CHAPITRE G1 Angles orientés Equations trigonométriques

CHAPITRE G1 – Angles orientés, Equations trigonométriques
1/ ANGLES ORIENTES
11/ Le plan orienté
Sur un cercle, deux sens de parcours sont possibles, l’un est dit direct, l’autre indirect.
Par convention : Le sens inverse du déplacement des aiguilles d’une montre est le sens
direct, le sens positif, le sens trigonométrique. Le sens du déplacement des aiguilles
d’une montre est le sens indirect, le sens négatif, le sens rétrograde.
On dit alors que le plan est orienté.
On appelle cercle trigonométrique, tout cercle ( C ) de rayon 1, dans le plan orienté.
On munit souvent le cercle trigonométrique d’un repère orthonormé direct
(
)
OJ,OI;O .
12/ Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique
Soit D l'axe des réels , tel que D tangent au cercle trigonométrique C , en I.
On munit D d'un repère ( I , I ' )
A tout point de D , d'abscisse x, ( ici le point N
1
), correspond un point M du cercle C .
Tout point du cercle est associé à une infinité de points de l'axe D . ( Ici, M est associé à N
1
, N
2
et N
3
… )
PROP
Soit x un réel et M le point du cercle trigonométrique C associé au réel x,
alors le point M est associé à tous les réels de la forme : x + 2kπ avec k entier.
13/ Le radian
DEF
Soit x un réel et M le point du cercle trigonométrique C associé au réel x.
On dit que x est une mesure en radians, de l'angle orienté, noté
(
)
OM,OI .
Puisqu'à un même point M est associé plusieurs réels ( propriété précédente ),
on considère que l'angle orienté
(
)
OM,OI admet une infinité de mesure en radians,
et on note :
(
)
OM,OI = x + 2kπ avec k entier ou encore
(
)
OM,OI = x [ 2π ] ( on dit " modulo 2 π " )
Cas particulier et conséquence
Soient A et B deux points du cercle trigonométrique.
La mesure, en radians, de l'angle géométrique BO
ˆ
A est égale à la longueur de l'arc AB.
La mesure d'un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés.
Degrés 0 30 45 60 90 180 Valeurs remarquables :
x en radians 0 6
π
4
π
3
π
2
π
π
+
O
I
J
+
−
O
I
J I
'
M x
N
1
N
2
N
3
x
+
2
π
x
−
2
π

14/ Placement d’un point M sur le cercle trigonométrique
Soit ( C ) un cercle trigonométrique de centre O, muni d’un repère orthonormé
(
)
OJ,OI;O .
Exemple
Placer les points A , B , C , D , E , F , G , H et K sur le cercle trigonométrique ( C ) ci−contre tels que :
(
)
[
]
π
π
=2
2
OA,OI
(
)
[
]
π
π
−= 2
3
OB,OI
(
)
[
]
π
π
=2
4
3
OC,OI
(
)
[
]
π
π
−= 2
6
OD,OI
(
)
[
]
ππ= 22OE,OI
(
)
[
]
π
π
−= 2
3
5
OF,OI
(
)
[
]
π
π
=2
6
5
OG,OI
(
)
[
]
π
π
=2
4
5
OH,OI
(
)
[
]
π
π
−= 2
3
2
OK,OI
15/ Angles orientés de 2 vecteurs du plan
Soient u
r
et
v
r
deux vecteurs non nuls du plan. Soit C un cercle trigonométrique de centre O.
On construit M et N deux points du plan tels que : OMu =
r
et ONv =
r
.
Les demi−droites [ OM ) et [ ON ) coupent le cercle trigonométrique en A et B.
Les points A et B du cercle C sont associés à 2 réels a et b , par enroulement
de la droite des réels autour du cercle.
Les mesures, en radians, de l'angle orienté
(
)
OB,OA ( ou de l'angle orienté
(
)
v,u
r
r
)
sont les réels b − a + 2 k π avec k entier .
On écrit :
(
)
OB,OA = x + 2 k π avec k entier ou
(
)
OB,OA = x [ 2π ]
(
)
v,u
r
r
= x + 2 k π avec k entier ou
(
)
v,u
r
r
= x [ 2π ]
Remarques Au niveau des notations,
il est d’usage de confondre un angle avec l’une de ses mesures.
Il existe une infinité de mesures pour un même angle orienté de vecteurs.
16/ Mesure principale
DEF
Parmi toutes les mesures d'un angle orienté, la mesure principale de cet angle orienté est l'unique mesure qui appartient à l'intervalle
] − π ; π [.
Exemples Déterminer la mesure principale des 4 angles suivants :
[
]
π
π
=α 2
4
11
1
[ ] π
π
−=α 2
3
205
2
[ ] π
π
=α 2
6
191
3
[ ] π
π
−=α 2
4
1245
4
17/ Propriétés des angles orientés
Préliminaires
DEF1 Deux vecteurs u
r
et
v
r
sont colinéaires ⇔ u
r
et
v
r
ont même direction
DEF2 Deux vecteurs u
r
et
v
r
sont orthogonaux ⇔ ( OA ) ⊥ ( OB ) avec OAu =
r
et OBv =
r
( Le vecteur nul est colinéaire et ortogonal à tous les vecteurs )
(
C
) O
M
N
B
A
u
r
v
r
a
b
O I
J

