Leçon Trigonométrie

Trigonométrie
Niveau : De la 4 e à la Terminale.
Prérequis :Géométrie du triangle, théorème de Pythagore,notion de fonction et produit scalaire .
Vocabulaire :Tri - gono - métrie = trois - cotés - mesure
La trigonométrie est une branche des mathématiques qui étudie la relation qui existe
entre la mesure des trois cotés d'un triangle et la mesure de ses angles.
La trigonométrie au collège
Définition :Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le sinus, le cosinus et la tangente de
l’angle aigu ̂
ABC de la manière suivante :
Côté opposé à ̂
ABC AC
sin ̂
ABC=
=
hypoténuse
BC
̂
Côté
adjacent
à
ABC
AB
cos ̂
ABC=
=
hypoténuse
BC
̂
Coté opposé à ABC AC
tan ̂
ABC=
=
côté adjacent à ̂
ABC AB
Remarque :On a aussi avec l’angle ̂
ACB :
CA
AB
AB
cos ̂
ACB=
ACB=
ACB=
, sin ̂
, tan ̂
.
CB
CB
AC
Proposition:
▪ Pour tout réel x , on a : cos 2 x+sin 2 x=1
ABC=sin ̂
ACB et cos ̂
ACB=sin ̂
ABC
▪ cos ̂
La trigonométrie en seconde
Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique
(voir le fichier joint ggb)
La trigonométrie en première S :
A. Le Radian
Définition :
Le radian est l'unité de mesure des angles telle que la mesure en radian d'un angle est
égale à la longueur de l'arc que cet angle intercepte sur un cercle de rayon 1.
Propriété:Les mesures en degrés et en radians d'un angle sont proportionnelles.
Remarque :Pour trouver la mesure d’un angle de x degrés, on a recours à un tableau de
proportionnalité.
B. Repérage sur un cercle trigonométrique
Définition : Le cercle trigonométriqueC de centre O est de rayon 1 , sur lequel on
choisit un sens de parcours , appelé sens direct (ou sens giratoire)
Soit M un point du cercle tel que α soit une mesure (en radians) de l’angle orienté (⃗
OI ,⃗
OM ).
Définition :On appelle cosinus et sinus de α et on note cos α et sin α, les coordonnées du point
M dans le repère (O, ⃗i , ⃗j ) :
⃗
OM=(cos α) ⃗
OI+(sin α) ⃗
OJ
Soit Δ la droite d’équation x =1 dans le repère orthonormé (O, ⃗i , ⃗j ) et H le point défini par
(OM) ∩ Δ. Ce point H existe dès lors que Δ et (OM) ne sont pas parallèles, c’est-à-dire :
α≠ π +2k π( k ∈ℤ) .
2
Définition :On appelle tangente de α et on note tan α l'ordonnée de H dans(O, ⃗i , ⃗j )
Propriétés: Pour tout réel x et tout entier relatif k :
1. −1≤cos x ≤1
2. −1≤sin x≤1
3.sin(x+2k π) = sin x
4.cos(x+2k π) = cos x
π
π 1+√ 5
Exemple : on admet que cos =
,on veut calculer la valeur exacte de sin donc on utilise
5
5
4
2π
2π
la relation cos 2 x+sin 2 x=1 ,donc on obtient : cos 5 +sin 5 =1
2
10−2 √ 5
1+√5
2 π
donc sin =1−
=
donc sin π = 10−2 √5 = 5−√ 5
16
5
4
5
4
2
π
π
car sin ⩾0 puisque ∈[0 ; π ]
5
5
(
)
√
√
C. Fonction sinus et cosinus
Définition : Pour tout T∈ℝ* on a :
Une fonction f est dite périodique de période T si pour tout réel x, on a : f (x + T) = f (x).
Remarque: pour étudier une fonction périodique , on se limite à une période
Propriété :Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.
• la fonction cosinus est paire cos(-x) = cos (x).
• la fonction sinus est impaire sin(-x) = -sin(x).
