Nombres complexes

Chapitre 2
Nombres complexes
Maths Spé - MP/MP˚et PSI/PSI˚- Concours 2015
Correction des exercices
Difficulté des exercices
Exercices classiques :
H-Facile HH -Moyen HHH -Difficile HHHH -TrèsDifficile
Exercices d’approfondissement :
u-Facile uu -Moyen uuu -Difficile uuuu -TrèsDifficile
Sommaire
Exercicesclassiques ............................................ 2
1-RévisionsdeMathsSup H....................................... 2
2-Quelquescalculsdesommes HH .................................... 4
3-FactorisationdansRet dans CHHH ................................. 8
4-Unpeudegéométrie:lethéorèmedeNapoléon HH ......................... 11
Exercicesd’approfondissement...................................... 15
5-Deuxcasd’égalité uu .......................................... 15
6-Demi-plandePoincaré uu ...................................... 18
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-Concours 2015 2
Exercices classiques
Exercice 1 - Révisions de Maths Sup H
1) (a) Idée :Nousallonsutiliserl’inégalitétriangulaire,ennousefforçant de faire apparaître des différences et non des
sommes, et pour faire apparaître x´ydans le membre de droite de l’inégalité triangulaire, nous allons écrire xsous
forme x´y`y.
Rappel de cours
Proposition (Inégalité triangulaire).@px, yqPC2,|x`y|§|x|`|y|.
On a :
@px, yqPC2,|x|“|x´y`y|,et donc :
§|x´y|`|y|.
Conclusion :
@px, yqPC2,|x|´|y|§|x´y|
2) Parties réelle et imaginaire d’un quotient.
(a) Un quotient de nombres complexes n’est pas pratique à manipuler. Pour s’affranchir du nombre complexe au déno-
minateur, on multiplie numérateur et dénominateur par ben ayant à l’esprit que bb “|b|2.Ona:
a
b“ab |b|2
On a maintenant un nombre complexe dont on peut facilement calculer la partie réelle et la partie imaginaire. En
effet,
Re ´a
b¯“1 |b|2Re pabq
En notant a“Re paq`iIm paqet b“Re pbq`iIm pbq,onobtientfinalement:
Re ´a
b¯“Re paqRe pbq`Im paqIm pbq |b|2
et de même,
Im ´a
b¯“Im paqRe pbq´Re paqIm pbq |b|2
(b) Idée :Commesouventlorsquel’onaaffaire à une somme entre plusieurs exponentielles complexes, on va factoriser
par les "exponentielles moitiés" afin de faire apparaître une formule d’Euler.
Rappel de cours
Proposition (Formules d’Euler).On a : @✓PR,cos ✓“ei✓`e´i✓
2,et : sin ✓“ei✓´e´i✓ 2i.
Remarquons tout d’abord que comme Rtp2k`1q⇡,k PZu,alors:1`eib ‰1.Ainsi,lequotient 1`ei↵
1`eiest bien
défini, et on a :
1`ei↵
1`ei“ei↵
2
ei
2
ˆei↵
2`e´i↵ 2
ei{2`e´i
2
.

3-Concours 2015
En reconnaissant une formule d’Euler, puis en simplifiant les exponentielles, on en déduit :
1`ei↵
1`ei“ei↵´
2ˆ
2cos ↵
2
2cos 
2
,soit :
“ei↵´
2ˆ
cos ↵
2
cos 
2
.
En passant à la partie réelle, qui est un opérateur R-linéaire, on obtient :
Re ˆ1`ei↵
1`ei˙“
cos ↵
2cos ↵´ 2
cos 
2
.
Or, d’après une formule de trigonométrie usuelle :
@px, yqPR2,cos x¨cos y“1
2rcospx`yq`cospx´yqs .
Point méthode
Les formules de trigonométrie donnant les valeurs de cos a¨cos b,cos a¨sin betc peuvent se retrouver facilement
à l’aide des formules d’addition et de soustraction connues donnant les valeurs de cospa`bq,cospa´bq,
sinpa`bq,etc.Ilsuffit pour cela d’additionner ou de soustraire certaines d’entre elles pour faire apparaître
les quantités souhaitées.
On en déduit :
Re ˆ1`ei↵
1`ei˙“
cos ˆ2↵´
2˙`cos ˆ´ 2˙
2cos
2
,soit, la fonction cos étant paire :
Re ˆ1`ei↵
1`ei˙“1 2`
cos ˆ2↵´
2˙
2cos
2
De même, l’opérateur Im étant également R-linéaire :
Im ˆ1`ei↵
1`ei˙“
cos ↵´
2sin ↵ 2
2cos
2
.
Or, d’après une formule de trigonométrie usuelle :
@px, yqPR2,sinpxq¨cos y“1
2rsinpx`yq`cospx´yqs .
Conclusion :
Im ˆ1`ei↵
1`ei˙“
sin ˆ2↵´
2˙`sin ˆ 2˙
2cos
2