PROP
Soient u
r
et
v
r
deux vecteurs non nuls du plan.
u
r
et
v
r
sont colinéaires ⇔
(
)
v,u
r
r
= 0 [ 2π ] ou
(
)
v,u
r
r
= π [ 2π ]
u
r
et
v
r
sont orthogonaux ⇔
(
)
v,u
r
r
= 2
π [ 2π ] ou
(
)
v,u
r
r
= −2
π [ 2π ]
PROP Relation de Chasles
Pour tous vecteurs non nuls u
r
,
v
r
et
w
r
, on a
(
)
(
)
(
)
w,uw,vv,u
r
r
r
r
r
r
=+ [ 2 π ] .
Illustration
Conséquences : 
(
)
(
)
v,uu,v
r
r
r
r
−= [ 2 π ] 
(
)
v,u
r
r
− =
(
)
v,u
r
r
+ π [ 2 π ] 
(
)
v,u
r
r
− = π +
(
)
v,u
r
r
[ 2 π ]
(
)
v,u
r
r
−− =
(
)
v,u
r
r
[ 2 π ]
Exemple On se place dans le cercle trigonométrique.
A est tel que
(
)
[ ] π
π
−= 2
12
OA,OI
C est le point diamétralement opposé à A.
ABC est un triangle indirect, rectangle isocèle en B.
OAD est un triangle équilatéral direct.
Déterminer une mesure des angles orientés :
(
)
OC,OI ,
(
)
OD,OB ,
(
)
OJ,OB et
(
)
OI,AD
2/ EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES
21/ Lecture du sinus et du cosinus dans le cercle trigonométrique
DEF
Soit M le point du cercle trigonométrique associé à un réel x .
On appelle cosinus du réel x , l'abscisse du point M .
On appelle sinus du réel x , l'ordonnée du point M .
Le cosinus ( ou le sinus ) d'un angle orienté
(
)
v,u
r
r
est égal au cosinus ( ou sinus ) de l'une de ses mesures en radians.
22/ Conséquences immédiates
M ∈ ( C ) , l’abscisse de M est comprise entre et , d’où ≤ cos x ≤
M ∈ ( C ) , l’ordonnée de M est comprise entre et , d’où ≤ sin x ≤
M ( cos x , sin x ) , d’où OM
2
= ( − 0 )
2
+ ( − 0 )
2
, Soit encore = + car OM = 1
( en effet , M ∈ ( C ) )
 A x et x + 2 k π ( k entier ) , on associe le même point M sur le cercle trigonométrique, d’où :
(
)
=π+ kxcos 2 , et
(
)
=π+ kxsin 2 .
 Si x ∈
[
]
2
0π ; , alors cos x…… 0 et sin x……0 Si x ∈
[
]
π
π;
2
, alors cos x……0 et sin x……0
Si x ∈
[
]
2
π
−π− ; , alors cos x……0 et sin x……0 Si x ∈
[
]
0
2
;
π
− , alors cos x……0 et sin x……0
w
r
u
r
v
r
O I
J M
x
cos x
sin x
O I
J
A
B
C
D

x
0 6
π 4 π 3 π 2 π
sin x
cos x
23/ Valeurs remarquables
tan x
x
cos
xsin
xtan = , x ≠
2
π
24/ Angles associés
Exemples :
(
)
=
π
3
2
sin
(
)
=
π
4
3
cos
=
π
sin
(
)
=
π
−
4
cos
(
)
=
π
4
3
sin
(
)
=
π
−
2
cos
(
)
=
π
−
6
5
sin
(
)
=
π
−
3
2
cos
(
)
=
π
−
4
sin
(
)
=
π
−
6
cos
(
)
=
π
−
2
sin
(
)
=
π
6
5
cos
25/ Equations trigonométriques
PROP
Soient a et x des réels quelconques
a
cos
x
cos
=
⇔
π+−=
π+=
kax
ou
kax
2
2
, avec k ∈
a
sin
x
sin
=
⇔
π+−π=
π+=
kax
ou
kax
2
2
, avec k ∈
Exemples Résoudre :
1/ 2 −=xcos dans 2/
π
−= 4 cosxcos dans  , puis dans [ 0 , 2π ] .
3/
2
3
−=xcos dans , puis dans [ - 2π , 2π ] . 4/
(
)
0132 =−× xcos dans , puis dans [ − π , π ] .
5/ 51,xsin = dans
6/ 
π
=3
2
sinxsin dans , puis dans [ − π , π ] .
7/ 2
2
−=xsin dans , puis dans [ - π , 3π ] . 8/
(
)
0122 =+−× xsin dans , puis dans [ 0 , 2π ] .
(
)
=
−
xcos
(
)
=− xsin
(
)
=
π
+
xcos
(
)
=π+xsin
(
)
=
−
π
xcos
(
)
=−π xsin
(
)
=−
πxcos
2
(
)
=−
πxsin
2
(
)
=+
πxcos
2
(
)
=+
πxsin
2
O I
J
M
x
O I
J
M
x
O I
J
M
x
O I
J
M
x
O I
J
M
x
I
J
O I
J
O