 1 11 1 ,
pour 1 < p ≤ s . A engendre Sn, donc possède un élément τs+1qui ne laisse pas stable la partie
{} {}
ij j n
s11 1, ,..., ,...,
≠,
qui s’écrit :
{}{}
τ
sss s ss s
i j avec i i j j et j i j j
+++ + +
=∈∉
111 111 111
( , ) , ,..., , ,..., . Cette construction est possible tant que s < n - 1, d’où
l’existence d’au moins n - 1 éléments dans A .
5 Pour tout groupe G , on appelle centre de G , noté Γ(G) , l'ensemble des éléments de G qui commutent avec
tous les éléments de G .
a - Montrer que Γ(G) est un sous-groupe de G .
Quelques centres classiques :
b - Déterminer Γ(GL ( ))
net Γ(SL ( )) n.
c - Déterminer Γ(O ( ))
net Γ(SO ( )) n.
d - Déterminer Γ()
n
S
, où Sn désigne le groupe symétrique ;
Déterminer Γ()
n
A
, où An désigne le sous-groupe alternée .
a - e l’élément neutre de G appartient à Γ(G) .
Considérons () ()x,y G
∈Γ 2; alors : ∀∈ =
−−
a G axy xay, 11
===
−− − − −
x(ya x(a y xy a
11 1 1 1
)); par suite xy G
−∈
1Γ()
.
En conclusion Γ(G) est un sous-groupe de G .
b -
{}
Γ
(GL ( )) =
nmatricesscalairesnon nulles .
Déterminons Γ(SL ( ))
n; considérons M une matrice de GL ( ) n.
Si Det M > 0 , tous les éléments de Γ(SL ( ))
ncommutent avec
()
1
1
DetM M
n/ ∈SL ( )
n, et par suite avec M .
Si Det M < 0 , Det M I P
nM n
()()~
+=−
→∞
λλλ
λ
, d’où pour λ assez grand : Det M In
()
+>λ0
, et d’après ce qui précède tous les
éléments de Γ(SL ( ))
ncommutent avec MI n
+λ , puis enfin avec M .
On a donc montrer que ΓΓ
(SL ( )) (GL ( )
nn
⊂, d’où on en déduit que :
{}
Γ
(SL ( )) =
nII nn n
,( )
−+
11.
c -
{}
Γ
(O ( )) =
nII nn
,
−
.

Infty08
Déterminons Γ(SO ( ))
n; si n est impair , pour tout MO n
∈()
, M ou - M appartient à SOn() , ce qui assure que M
commute avec les éléments de Γ(SO ( ))
n. On en déduit alors dans ce cas que ΓΓ
(SO ( )) (O ( ))
nn
⊂, et par suite que
{}
Γ
(SO ( )) = I
nn
.
Traitons le cas n pair ; si n = 2 , SO2()
est commutatif et donc égal à son centre . Supposons donc n > 2 ;
considéronsS∈Γ(SO ( ))
n. S commute avec tous les retournements de O( ) n, ce qui permet de voir que S laisse tous
les plans stables . S laisse donc toutes les droites stables , puisque pour n > 2 , celles ci sont intersection de deux
plans bien choisis . On en déduit alors que SI
n
=± et que dans ce cas :
{}
Γ
(SO ( )) = I
nn
,
−
I
n
.
En résumé on a :
{}
Γ
(SO ( )) =
nII nn n
,( )
−+
11pour n ≠ 2 , et
()
Γ
SO SO
22
() ()
=.
d - Considérons σ un élément de Γ()
S
n; en particulier σ commute avec toutes les transpositions . SS 12
et sont
commutatifs ; on suppose n ≥ 3 . Posons τ = (i , j) , avec i < j ; en faisant agir l’égalité στ τσ=sur
{}
kij
∉
,
, entier
qui existe bien puisque n > 2 , on constate que
{}
σ
() ,kij
∉. Donc le complémentaire de {i , j} est stable par σ . Par
suite
{}
()
{}
σij ij,, =; s’il on considère k ≠ j , on a encore
{}
()
{}
σik ik,, =. Par suite σ(i) = i , résultat valable pour tout
{}
in
∈
1,..., , c’est à dire :σ=Id . En conclusion
{}
Γ
()
S
nId
=.
Déterminons Γ()
A
n; on contrôle que pour n ≤ 3 , Anest commutatif et dans ce cas égale à son centre . Supposons n >
3 ; on adapte ce qui précède avec les trois cycles : on vérifie alors que tous les triplets sont stables par les éléments de
Γ()
A
n. Comme n > 3 , on en déduit comme précédemment que toutes les paires sont stables , puis enfin que
{}
Γ
()
A
nId
=.
6 - Montrer que tous les groupes d’ordre inférieur à 5 sont commutatifs et dire à quoi ils sont isomorphes .
On pourra utiliser avec profit les exercices qui précèdent .
Le groupe à un élément est {e} ; les groupes de cardinal 2 , 3 , 5 sont cycliques , d’après l’exercice 1 . Ils sont donc
respectivement isomorphes à /,/ /235
.
