Optimal Sup-Spé. Le n°1 en Sup-Spé Nombres complexes Maths SUP - Filières MPSI, PCSI, PTSI - Concours 2018 Fiche de cours 1. Ecriture algébrique. Nombre complexe. On appelle nombre complexe, tout nombre de la forme a ` ib, où a et b sont des réels, et où i2 “ ´1. Interprétation dans le plan. On se place dans le plan euclidien usuel, muni d’un repère orthonormé d’origine O. Soit M un point du plan de coordonnées pa, bq, où pa, bq P R2 . On appelle affixe de M , le nombre complexe z “ a ` ib. ´´´´Ñ On note : M “ M pzq. On appelle également affixe du vecteur OM pzq, le nombre complexe z. Tout nombre complexe z peut ainsi être représenté par un et un seul point du plan d’affixe z. Partie réelle, partie imaginaire. Pour tout nombre complexe de la forme z “ a ` ib, où a et b sont des réels, on appelle partie réelle de z, le nombre réel a, et partie imaginaire de z, le nombre réel b. On note : a “ Re pzq et b “ Im pzq. On a : – @pz, z 1 q P C2 , Re pz ` z 1 q “ Re pzq ` Re pz 1 q. – @pz, z 1 q P C2 , Im pz ` z 1 q “ Im pzq ` Im pz 1 q. – @z P C, @ P R, Re p zq “ – @z P C, @ P R, Im p zq “ Re pzq. Im pzq. Module. Pour tout nombre complexe de la forme z “ a ` ib, on appelle module de z, et on note |z|, le nombre ? réel a2 ` b2 . Dans un repère orthonormé, le module de z représente la distance du point M pzq d’affixe z à l’origine du repère. On a : – @pz, z 1 q P C2 , |zz 1 | “ |z| |z 1 |. – @pz, z 1 q P C2 , |z ` z 1 | § |z| ` |z 1 | (inégalité triangulaire). Conjugué. Pour tout nombre complexe de la forme z “ a ` ib, on appelle conjugué de z, et on note z̄, le nombre complexe z̄ “ a ´ ib. Dans le plan euclidien usuel, le point M pz̄q est le symétrique du point M pzq par rapport à l’axe des ordonnées. On a : – @z P C, z̄ “ z. 2 – @z P C, z z̄ “ |z| . z ` z̄ – @pz, z 1 q P C2 , “ Re pzq. 2 z ´ z̄ – @pz, z 1 q P C2 , “ Im pzq, et : @z P C, pz “ z̄ ô z P Rq 2i Optimal Sup/Spé - 11, rue Geoffroy l’Angevin 75004 Paris - tel : 01.40.26.78.78 - www.optimalsupspe.fr - Concours 2018 2 2. Ecriture trigonométrique, exponentielle complexe. Ecriture trigonométrique. Soit z un nombre complexe. Dans un repère orthonormé d’origine O, le point M pzq du plan d’affixe z est caractérisé par sa distance à l’origine, notée r • 0, et par une mesure, notée ✓, de l’angle orienté ´´Ñ entre l’axe pOxq et le vecteur OM q. On note : z “ rr, ✓s. r est le module de z, et ✓ appelé un argument de z. Unicité de l’écriture trigonométrique. Pour tout complexe z non nul, il existe un unique couple pr, ✓q P R˚` ˆ r0, 2⇡r tel que z “ rr, ✓s. L’argument de z appartenant à r0, 2⇡r est appelé argument principal de z. Liens entre r, ✓, a et b. Soit z un nombre complexe écrit sous forme z “ a ` ib (où pa, bq P R2 et sous forme z “ rr, ✓s, où r P R` et ✓ P R. On a : a , i.e. : a “ r cos ✓. r b – sin ✓ “ , i.e. : b “ r sin ✓. r – z “ a ` ib “ r pcos ✓ ` i sin ✓q. – cos ✓ “ Exponentielle complexe. Pour tout réel ✓, on note ei✓ “ cos ✓ ` i sin ✓. On a : – @z P C˚ , D!pr, ✓q P R˚` ˆ r0, 2⇡r, z “ rei✓ . – ei0 “ 1. – @p✓, ✓1 q P R2 , eip✓`✓ q “ ei✓ ei✓ . 1 1 ` ˘n Formule de Moivre. @n P N, @✓ P R, ei✓ “ ein✓ . Formules d’ Euler. 1 ei✓ ` ei✓ – @✓ P R, cos ✓ “ . 2 1 ei✓ ´ ei✓ – @✓ P R, sin ✓ “ . 2i Fonction exponentielle complexe. – Pour tout nombre complexe z de la forme z “ a ` ib (où pa, bq P R2 ), on note exp z, ou ez , la quantité : exp z “ ea eib . – @pz, z 1 q P C2 , exppz ` z 1 q “ exp z exp z 1 .
