NOMBRES COMPLEXES - partie 2

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N O M B R E S C O M P L E X E S
N O M B R E S C O M P L E X E SN O M B R E S C O M P L E X E S
N O M B R E S C O M P L E X E S
2
e
partie
I
II
I –
––
– FORME TRIGONOMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE
FORME TRIGONOMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE FORME TRIGONOMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE
FORME TRIGONOMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE
1 °) MODULE ET ARGUMENT
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O,
u
,
v
) .
A tout nombre complexe z = a + i b, on associe le point M ( a , b ) .
Définition 1 :
On appelle module de z, noté
z
, la distance OM
z
= OM.
Définition 2 :
On appelle , pour tout z ≠ 0 , argument de z ,
toute mesure de l’angle
(
)
,u OM
>
.
On note arg z.
arg z = mes
(
)
,u OM
>
[
]
2
π
Exemple :
Déterminer le module et un argument des nombres complexes 3 , 2 i , - 4 , 1+ i .
Remarques :
• 0 n’a pas d’argument mais a un module.
• Le module d’un nombre complexe est un nombre réel positif.
• Un nombre complexe non nul a une infinité d’arguments.
Calculs :
Notons , pour un nombre complexe z = a + i b non nul , r =
z
et θ = arg z .
• En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OHM , on obtient r
2
= a
2
+ b
2
.
z
=
2 2
a +b
• En utilisant les relations trigonométriques dans un triangle rectangle cos
adj
hyp
θ = et sin
opp
hyp
θ = ,
on obtient :
a
cos
θ=
r
b
sin
θ=
r
Exemple :
Déterminer le module et un argument du nombre complexe 3 – 3 i.
2 °) FORME TRIGONOMETRIQUE
En gardant les notations précédentes , pour z ≠ 0 , on peut écrire
z = a + i b = r cosθ + r i sin θ = r ( cos θ + i sin θ )
Définition :
L’écriture z = r ( cos θ + i sin θ ) est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z

On note aussi z =
[
]
r,
θ
.
Exemple :
Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe – 2
2
+ 2
2
i.
Propriété
z = z’ ⇔
'
arg arg ' 2 ,
z z
z z k k π
=
= + ∈
ℤ
Forme trigonométrique du conjugué
Si z = r ( cos θ + i sin θ )
alors
z
= r ( cos θ − i sin θ ) = r ( cos(−θ) + i sin (−θ) )
Si z =
[
]
r,
θ
alors
z
=
[
]
r, -
θ
3 °) PROPRIETES
a) Propriétés liées aux modules
Pour tout nombre complexe z :
•
2
z z z
= (1) •
z
= 0 ⇔ z = 0 (2)
•
z
=
z
(3) • Si z est réel,
z
est la valeur absolue de z
(4)
Pour tous nombres complexes z et z’ :
•
z z
'
=
z
z
'
(5) •
z z
+
'
≤
z
+
z
'
( Inégalité triangulaire )
(6)
• Si z ≠ 0 ,
1
z
=
1
z
(7) • Si z’ ≠ 0 ,
z
z
'
=
z
z
'
(8)
•
z
n
=
z
n
où
n
∈ Z
(9)
Pour tous points M et M’ d’affixes respectives
M
z
et
'
M
z
:
• MM’ =
'
M
z
−
M
z
(10)

Exemple :
On considère les points A, B et C d’affixes respectives 1 – i , 3 + i et 2 + 2 i .
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
b) Propriétés liées aux arguments
Pour tout nombre complexe z non nul :
•
(
)
arg z
= −
(
)
arg z
(11)
Pour tous nombres complexes z et z’ non nuls :
•
(
)
arg z z
'
=
(
)
arg z
+
(
)
arg z
'
(12)
•
1
arg
z
= −
(
)
arg z
(13)
•
(
)
arg z
n
=
(
)
arg z
n
où
n
∈ Z
(15)
•
arg
z
z
'
=
arg z arg z
−
'
(14)
Pour tous points A , B et C d’affixes respectives a , b et c , avec a
≠ b et a ≠ c :
•
(
)
, AB
u
>
=
(
)
arg
b a
−
[
]
2
π
(16)
•
(
)
AB ,AC
> >
= arg
c a
b a
−
−
[
]
2
π
(17)
Exemple : ( on utilisera une autre méthode )
On considère les points A, B et C d’affixes respectives 1 – i, 3 + i et 2 + 2 i.
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

I
II
II
II
I –
––
– FORME EXPONENTIELLE D’UN NOMBRE COMPLEXE
FORME EXPONENTIELLE D’UN NOMBRE COMPLEXE FORME EXPONENTIELLE D’UN NOMBRE COMPLEXE
FORME EXPONENTIELLE D’UN NOMBRE COMPLEXE
Définition :
Pour tout réel θ, on pose : e iθ = cos θ + i sin θ
Exemple : Calculer
i
e
π
et
2
i
e
π
.
Propriété :
Pour tous réels θ et θ ’ : e iθ × e iθ ’ = e i ( θ + θ ’)
 Preuve :
Définition :
Tout nombre complexe non nul de module r et d’argument θ peut alors s’écrire : z = r e iθ ;
Cette écriture est appelée forme exponentielle du nombre complexe z.
Réciproquement :
Si un nombre complexe z non nul s’écrit sous la forme : z = r e iθ avec r ∈ IR
*
+
et θ ∈ R,
alors z a pour module r, et θ est un argument de z.
Exemple :
Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe z = –
3
+ i, puis de z’ = 2 + 2 i,
et enfin de zz’.
Propriétés :
Soient deux nombres complexes z et z’ non nuls , de module r et r’ et d’argument θ et θ ’ .
On peut écrire : z = r e iθ et z’ = r ’ e iθ ’ ;
z z’ = r r ’ e i ( θ +θ ’) z
n
= r
n
e i
n θ où n ∈ IN
1
z
=
1
r
e −i θ
z
z
'
=
r
r
'
e i ( θ − θ ’)