Déterminons les groupes d’ordre 4 ; soient a et b des éléments distincts de l’élément neutre e . Nous traiterons alors
deux cas :
i - abe
22
==: alors aabb
==
−−
11
,
puis le groupe est égal à
{}
eab,ab,, . On vérifie dans ces conditions que l’on a : ba =
ab . On a donc ainsi la table :
eabab
aeabb
babe a
ab b a e
. Ce groupe est donc isomorphe à
()
()
/,2
2
+. Il est commutatif mais
pas cyclique . Il est appelé le groupe de Klein .
ii - a2ou b2est distinct de e ; supposons ae
2
≠pour se fixer les idées . Alors le groupe est égal à
{}
eaa a,, ,
23
et est donc
cyclique . Dans ce cas il est donc isomorphe à /4 .
On note en particulier que tous ces groupes sont commutatifs .
7 - On se propose de montrer qu’il existe deux groupes d’ordre 6 , à un isomorphisme près : /6 et 3
S . On
pourra utiliser avec profit les exercices qui précèdent .
a - Déterminer les ordres possibles des éléments de G un tel groupe.
b - Montrer que tous les éléments de G ne peuvent être d’ordre deux .
c - En déduire le résultat .
a - D’après le cours , l’ordre d’un élément est égale à l’ordre du groupe qu’il engendre . D’après le théorème de
Lagrange (cf. exercice 1) , ce cardinal doit être un diviseur de 6 . L’ordre d’un élément est donc 1 , 2 , 3 ou 6 .
b - Si tous les éléments de G étaient d’ordre 2 , alors le groupe serait commutatif ; en effet :
()
∀∈ = = =
−−−
(, ,a b) G ab ab b a ba
2111 , d’où le résultat . Considérons alors deux éléments de G distincts de e . On contrôle
alors que
{}
eabab,,, constitue un sous-groupe de G . Ceci contredit le théorème de Lagrange .
c - Il existe donc dans G un élément a , d’ordre 3 ou 6 ( le seul élément d’ordre 1 étant e ) . Si a est d’ordre 6 , G est
cyclique donc isomorphe à /6 . Supposons a d’ordre 3 ; considérons alors un élément
[]
{}
ba eaa
∉=
,,2. Alors
{}
Geaabbaba
=
,, ,, ,
22
; menons notre discussion sur la valeur de b2.

Infty08
Il est facile de voir que
{}
b b ba ba
22
∉
,, ; si
{}
baa
22
∈
,
, on voit que G est engendré par b , ce qui correspond au cas G
cyclique .
Supposons be
2
=; on voit alors que
{}
ab ba ba
∈,2. Si a et b commutent , on contrôle que
[]
{}
ab eaba baab G
==
,,,,,
22 , ce
qui correspond au cas G cyclique . Si ab ba
=2, on obtient la table :
e a a b ba ba
aa ebabba
aeababab
bbaba e aa
ba ba b a e a
ba b ba a a e
22
22
22
22
22
22
.
Dans ce dernier cas , G n’est pas commutatif et isomorphe à S3, par exemple par l’application :
Id e , a
→→→
(1,2,3) a , (1,3,2) ,
2 (1,2) b ,(2,3) ba , (1,3) ba2
→→ →.
8 - On se propose d’étudier le groupe des isométries du plan conservant les sommets d’un triangle équilatéral
ABC , appelé groupe du triangle équilatéral .
a - Déterminer les éléments de ce groupe . Construire la table .
b - Quels en sont les sous-groupes ?
a - Les isométries qui laissent fixe
{}
ABC,, , laissent fixe le centre de gravité du triangle O . les éléments de ce groupe
sont donc : Id , r = r(O, 23 , = r(O, 43
πρπ
))
puis les trois symétries d’axe (OA) , (OB) et (OC) , notées sss
OA OB OC
,, .
On a donc la table :
Id r s s s
rIdsss
Id r s s s
sss Idr
sss Idr
sss r Id
OA OB OC
OC OA OB
OB OC OA
OA OB OC
OB OC OA
OC OA OB
ρ
ρ
ρρ
ρρ
D’après l’exercice qui précède , ce groupe est isomorphe à S3, mais on peut le voir facilement grâce , par exemple ,
à l’application :
{}
),(),,(
3,2,1 CBCBArIdId →→→→
ρ
),(),(BACA→→
b - Le seul sous-groupe qui contient une rotation et une symétrie est le groupe entier . Les autres sous-groupes stricts
sont : {Id , r , ρ} ,
{}{}{}
OCOBOA sIdetsIdsId ,,,,.
9 - On se propose d’étudier le groupe des isométries du plan conservant les sommets d’un carré ABCD ,
appelé groupe du carré . On pourra utiliser avec profit les exercices précédents .
a - Déterminer les éléments de ce groupe . Construire la table .
b - Déterminer tous les sous-groupes .
c - Déterminer les parties génératrices à deux éléments .
d - Quelle en est le centre ? ( voir l’exercice 3)
A
C
B
O
+
I
A
B
+
CD
O
J

Infty08
a - Comme dans le groupe du triangle équilatéral , O le centre du triangle est laissé fixe par ces transformations . Ces
éléments sont donc : Id , r = r(O, 2 , = r(O, 3
2
πρπ
))
, σ la symétrie de centre O , ss
AC BD
, les symétries d’axes (AC) et (BD)
puis ss
OI OJ
,les symétries dont les axes sont les médiatrices des cotés . C’est donc un groupe à 8 éléments .
