Partie I - Polynômes de Hilbert

MP1 Janson DM9 pour le 23 janvier 2014/2015
Notations, d´efinitions et rappels
Si nPN, soit CnrXsl’espace des polynˆomes complexes de degr´e inf´erieur ou
´egal `a n.
Pour Pdans CrXs, soit TpPqle polynˆome PpX`1q. L’application Tainsi d´efinie
est clairement un endomorphisme de CrXs. De plus, si nPN,CnrXsest stable
par Tet on note Tnl’endomorphisme de CnrXsinduit par T.
Soit pHiqiPNla suite des polynˆomes de Hilbert, d´efinie par :
H0“1 et @iPN˚, Hi“1
i!
i´1
ź
k“0pX´kq.
Si RPR˚
`, soit : DR“ tzPC,|z| ă Ru,DR“ tzPC,|z| ď Ruet CR“
tzPC,|z| “ Ru.
On convient d’autre part que D8“C. Pour Rdans R˚
`Yt8u, soit ERl’espace
vectoriel des fonctions de DRdans Cde la forme zÞÑ
`8
ÿ
n“0
anzno`u la s´erie enti`ere
`8
ÿ
n“0
anzna un rayon de convergence sup´erieur ou ´egal `a R. L’espace E8est appel´e
espace des fonctions enti`eres.
On pourra utiliser la formule de Stirling : n!„?2πn ´n
e¯n
lorsque nÑ `8.
Objectif du probl`eme, d´ependance des parties
La partie I ´etudie les polynˆomes de Hilbert, ce qui permet notamment de d´eter-
miner les polynˆomes Pde CrXstels que PpNq Ă Z. La partie II est compl`etement
ind´ependante de I. Elle a pour but d’´etablir quelques propri´et´es des s´eries enti`eres
utilis´ees dans la partie III, laquelle montre que toute fonction enti`ere v´erifiant
une certaine condition asymptotique est un polynˆome. Le r´esultat obtenu est dˆu
`a Georg P´olya (1915). La partie III utilise II et la derni`ere question de I.
Partie I - Polynˆomes de Hilbert
I. Soit ndans N.
(1.) Inversion d’une matrice
a. ´ Ecrire la matrice Mnde Tndans la base p1, X, . . . , Xnqde CnrXs.
b. V´erifier que Mnest inversible ; expliciter M´1
n.
(2.) Propri´et´es de la suite pHiqiPN
a. Montrer que pHiq0ďiďnest une base de CnrXs.
b. Si jPZet iPN˚, donner une expression simple de Hipjqmontrant
que Hipjqest dans Z. On distinguera les trois cas : jă0, 0 ďjďi´1
et jěi.
(3.) Polynˆomes de CrXstels que PpNq Ă Z
Soit Pdans CnrXs. On d´ecompose Psur pHiq0ďiďnen P“
n
ÿ
i“0
aiHi.
a. V´erifier l’´egalit´e suivante : ¨
˚
˝
Pp0q
.
.
.
Ppnq
˛
‹
‚“t
Mn¨
˚
˝
a0
.
.
.
an
˛
‹
‚
o`u t Mnest la transpos´ee de la matrice Mn.
b. ´ Etablir : @iP t0, . . . , nu, ai“
i
ÿ
j“0p´1qi´jCj
iPpjq.
Si iěn`1, que vaut
i
ÿ
j“0p´1qi´jCj
iPpjq?
c. Montrer que les trois conditions suivantes sont ´equivalentes :
A. @iP t0, . . . , nu, P piq P Z
B. @iP t0, . . . , nu, aiPZ
C. PpZq Ă Z
En particulier les polynˆomes Pde CrXstels que PpNq Ă Zsont
les combinaisons lin´eaires `a coefficients dans Zdes polynˆomes de
Hilbert.
(4.) Description des suites de la forme pPpjqqjPNo`u Pest un poly-
nˆome.
Soit pujqjPNune suite complexe. D´emontrer que les deux conditions
suivantes sont ´equivalentes :
A. il existe PPCnrXstel que : @jPN, uj“Ppjq
B. @iPN, i ěn`1ñ
i
ÿ
j“0p´1qi´jCj
iuj“0.

