Optimal Sup-Spé. Le n°1enSup-Spé
Nombres complexes
Maths SUP - Filières MPSI, PCSI, PTSI - Concours 2018
Fiche de cours
1. Ecriture algébrique.
Nombre complexe. On appelle nombre complexe, tout nombre de la forme a`ib,oùaet bsont des réels, et où
i2“´1.
Interprétation dans le plan. On se place dans le plan euclidien usuel, muni d’un repère orthonormé d’origine O.
Soit Mun point du plan de coordonnées pa, bq,oùpa, bqPR2.OnappelleaxedeM,lenombrecomplexeza`ib.
On note : MMpzq.Onappellgalementaxeduvecteur´´´´Ñ
OMpzq,lenombrecomplexez.Toutnombrecomplexe
zpeut ainsi être représenté par un et un seul point du plan d’axe z.
Partie réelle, partie imaginaire. Pour tout nombre complexe de la forme za`ib,oùaet bsont des réels,
on appelle partie réelle de z,lenombreréela,etpartieimaginairedez,lenombreréelb.Onnote:aRe pzqet
bIm pzq.Ona:
@pz, z1qPC2,Re pz`z1q“Re pzq`Re pz1q.
@pz, z1qPC2,Im pz`z1q“Im pzq`Im pz1q.
@zPC,@PR,Re pzq“Re pzq.
@zPC,@PR,Im pzq“Im pzq.
Module. Pour tout nombre complexe de la forme za`ib,onappellemoduledez,etonnote|z|,lenombre
réel ?a2`b2.Dansunrepèreorthonormé,lemoduledezreprésente la distance du point Mpzqd’axe zàlorigine
du repère. On a :
@pz, z1qPC2,|zz1||z||z1|.
@pz, z1qPC2,|z`z1|§|z|`|z1|(inégalité triangulaire).
Conjugué. Pour tout nombre complexe de la forme za`ib,onappelleconjuguédez,etonnote¯z,lenombre
complexe ¯za´ib.Dansleplaneuclidienusuel,lepointMp¯zqest le symétrique du point Mpzqpar rapport à l’axe
des ordonnées. On a :
@zPC,¯zz.
@zPC,z¯z|z|2.
@pz, z1qPC2,z`¯z
2Re pzq.
@pz, z1qPC2,z´¯z
2iIm pzq,et:@zPC,pz¯zôzPRq
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-Concours 2018 2
2. Ecriture trigonométrique, exponentielle complexe.
Ecriture trigonométrique. Soit zun nombre complexe. Dans un repère orthonormé d’origine O,lepointMpzq
du plan d’axe zest caractérisé par sa distance à l’origine, notée r0,etparunemesure,notée,delangleorienté
entre l’axe pOxqet le vecteur ´´Ñ
OMq.Onnote:z“rr, s.rest le module de z,etappelé un argument de z.
Unicité de l’écriture trigonométrique. Pour tout complexe znon nul, il existe un unique couple pr, qP
R˚
`ˆr0,2rtel que z“rr, s.Largumentdezappartenant à r0,2rest appelé argument principal de z.
Liens entre r,,aet b.Soit zun nombre complexe écrit sous forme za`ib (où pa, bqPR2et sous forme
z“rr, s,oùrPR`et PR.Ona:
cos a
r,i.e.:arcos .
sin b
r,i.e.:brsin .
za`ib rpcos `isin q.
Exponentielle complexe. Pour tout réel ,onnoteeicos `isin .Ona:
@zPC˚,D!pr, qPR˚
`ˆr0,2r,zrei.
ei01.
@p,1qPR2,eip`1qeiei1.
Formule de Moivre.@nPN,@PR,`ei˘nein.
Formules d’ Euler.
@PR,cos ei`ei1
2.
@PR,sin ei´ei1
2i.
Fonction exponentielle complexe.
Pour tout nombre complexe zde la forme za`ib (où pa, bqPR2), on note exp z,ouez,laquantité:
exp zeaeib.
@pz, z1qPC2,exppz`z1q“exp zexp z1.
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