Sa table est :
Id r s s s s
rIdssss
Id r s s s s
Id r s s s s
ssss Id r
ssss Idr
ssss r Id
ssss r Id
OI OJ BD AC
BD AC OJ OI
OJ OI AC BD
AC BD OI OJ
OI AC OJ BD
OJ BD OI AC
BD OI AC OJ
AC OJ BD OI
σρ
σρ
σρ
ρσ
σρ
σρ
ρσ
ρσ
. Ce groupe est donc non commutatif .
b - D’après le théorème de Lagrange (voir exercice 1) les sous-groupes sont de cardinal 1 , 2 , 4 , 8 . Le sous-groupe
à un élément est {Id} , et celui à huit éléments est le groupe entier lui même . Les groupes d’ordre deux sont :
{}
{}{}{}
Id,σ , Id,s , Id,s , Id,s
OI OJ BD et
{}
Id,sAC . Etudions les sous-groupes d’ordre quatre :
D’après l’exercice 4 , un tel groupe est commutatif , ou bien cyclique , ou bien isomorphe au groupe de Klein .
Le groupe cyclique d’ordre quatre est :
[]
{}
rIdr
=
,, ,
σ
ρ
.
Déterminons les autres groupes . Les éléments d’un groupe de Klein étant tous d’ordre 2 , un sous-groupe à 4
éléments non cyclique est donc inclus dans
{}
essss
OI OJ BD AC
,, , , ,
σ. La composée de deux symétries distinctes étant une
rotation , un tel groupe doit contenir σ . On trouve donc :
{}{ }
Id s s Id s s
OI OJ BD AC
,, , ,, ,
σσ
, .
c - A la lueur de l’étude qui précède , on vérifie que les parties génératrices à deux éléments sont :
{}{}{}{}
rs rs rs rs
OI OJ BD AC
,,, ,,,,,
{}{}{}{}{ }{ }{ }
ρρρρ
,,, ,,,,,,,,s s s s ss ss ss
OI OJ BD AC OI BD OI AC OJ BD
,,,
{}
ss
OJ AC
,.
d - Le centre étant un sous-groupe , on vérifie que c’est {Id , σ} .
10 - On considère une action d’un groupe G sur un ensemble non vide E . Pour x ∈E , on appelle le
stabilisateur de x , l’ensemble
{}
S g G:g.x = x
x=∈ .
a - Montrer que le stabilisateur d’un élément de E constitue un sous-groupe de G .
b - Déterminer le stabilisateur d’un élément de G , lorsque l’on fait opérer G sur lui même par conjugaison .
c - On suppose G fini . Montrer que pour tout x∈E : CardG = CardS CardO
xx
×
, où Oxdésigne l’orbite de x .
On pourra pour cela considérer l’application f : g → g.x définie de G dans E .
On note
[]
G:Sxl’entier CardG
CardSxet on suppose E fini . On choisit un xidans chaque orbite , 1≤ i ≤ q .
Montrer alors que :
[]
CardE G:Sx
i1
q
i
==
∑ ( équation aux classes ) .
a - Considérons x un élément de E . L’élément neutre de G appartient à Sx; pour tout g et h dans Sxon a :
(). .(. .gh x g h x) g x x
===
, c’est à dire gh appartient à Sx. Par ailleurs pour tout g dans Sx, on a
gxg gx) ggxexx
−− −
====
11 1
..(.()..
, d’où g−1appartient à Sx. En conclusionSxest un sous-groupe de G .
b - Pour tout x ∈ G , y appartient àSxsi et seulement si : yx x. =, ou encore : yxy x
−=
1, c’est à dire : xy = yx . En
résumé , le stabilisateur de x est l’ensemble des éléments qui commutent avec x .
c - L’application f a pour image Oxdonc
{}
{}
fa
aO
x
−∈
1constitue une partition de G . Fixons un élément a de Ox; il
existe u ∈ G tel que : a = u . x . Alors
{}
vf a
∈
−
1si et seulement si u . x = v . x , ou encore uv S
x
−∈
1,
c’est à dire : vuS
x
∈. L’application de SuS
xx
→
, g → ug étant bijective , on en déduit que :
{}
Cardf a CardSx
−=
1, pour
tout aO
x
∈. Il en découle l’identité demandée .
e - Le résultat découle directement du fait que l’ensemble des orbites constitue une partition de E .
11 - On considère G un groupe fini et Γ(G) son centre (cf exercice 3 ) . On fait opérer G sur lui même par
conjugaison et on conserve les notations de l’exercice précédent .
a - Montrer que x ∈ Γ(G) si et seulement si
[]
G:S 1
x=.