Formulaire de trigonométrie

Formulaire de trigonométrie
Trigonométrie de base
Similitude
Dans deux triangles semblables, les proportions des côtés corres-
pondants sont toujours les mêmes.
a
b
c
A
B
C
A
a=B b=C c
a
c=A C
b
c=B cetc.
Thm. de Pythagore
A
B
C
C2=A2+B2
Rapports trigonométriques
A
O
H
θ
sin(θ) = O
H
cos(θ) = A
H
tan(θ) = O
A
Loi des sin
A
B
C
βγ
α
h
A
sin(α)=B sin(β)=C sin(γ)
Loi des cos
A
B
C
θ
C2=A2+B2−2ABcos(θ)
Triangles comportant des angles usuels
1√2
2
√2
2
π/4
π/411
2
√3/2
π/6
π/3
1
1
1p2−√3
2
p2+√3/2
π/12
5π/12
1
Cercle trigonométrique
P(θ)
1
y
x
θ
tan(θ)
cos(θ) = x
sin(θ) = y
cos2(θ) + sin2(θ) = 1
tan(θ) = y
x=sin(θ) cos(θ)=tan(θ) 1
Cercle trigonométrique étendu
θ
P(θ)
1
tan(θ)
cos(θ)
sin(θ)
sec(θ)
tan(θ)
1=sin(θ cos(θ)
sec(θ)
1=1 cos(θ)
1+tan2(θ) = sec2(θ)
θ
P(θ)
1
ctg(θ)
cos(θ)
sin(θ)
csc(θ)
ctg(θ)
1=cos(θ sin(θ)
csc(θ)
1=1 sin(θ)
ctg2(θ) + 1=csc2(θ)
Fonctions trigonométriques inverses
θcos(θ) = x⇐⇒ θ=acos(x)
acos(x)∈[0,π]
θsin(θ) = y⇐⇒ θ=asin(y)
asin(x)∈[−π/2,π/2]
θtan(θ) = m⇐⇒ θ=atan(m)
atan(x)∈]−π/2,π/2[

Identitiés trigonométriques
Symétries et rotations
θ
P(θ)
P(−θ)
P(π−θ)
P(θ±π)
cos(−θ) = cos(θ)
sin(−θ) = −sin(θ)
cos(π−θ) = −cos(θ)
sin(π−θ) = sin(θ)
cos(θ±π) = −cos(θ)
sin(θ±π) = −sin(θ)
P(θ)
Pθ−π
2
Pθ+π
2
P(θ±π)
cosθ+π
2=−sin(θ)
sinθ+π
2=cos(θ)
cosθ−π
2=sin(θ)
sinθ−π
2=−cos(θ)
P(θ)
Pπ
2−θ
P3π
2−θP(θ±π)
cosπ
2−θ=sin(θ)
sinπ
2−θ=cos(θ)
cos3π
2−θ=−sin(θ)
sin3π
2−θ=−cos(θ)
Somme d’angles
θ
ϕ
P(θ+ϕ)
P(θ)
sin(ϕ)
cos(ϕ)
θ
θ
cos(θ)cos(ϕ)
sin(θ)sin(ϕ)
cos(θ+ϕ) = cos(θ)cos(ϕ)−sin(θ)sin(ϕ)
sin(θ)cos(ϕ)cos(θ)sin(ϕ)
sin(θ+ϕ) = sin(θ)cos(ϕ) + cos(θ)sin(ϕ)
Multiples d’angles
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)cos(2θ) = cos2(θ)−sin2(θ)
Carrés de sinus et cosinus
sin2(θ) = 1−cos(2θ)
2cos2(θ) = 1+cos(2θ) 2
Produits de sinus et cosinus
sin(θ)cos(ϕ) = sin(θ−ϕ) + sin(θ+ϕ)
2
cos(θ)sin(ϕ) = sin(θ−ϕ) + sin(θ+ϕ)
2
cos(θ)cos(ϕ) = cos(θ−ϕ) + cos(θ+ϕ)
2
sin(θ)sin(ϕ) = cos(θ−ϕ)−cos(θ+ϕ)
2