Optimal Sup-Spé. Le n°1enSup-Spé
Nombres complexes
Maths SUP - Filières MPSI, PCSI, PTSI - Concours 2018
Fiche de cours
1. Ecriture algébrique.
Nombre complexe. On appelle nombre complexe, tout nombre de la forme a`ib,oùaet bsont des réels, et où
i2“´1.
Interprétation dans le plan. On se place dans le plan euclidien usuel, muni d’un repère orthonormé d’origine O.
Soit Mun point du plan de coordonnées pa, bq,oùpa, bqPR2.OnappelleaffixedeM,lenombrecomplexez“a`ib.
On note : M“Mpzq.Onappelleégalementaffixeduvecteur´´´´Ñ
OMpzq,lenombrecomplexez.Toutnombrecomplexe
zpeut ainsi être représenté par un et un seul point du plan d’affixe z.
Partie réelle, partie imaginaire. Pour tout nombre complexe de la forme z“a`ib,oùaet bsont des réels,
on appelle partie réelle de z,lenombreréela,etpartieimaginairedez,lenombreréelb.Onnote:a“Re pzqet
b“Im pzq.Ona:
–@pz, z1qPC2,Re pz`z1q“Re pzq`Re pz1q.
–@pz, z1qPC2,Im pz`z1q“Im pzq`Im pz1q.
–@zPC,@PR,Re pzq“Re pzq.
–@zPC,@PR,Im pzq“Im pzq.
Module. Pour tout nombre complexe de la forme z“a`ib,onappellemoduledez,etonnote|z|,lenombre
réel ?a2`b2.Dansunrepèreorthonormé,lemoduledezreprésente la distance du point Mpzqd’affixe zàl’origine
du repère. On a :
–@pz, z1qPC2,|zz1|“|z||z1|.
–@pz, z1qPC2,|z`z1|§|z|`|z1|(inégalité triangulaire).
Conjugué. Pour tout nombre complexe de la forme z“a`ib,onappelleconjuguédez,etonnote¯z,lenombre
complexe ¯z“a´ib.Dansleplaneuclidienusuel,lepointMp¯zqest le symétrique du point Mpzqpar rapport à l’axe
des ordonnées. On a :
–@zPC,¯z“z.
–@zPC,z¯z“|z|2.
–@pz, z1qPC2,z`¯z
2“Re pzq.
–@pz, z1qPC2,z´¯z
2i“Im pzq,et:@zPC,pz“¯zôzPRq
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