NOMBRES COMPLEXES - partie 2

Cours
NOMBRES COMPLEXES
2e partie
I – FORME TRIGONOMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE
1°) MODULE ET ARGUMENT
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O, u , v ) .
A tout nombre complexe z = a + i b, on associe le point M ( a , b ) .
Définition 1 :
On appelle module de z, noté z , la distance OM
z = OM.
Définition 2 :
On appelle , pour tout z ≠ 0 , argument de z ,
(
toute mesure de l’angle u , OM
>
).
On note arg z.
(
arg z = mes u , OM
>
)
[ 2π ]
Exemple :
Déterminer le module et un argument des nombres complexes 3 , 2 i , - 4 , 1+ i .
Remarques :
• 0 n’a pas d’argument mais a un module.
• Le module d’un nombre complexe est un nombre réel positif.
• Un nombre complexe non nul a une infinité d’arguments.
Calculs :
Notons , pour un nombre complexe z = a + i b non nul , r = z et θ = arg z .
• En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OHM , on obtient r 2 = a 2 + b 2 .
a 2 + b2
z =
• En utilisant les relations trigonométriques dans un triangle rectangle cos θ =
on obtient :
co sθ =
a
r
sin θ =
adj
opp
et sin θ =
,
hyp
hyp
b
r
Exemple :
Déterminer le module et un argument du nombre complexe 3 – 3 i.
2°) FORME TRIGONOMETRIQUE
En gardant les notations précédentes , pour z ≠ 0 , on peut écrire
z = a + i b = r cosθ + r i sin θ = r ( cos θ + i sin θ )
Définition :
L’écriture z = r ( cos θ + i sin θ ) est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z
On note aussi z = [ r, θ ] .
Exemple :
Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe – 2 2 + 2 2 i.
Propriété
 z = z'
z = z’ ⇔ 
arg z = arg z '+ 2kπ , k ∈ ℤ
Forme trigonométrique du conjugué
Si z = r ( cos θ + i sin θ )
alors z = r ( cos θ − i sin θ ) = r ( cos(−θ) + i sin (−θ) )
Si z =
[ r , θ ] alors
z = [ r, -θ ]
3°) PROPRIETES
a) Propriétés liées aux modules
Pour tout nombre complexe z :
2
• zz= z
(1)
• z =0 ⇔ z = 0
• z = z
(3)
(4)
• Si z est réel,
z est la valeur absolue de z
Pour tous nombres complexes z et z’ :
(5)
• z z' = z z'
• Si z ≠ 0 ,
1
1
=
z
z
(7)
n
n
• z = z
où n ∈ Z
(9)
(2)
(6)
• z + z' ≤ z + z'
( Inégalité triangulaire )
z
z
• Si z’ ≠ 0 ,
=
(8)
z'
z'
Pour tous points M et M’ d’affixes respectives zM et zM ' :
(10)
• MM’ = zM ' − zM
Exemple :
On considère les points A, B et C d’affixes respectives 1 – i , 3 + i et 2 + 2 i .
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
b) Propriétés liées aux arguments
Pour tout nombre complexe z non nul :
()
• arg z = − arg ( z )
(11)
Pour tous nombres complexes z et z’ non nuls :
• arg ( z z' ) = arg ( z ) + arg ( z' )
n
• arg ( z ) = n arg ( z ) où n ∈ Z
(12)
(15)
1 
• arg   = − arg ( z )
z 
 z 
• arg   = arg z − arg z'
 z' 
Pour tous points A , B et C d’affixes respectives a , b et c , avec a ≠ b et a ≠ c :
>
>
>
 c−a 
• u , AB = arg ( b − a ) [ 2π ]
(16) • AB , AC = arg 

b−a
(
)
(
)
Exemple : ( on utilisera une autre méthode )
On considère les points A, B et C d’affixes respectives 1 – i, 3 + i et 2 + 2 i.
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
(13)
(14)
[ 2π ]
(17)
II – FORME EXPONENTIELLE D’UN NOMBRE COMPLEXE
Définition :
Pour tout réel θ, on pose : e iθ = cos θ + i sin θ
Exemple : Calculer e
iπ
et e
i
π
2
.
Propriété :
Pour tous réels θ et θ ’ : e iθ × e iθ ’ = e i ( θ + θ ’)
Preuve :
Définition :
Tout nombre complexe non nul de module r et d’argument θ peut alors s’écrire : z = r e iθ ;
Cette écriture est appelée forme exponentielle du nombre complexe z.
Réciproquement :
Si un nombre complexe z non nul s’écrit sous la forme : z = r e iθ avec r ∈ IR *+ et θ ∈ R,
alors z a pour module r, et θ est un argument de z.
Exemple :
Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe z = – 3 + i, puis de z’ = 2 + 2 i,
et enfin de zz’.
Propriétés :
Soient deux nombres complexes z et z’ non nuls , de module r et r’ et d’argument θ et θ ’ .
On peut écrire : z = r e iθ et z’ = r ’ e iθ ’ ;
z z’ = r r ’ e i ( θ +θ ’)
z n = r n e i nθ
1
1
= e −i θ
z
r
z
r i ( θ − θ ’)
=
e
z'
r'
où n ∈ IN