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Cours-Nombres-comples-Maths-Sup

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Optimal Sup-Spé. Le n°1 en Sup-Spé
Nombres complexes
Maths SUP - Filières MPSI, PCSI, PTSI - Concours 2018
Fiche de cours
1. Ecriture algébrique.
Nombre complexe. On appelle nombre complexe, tout nombre de la forme a ` ib, où a et b sont des réels, et où
i2 “ ´1.
Interprétation dans le plan. On se place dans le plan euclidien usuel, muni d’un repère orthonormé d’origine O.
Soit M un point du plan de coordonnées pa, bq, où pa, bq P R2 . On appelle affixe de M , le nombre complexe z “ a ` ib.
´´´´Ñ
On note : M “ M pzq. On appelle également affixe du vecteur OM pzq, le nombre complexe z. Tout nombre complexe
z peut ainsi être représenté par un et un seul point du plan d’affixe z.
Partie réelle, partie imaginaire. Pour tout nombre complexe de la forme z “ a ` ib, où a et b sont des réels,
on appelle partie réelle de z, le nombre réel a, et partie imaginaire de z, le nombre réel b. On note : a “ Re pzq et
b “ Im pzq. On a :
– @pz, z 1 q P C2 , Re pz ` z 1 q “ Re pzq ` Re pz 1 q.
– @pz, z 1 q P C2 , Im pz ` z 1 q “ Im pzq ` Im pz 1 q.
– @z P C, @ P R, Re p zq “
– @z P C, @ P R, Im p zq “
Re pzq.
Im pzq.
Module.
Pour tout nombre complexe de la forme z “ a ` ib, on appelle module de z, et on note |z|, le nombre
?
réel a2 ` b2 . Dans un repère orthonormé, le module de z représente la distance du point M pzq d’affixe z à l’origine
du repère. On a :
– @pz, z 1 q P C2 , |zz 1 | “ |z| |z 1 |.
– @pz, z 1 q P C2 , |z ` z 1 | § |z| ` |z 1 | (inégalité triangulaire).
Conjugué. Pour tout nombre complexe de la forme z “ a ` ib, on appelle conjugué de z, et on note z̄, le nombre
complexe z̄ “ a ´ ib. Dans le plan euclidien usuel, le point M pz̄q est le symétrique du point M pzq par rapport à l’axe
des ordonnées. On a :
– @z P C, z̄ “ z.
2
– @z P C, z z̄ “ |z| .
z ` z̄
– @pz, z 1 q P C2 ,
“ Re pzq.
2
z ´ z̄
– @pz, z 1 q P C2 ,
“ Im pzq, et : @z P C, pz “ z̄ ô z P Rq
2i
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- Concours 2018
2
2. Ecriture trigonométrique, exponentielle complexe.
Ecriture trigonométrique. Soit z un nombre complexe. Dans un repère orthonormé d’origine O, le point M pzq
du plan d’affixe z est caractérisé par sa distance à l’origine, notée r • 0, et par une mesure, notée ✓, de l’angle orienté
´´Ñ
entre l’axe pOxq et le vecteur OM q. On note : z “ rr, ✓s. r est le module de z, et ✓ appelé un argument de z.
Unicité de l’écriture trigonométrique. Pour tout complexe z non nul, il existe un unique couple pr, ✓q P
R˚` ˆ r0, 2⇡r tel que z “ rr, ✓s. L’argument de z appartenant à r0, 2⇡r est appelé argument principal de z.
Liens entre r, ✓, a et b. Soit z un nombre complexe écrit sous forme z “ a ` ib (où pa, bq P R2 et sous forme
z “ rr, ✓s, où r P R` et ✓ P R. On a :
a
, i.e. : a “ r cos ✓.
r
b
– sin ✓ “ , i.e. : b “ r sin ✓.
r
– z “ a ` ib “ r pcos ✓ ` i sin ✓q.
– cos ✓ “
Exponentielle complexe. Pour tout réel ✓, on note ei✓ “ cos ✓ ` i sin ✓. On a :
– @z P C˚ , D!pr, ✓q P R˚` ˆ r0, 2⇡r, z “ rei✓ .
– ei0 “ 1.
– @p✓, ✓1 q P R2 , eip✓`✓ q “ ei✓ ei✓ .
1
1
` ˘n
Formule de Moivre. @n P N, @✓ P R, ei✓ “ ein✓ .
Formules d’ Euler.
1
ei✓ ` ei✓
– @✓ P R, cos ✓ “
.
2
1
ei✓ ´ ei✓
– @✓ P R, sin ✓ “
.
2i
Fonction exponentielle complexe.
– Pour tout nombre complexe z de la forme z “ a ` ib (où pa, bq P R2 ), on note exp z, ou ez , la quantité :
exp z “ ea eib .
– @pz, z 1 q P C2 , exppz ` z 1 q “ exp z exp z 1 .
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