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Partie II - Quelques propri´et´es des s´eries enti`eres
II. Dans toute cette partie, on fixe Rdans R˚
`Y t`8u,fdans ER,ωdans DR
et rdans s|ω|, Rr. Pour zdans DR, on ´ecrit donc :
fpzq “
`8
ÿ
n“0
anzn
o`u la s´erie enti`ere
`8
ÿ
n“0
anzna un rayon de convergence sup´erieur ou ´egal `a R.
Pour kPN˚, on note fpkqla fonction d´efinie pour zPDRpar :
fpkqpzq “
`8
ÿ
n“k
npn´1q. . . pn´k`1qanzn´k
(on sait que cette s´erie enti`ere a mˆeme rayon de convergence que la s´erie
enti`ere initiale).
(1.) Repr´esentation int´egrale de fpωq`a partir des valeurs de fsur
Cr
a. Si pPN, prouver :
żπ
´π
fpreitqe´ipt dt“2πaprp.
b. Montrer :
fpωq “ żπ
´π
reit
reit ´ωfpreitqdt 2π.
Indication : on pourra partir de reit
reit ´ω“
`8
ÿ
p“0´ω
reit ¯p
.
(2.) Principe du maximum
a. Justifier la d´efinition de Mfprq “ max t|fpzq|, z PCru.
b. Montrer : |fpωq| ď r
r´|ω|Mfprq.
c. Montrer : |fpωq| ď Mfprq.
Indication : si pPN˚, on pourra appliquer, avec justification, le
r´esultat de II.B.2 `a fppuis faire tendre pvers `8.
(3.) Division de fpzq ´ fpωqpar z´ωpour fdans ER
a. Si jPN, montrer la convergence de la s´erie de terme g´en´eral
anωn´1´jpour něj`1. On pose bj“
`8
ÿ
n“j`1
anωn´1´j.
b. Montrer que, lorsque jÑ `8,bj“Oˆ1
rj˙.
c. Montrer que le rayon de convergence de la s´erie enti`ere
`8
ÿ
j“0
bjzjest
sup´erieur ou ´egal `a R. Pour zPDR, on pose gpzq “
`8
ÿ
j“0
bjzj.
V´erifier : @zPDR,pz´ωqgpzq “ fpzq ´ fpωq.
(4.) Minoration de Mfprq`a l’aide des z´eros de f
On suppose que pPN˚, que fs’annule en ppoints distincts z1”. . ., zp
de Drzt0u.
a. Montrer qu’il existe Fdans ERtelle que :
@zPDR, F pzq ˆ
p
ź
j“1pz´zjq “ fpzq ˆ
p
ź
j“1pr2´zjzq.
b. Si jP t1, . . . , puet zPCrztzju, que vaut ˇˇˇˇ
r2´zjz
z´zjˇˇˇˇ
?
c. En appliquant II.B.3 `a Fau point ω“0, montrer :
Mfprq ˆ ˇˇˇˇˇ
p
ź
j“1
zjˇˇˇˇˇě |fp0q|rp.
d. On suppose fp0q “ ¨¨¨ “ fpk´1qp0q “ 0 o`u kPN˚. Prouver :
Mfprq ˆ ˇˇˇˇˇ
p
ź
j“1
zjˇˇˇˇˇěˇˇfpkqp0qˇˇ
k!rp`k.
(5.) ´ Etude asymptotique d’une fonction enti`ere nulle sur N

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On suppose que R“ `8,cP s0, er,fest nulle sur Net que lorsque
rÑ 8,Mfprq “ Opcrq.
Montrer que f“0.
Indication : on supposera par l’absurde f‰0, on appliquera II.D.4 avec
k“min !iPN, fpiqp0q ‰ 0),r“p,z1“1, . . ., zp“pet on fera tendre
pvers `8.
Partie III - Th´eor`eme de P´olya
III. Soit fdans E8.
(1.) Majoration de ˇˇˇˇˇ
n
ÿ
k“0p´1qkCk
nfpkqˇˇˇˇˇ
Soient ndans N˚et run r´eel tel que rąn.
a. D´ecomposer en ´el´ements simples la fraction rationnelle :
Fn“n!
XpX´1q. . . pX´nq.
b. ` A l’aide de II.A.2, prouver :
żπ
´π
n!fpreitq
preit ´1q. . . preit ´nq
dt
2π“
n
ÿ
k“0p´1qn´kCk
nfpkq.
c. Montrer :
ˇˇˇˇˇ
n
ÿ
k“0p´1qn´kCk
nfpkqˇˇˇˇˇďn!Mfprq
pr´1q. . . pr´nq.
(2.) Preuve du th´eor`eme On suppose ici :
a) fpNq Ă Z
b) Lorsque rÑ `8,Mfprq “ oˆ2r
?r˙.
On va d´emontrer que fest polynomiale (th´eor`eme de P´olya).
N.B. L’exemple de fpzq “ 2zmontre que la condition asymptotique (b)
n’est pas loin d’ˆetre optimale.
a. En appliquant III.A.3 `a r“2n`1, prouver qu’il existe Ndans N
tel que
@něN,
n
ÿ
k“0p´1qn´kCk
nfpkq “ 0.
b. ` A l’aide de I.D) et II.E), prouver le r´esultat d´esir´e.