-Concours 2015 4
Exercice 2 - Quelques calculs de sommes HH
1) (a) Commençons par remarquer que :
Dnp✓q“e´in✓
2n
ÿ
k“0
eik✓
“e´in✓
2n
ÿ
k“0`ei✓˘k
et
2n
ÿ
k“0`ei✓˘kest la somme des 2n`1premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1et de raison ei✓.
On peut utiliser le rappel suivant :
Rappel de cours
Soit aPC˚et zPC.NotonspunqnPNla suite géométrique de premier terme aet de raison z.Alors:
@nPN,u
n“azn
Soient pet qdeux entiers naturels tels que p†q.Onretiendraque:
q
ÿ
k“p
uk“
q
ÿ
k“p
azk“$
’
&
’
%
azpˆ1´zq´p`1
1´z˙si z‰1
pq´p`1qasi z“1
Soit nPN˚.Danslecasoùa“1et p“0,q“n,onretrouve:
n
ÿ
k“0
zk“$
’
&
’
%
1´zn`1
1´zsi z‰1
pn`1qsi z“1
Il s’agit d’une formule très utile que l’on peut retenir comme une chanson :
premier terme ˆ1´raisonnombre de termes
1´raison
On en déduit que :
2n
ÿ
k“0
pei✓qk“$
’
&
’
%
1´eip2n`1q✓
1´ei✓si ✓‰2⇡Z
2n`1si ✓P2⇡Z
Supposons que ✓R2⇡Z. Alors, en factorisant par « l’argument moitié », on a :
1´eip2n`1q✓
1´ei✓“
eipn`1
2q✓´e´ipn`1 2q✓´eipn`1 2q✓¯
ei✓
2´e´i✓ 2´ei✓ 2¯
“ein✓
´2isin ˆˆn`1
2˙✓˙
´2isin ˆ✓
2˙grâce aux formules d’Euler.
“ein✓
sin ˆˆn`1
2˙✓˙
sin ˆ✓
2˙
Comme Dnp✓q“e´in✓
2n
ÿ
k“0`ei✓˘k,onobtientfinalement:
@✓R2⇡Z, Dnp✓q“
sin ˆˆn`1
2˙✓˙
sin ˆ✓
2˙

5-Concours 2015
(b) Au cours de cette question, on utilisera plusieurs fois le rappel suivant :
Rappel de cours
On rappelle les formules de trigonométrie suivantes : pour tous pp, qqPR2,ona:
sinppqsinpqq“ 1
2pcospp´qq´cospp`qqq (‹)
et
cosp2pq“2cos
2ppq´1
“1´2sin
2ppq
Il ne faut pas tant connaître (‹) par cœur que savoir la retrouver rapidement. Pour cela, il faut être capable
de retrouver rapidement les formules de duplication cospp`qqet sinpp`qq.Pourcospp`qq,ilsuffitde
remarquer que :
cospp`qq“Re ´eipp`qq¯
“Re `eipeiq ˘
Ainsi, en développant eipeiq “pcosppq`isinppqq pcospqq`isinpqqq et en identifiant la partie réelle, on obtient
la formule souhaitée :
cospp`qq“cosppqcospqq´sinppqsinpqq
On en déduit cospp´qqen remplaçant qpar ´qdans la formule précédente et en utilisant l’imparité de la
fonction sinus.Onretrouvealorsrapidement(‹).
Soit ✓R2⇡Z.D’aprèslaquestionprécédente,ona:
pn`1qFnp✓q“
n
ÿ
k“0
Dkp✓q
“
n
ÿ
k“0
sin ˆˆk`1
2˙✓˙
sin ˆ✓
2˙
“1
sin2ˆ✓
2˙
n
ÿ
k“0
sin ˆˆk`1
2˙✓˙sin ˆ✓ 2˙car sin ˆ✓ 2˙‰0.
En utilisant (‹)durappeldecoursci-dessus,onobtient:
1
sin2ˆ✓
2˙
n
ÿ
k“0
sin ˆˆk`1
2˙✓˙sin ˆ✓ 2˙“1
sin2ˆ✓
2˙
n
ÿ
k“0
1
2pcospk✓q´cosppk`1q✓qq
“1
2sin
2ˆ✓
2˙p1´cosppn`1q✓qq par télescopage.
Grâce au rappel de cours ci-dessus, on peut également affirmer que :
1´cosppn`1q✓q“2sin
2ˆn`1
2✓˙
Ce qui donne finalement :
pn`1qFnp✓q“
sin2ˆn`1
2✓˙
sin2ˆ✓
2˙
Conclusion :
@✓R2⇡Z,F
np✓q“
sin2ˆn`1
2✓˙
sin2ˆ✓
2˙