Propriété : Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ℝ et :
• sin'(x)=cos(x)
• cos'(x)=-sin(x)
Représentation graphique de la fonction sinus et cosinus
D. Résolution des équations cos x = a et sin x = a pour tout x ∈ℝ
i. Cos(x)=a
•
On va supposer que -1 ≤ a ≤ 1, sinon le problème n’a pas de solution.
On commence par chercher les valeurs de x sur l’intervalle [ 0 ; 2π ], en s’aidant du
cercle trigonométrique.
On place donc a sur l’axe des abscisses, puis on trace la droite parallèle à l’axe des
ordonnées qui passe par ce point. Elle croise le cercle en deux points C et D .
On détermine alors deux angles : α et - α.
L’ensemble des solutions est alors l’ensemble des réels x tels que :
x = α + 2kπ ou x = - α +2kπ où k est un entier relatif.
ii. sin(x)=a
•
On commence par chercher les valeurs de x sur l’intervalle [0 ; 2π], en s’aidant du
cercle trigonométrique.
On place donc a sur l’axe des ordonnées, puis on trace la droite parallèle à l’axe des
abscisses qui passe par ce point. Elle coupe le cercle en deux points C et D .
On détermine alors deux angles : α et π - α.
L’ensemble des solutions est alors l’ensemble des réels x tels que
x = α + 2kπ ou x = π - α +2kπ où k est un entier relatif.
E. Angles associés
Propriétés :
1. cos(-x) = cos x,
2. sin(-x) = sin x,
3. cos(π - x) = -cos x,
4. sin(π - x) = sin x,
5. cos(π + x) = -cos x,
6. sin(π + x) = −sin x
π
7. cos( +x) = −sin x,
2
π
8. sin(
+ x) = cos x,
2
π
9. cos(
− x) = sin x,
2
π
10. sin(
− x) = cos x.
2
Développement :
Les relations cos(-x) = cos x et sin(-x) = -sin x s’obtiennent immédiatement par symétrie par rapport
à l’axe des abscisses.
On veut démontrer la propriété 9 :
π
Soit x un réel appartenant à l'intervalle [0 ; ] et M le point du cercle trigonométrique de centre O
2
associé à x .On appelle H le projeté orthogonale de M sur l'axe des abscisses
On a :
cos ̂
HMO
MOH = OH =sin ̂
̂
sin MOH = MH =cos ̂
HMO
π − x= π −x
̂
HMO=π−
or
car la somme des
2
2
angles dans un triangle est égale à π .
π
cos ̂
HMO =cos 2 −x =sin ̂
MOH =sin x
π
d'où cos 2 −x =sin x.
π
Propriété 10 :cos ̂
HMO =sin 2 −x
MOH =cos x =sin ̂
π
d'où cos x =sin 2 −x
π
π
si maintenant on écrit : 2 −x= 2 +(−x) on peut démontrer facilement la propriété 7 et 8 .
F. Formules trigonométriques
Propriétés:
1. cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b,
2. cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,
3. sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b,
4. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
G. Formules de duplication
Proposition :
1. cos(2a) = cos²a − sin² a,
2. sin(2a) = 2 sin a cos a.
H. Formules de linéarisation
Proposition :
cos 2 a=
1−cos( 2a)
1+cos(2a)
2
et sin a=
2
2
Exercice (3e)
Voici un schéma de la statut de la liberté :
Calculer une valeur approchée de la hauteur SI de la statue de la liberté.
Exercice (niveau 3e)
Tracer à l'aide uniquement d'une règle graduée (sans rapporteur) le triangle ABC tel que AB=4,5cm;
BAC=63° et ABC=50°.
Exercice n° 94 p 71 Terracher Géométrie ( 1 er S )
Dans la figure ci-contre ,ACDE est un carré de côté 1 et ABC est un
triangle équilatéral .
̂ π
1) Montrer que BED= 12 .
π
2) Calculer BH et en déduire que : tan 2 =2−√ 3
3)En déduire que :
1
1
cos π = √ 2+√ 3 et sin π = √ 2−√ 3
12 2
12 2