Fiche de cours sur les Nombres complexes

Optimal Sup-Spé. Le n°1enSup-Spé
Nombres complexes
Maths SUP - Filières MPSI, PCSI, PTSI - Concours 2018
Fiche de cours
1. Ecriture algébrique.
Nombre complexe. On appelle nombre complexe, tout nombre de la forme a`ib,oùaet bsont des réels, et où
i2“´1.
Interprétation dans le plan. On se place dans le plan euclidien usuel, muni d’un repère orthonormé d’origine O.
Soit Mun point du plan de coordonnées pa, bq,oùpa, bqPR2.OnappelleaffixedeM,lenombrecomplexez“a`ib.
On note : M“Mpzq.Onappelleégalementaffixeduvecteur´´´´Ñ OMpzq,lenombrecomplexez.Toutnombrecomplexe
zpeut ainsi être représenté par un et un seul point du plan d’affixe z.
Partie réelle, partie imaginaire. Pour tout nombre complexe de la forme z“a`ib,oùaet bsont des réels,
on appelle partie réelle de z,lenombreréela,etpartieimaginairedez,lenombreréelb.Onnote:a“Re pzqet
b“Im pzq.Ona:
–@pz, z1qPC2,Re pz`z1q“Re pzq`Re pz1q.
–@pz, z1qPC2,Im pz`z1q“Im pzq`Im pz1q.
–@zPC,@PR,Re pzq“Re pzq.
–@zPC,@PR,Im pzq“Im pzq.
Module. Pour tout nombre complexe de la forme z“a`ib,onappellemoduledez,etonnote|z|,lenombre
réel ?a2`b2.Dansunrepèreorthonormé,lemoduledezreprésente la distance du point Mpzqd’affixe zàl’origine
du repère. On a :
–@pz, z1qPC2,|zz1|“|z||z1|.
–@pz, z1qPC2,|z`z1|§|z|`|z1|(inégalité triangulaire).
Conjugué. Pour tout nombre complexe de la forme z“a`ib,onappelleconjuguédez,etonnote¯z,lenombre
complexe ¯z“a´ib.Dansleplaneuclidienusuel,lepointMp¯zqest le symétrique du point Mpzqpar rapport à l’axe
des ordonnées. On a :
–@zPC,¯z“z.
–@zPC,z¯z“|z|2.
–@pz, z1qPC2,z`¯z
2“Re pzq.
–@pz, z1qPC2,z´¯z
2i“Im pzq,et:@zPC,pz“¯zôzPRq
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-Concours 2018 2
2. Ecriture trigonométrique, exponentielle complexe.
Ecriture trigonométrique. Soit zun nombre complexe. Dans un repère orthonormé d’origine O,lepointMpzq
du plan d’affixe zest caractérisé par sa distance à l’origine, notée r•0,etparunemesure,notée✓,del’angleorienté
entre l’axe pOxqet le vecteur ´´Ñ OMq.Onnote:z“rr, ✓s.rest le module de z,et✓appelé un argument de z.
Unicité de l’écriture trigonométrique. Pour tout complexe znon nul, il existe un unique couple pr, ✓qP
R˚
`ˆr0,2⇡rtel que z“rr, ✓s.L’argumentdezappartenant à r0,2⇡rest appelé argument principal de z.
Liens entre r,✓,aet b.Soit zun nombre complexe écrit sous forme z“a`ib (où pa, bqPR2et sous forme
z“rr, ✓s,oùrPR`et ✓PR.Ona:
–cos ✓“a
r,i.e.:a“rcos ✓.
–sin ✓“b
r,i.e.:b“rsin ✓.
–z“a`ib “rpcos ✓`isin ✓q.
Exponentielle complexe. Pour tout réel ✓,onnoteei✓“cos ✓`isin ✓.Ona:
–@zPC˚,D!pr, ✓qPR˚
`ˆr0,2⇡r,z“rei✓.
–ei0“1.
–@p✓,✓1qPR2,eip✓`✓1q“ei✓ei✓1.
Formule de Moivre.@nPN,@✓PR,`ei✓˘n“ein✓.
Formules d’ Euler.
–@✓PR,cos ✓“ei✓`ei✓1
2.
–@✓PR,sin ✓“ei✓´ei✓1
2i.
Fonction exponentielle complexe.
–Pour tout nombre complexe zde la forme z“a`ib (où pa, bqPR2), on note exp z,ouez,laquantité:
exp z“eaeib.
–@pz, z1qPC2,exppz`z1q“exp zexp z1.